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专题能力训练20概率、统计与统计案例能力突破训练1.某公司的班车在7:30,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30 之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是()A.13B.12C.23D.342.已知x与y之间的一组数据:x0123ym35.57已求得关于y与x的线性回归方程为y=2.1x+0.85,则m的值为()A.1B.0.85C.0.7D.0.53.某市各月的平均气温()数据的茎叶图如下:则这组数据的中位数是()A.19B.20C.21.5D.234.某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度(支持与不支持)的关系,运用22列联表进行独立性检验,经计算K2=7.069,则认为“学生性别与支持该活动有关系”犯错误的概率为()附:P(K2k0)0.1000.0500.0250.0100.001k02.7063.8415.0246.63510.828A.0.999B.0.99C.0.01D.0.0015.为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系,随机调查了该社区5户家庭,得到如下统计数据表:收入x(万元)8.28.610.011.311.9支出y(万元)6.27.58.08.59.8根据上表可得回归直线方程y=bx+a,其中b=0.76,a=y-bx.据此估计,该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为()A.11.4万元B.11.8万元C.12.0万元D.12.2万元6.如图,点A的坐标为(1,0),点C的坐标为(2,4),函数f(x)=x2.若在矩形ABCD内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率等于.7.有一个底面圆的半径为1,高为2的圆柱,点O为这个圆柱底面圆的圆心,在这个圆柱内随机取一点P,则点P到点O的距离大于1的概率为.8.(20xx江苏,3)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为200,400,300,100件.为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取件.9.一辆小客车有5个座位,其座位号为1,2,3,4,5,乘客P1,P2,P3,P4,P5的座位号分别为1,2,3,4,5,他们按照座位号从小到大的顺序先后上车,乘客P1因身体原因没有坐1号座位,这时司机要求余下的乘客按以下规则就座:如果自己的座位空着,就只能坐自己的座位;如果自己的座位已有乘客就座,就在这5个座位的剩余空位中任意选择座位.(1)若乘客P1坐到了3号座位,其他乘客按规则就座,则此时共有4种坐法.下表给出了其中两种坐法,请填入余下两种坐法(将乘客就座的座位号填入表中空格处);乘客P1P2P3P4P5座位号3214532451(2)若乘客P1坐到了2号座位,其他乘客按规则就座,求乘客P5坐到5号座位的概率.10.某工厂36名工人的年龄数据如下表:工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄140103619272834244113120432939340123821413043441133922373138533144323343242640154524423353745163925373437842173826443549943183627423639(1)用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本,且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44,列出样本的年龄数据;(2)计算(1)中样本的均值x和方差s2;(3)36名工人中年龄在x-s与x+s之间有多少人?所占的百分比是多少(精确到0.01%)?11.下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(单位:t)与相应的生产能耗y(单位:吨标准煤)的几组对照数据.x3456y2.5344.5(1)请画出上表数据的散点图;(2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y=bx+a;(3)已知该厂技术改造前生产100 t甲产品的生产能耗为90吨标准煤.试根据(2)求出的线性回归方程,预测生产100 t甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤?(参考数值:32.5+43+54+64.5=66.5)思维提升训练12.(20xx全国,理3)某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了1月至12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图.根据该折线图,下列结论错误的是()A.月接待游客量逐月增加B.年接待游客量逐年增加C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月,波动性更小,变化比较平稳13.某产品在某零售摊位的零售价x(单位:元)与每天的销售量y(单位:个)的统计资料如下表所示:由表可得回归直线方程y=bx+a中的b=-4,据此模型预测零售价为15元时,每天的销售量为()x16171819y50344131A.51个B.50个C.49个D.48个14.(20xx山东,理8)从分别标有1,2,9的9张卡片中不放回地随机抽取2次,每次抽取1张.则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是()A.518B.49C.59D.7915.从区间0,1随机抽取2n个数x1,x2,xn,y1,y2,yn,构成n个数对(x1,y1),(x2,y2),(xn,yn),其中两数的平方和小于1的数对共有m个,则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为()A.4nmB.2nmC.4mnD.2mn16.如图,在边长为e(e为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆,则它落到阴影部分的概率为.17.记集合A=(x,y)|x2+y24和集合B=(x,y)|x+y-20,x0,y0表示的平面区域分别为1和2,若在区域1内任取一点M(x,y),则点M落在区域2的概率为.18.A,B,C三个班共有100名学生,为调查他们的体育锻炼情况,通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间,数据如下表(单位:小时):A班66.577.58B班6789101112C班34.567.5910.51213.5(1)试估计C班的学生人数;(2)从A班和C班抽出的学生中,各随机选取一人,A班选出的人记为甲,C班选出的人记为乙.假设所有学生的锻炼时间相互独立,求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率;(3)再从A,B,C三个班中各随机抽取一名学生,他们该周的锻炼时间分别是7,9,8.25(单位:小时),这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为1,表格中数据的平均数记为0,试判断0和1的大小.(结论不要求证明)19.某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查,在高三的全体1 000名学生中随机抽取了100名学生的体检表,并得到如下直方图:(1)若直方图中前三组的频数成等比数列,后四组的频数成等差数列,试估计全年级视力在5.0以下的人数;(2)学习小组成员发现,学习成绩突出的学生,近视的比较多,为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系,对年级名次在150名和9511 000名的学生进行了调查,得到如下数据:年级名次是否近视1509511 000近视4132不近视918根据表中的数据,能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系?(3)在(2)中调查的100名学生中,按照分层抽样在不近视的学生中抽取了9人,进一步调查他们良好的护眼习惯,并且在这9人中任取3人,记名次在150名的学生人数为X,求X的分布列和数学期望.附:P(K2k0)0.100.050.0250.0100.005k02.7063.8415.0246.6357.879K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d.20.心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关,某数学兴趣小组为了验证这个结论,从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学(男30女20),给所有同学几何题和代数题各一题,让各位同学自由选择一道题进行解答.选题情况如下表:(单位:人)几何题代数题总计男同学22830女同学81220总计302050(1)能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为视觉和空间能力与性别有关?(2)经过多次测试后,甲每次解答一道几何题所用的时间在5至7 min,乙每次解答一道几何题所用的时间在6至8 min,现甲、乙各解同一道几何题,求乙比甲先解答完的概率.(3)现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究,记甲、乙两女生被抽到的人数为X,求X的分布列及数学期望E(X).附表及公式P(K2k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d.参考答案专题能力训练20概率、统计与统计案例能力突破训练1.B解析这是几何概型问题,总的基本事件空间如图所示,共40分钟,等车时间不超过10分钟的时间段为7:50至8:00和8:20至8:30,共20分钟,故他等车时间不超过10分钟的概率为P=2040=12,故选B.2.D解析由题意,得x=1.5,y=14(m+3+5.5+7)=m+15.54,将(x,y)代入线性回归方程y=2.1x+0.85,得m=0.5.3.B解析由茎叶图可知,这组数据的中位数为20+202=20.4.C解析因为K2=7.0696.635,所以P(K26.635)=0.010,所以说在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“学生性别与支持该活动有关系”.5.B解析x=8.2+8.6+10+11.3+11.95=10,y=6.2+7.5+8+8.5+9.85=8,a=y-0.76x=8-0.7610=0.4.y=0.76x+0.4.当x=15时,y=0.7615+0.4=11.8.6.512解析S阴影=12(4-x2)dx=53,S矩形ABCD=4,P=S阴影S矩形ABCD=512.7.23解析设“点P到点O的距离大于1”为事件A,则A表示事件“点P到点O的距离小于或等于1”.在圆柱内以O为球心,以1为半径作半球,则半球的体积V半球=124313=23,又V圆柱=122=2,由几何概型,P(A)=V半球V圆柱=13.故所求事件A的概率P(A)=1-P(A)=1-13=23.8.18解析抽取比例为601000=350,故应从丙种型号的产品中抽取300350=18(件),答案为18.9.解(1)当乘客P1坐在3号位置上,此时P2的位置没有被占,只能坐在2位置,P3位置被占,可选剩下的任何一个座位,即可选1,4,5;当P3选1位置,P4位置没被占,只能选4位置,P5选剩下的,只有一种情况;当P3选4位置,P4可选5位置也可选1位置,P5选剩下的,有两种情况;当P3选5位置,P4只可选4位置,P5选剩下的,有一种情况,填表如下:乘客P1P2P3P4P5座位号32145324513241532541(2)若乘客P1坐到了2号座位,其他乘客按规则就坐,则所有可能的坐法可用下表表示:于是,所有可能的坐法共8种.设“乘客P5坐到5号座位”为事件A,则事件A中的基本事件的个数为4,所以P(A)=48=12.所以乘客P5坐到5号座位的概率是12.10.解(1)依题意知所抽取的样本编号是一个首项为2,公差为4的等差数列,故其所有样本编号依次为2,6,10,14,18,22,26,30,34,对应样本的年龄数据依次为44,40,36,43,36,37,44,43,37.(2)由(1)可得其样本的均值x=44+40+36+43+36+37+44+43+379=40,方差s2=19(44-40)2+(40-40)2+(36-40)2+(43-40)2+(36-40)2+(37-40)2+(44-40)2+(43-40)2+(37-40)2=1942+02+(-4)2+32+(-4)2+(-3)2+42+32+(-3)2=1009.(3)由(2)知s=103,所以x-s=3623,x+s=4313.因为年龄在x-s与x+s之间共有23人,所以其所占的百分比是233663.89%.11.解(1)由题设所给数据,可得散点图如图.(2)由对照数据,计算得i=14xi2=86,x=3+4+5+64=4.5(t),y=2.5+3+4+4.54=3.5(t).已知i=14xiyi=66.5,所以由最小二乘法确定的回归方程的系数为b=i=14xiyi-4xyi=14xi2-4x2=66.5-44.53.586-44.52=0.7,a=y-bx=3.5-0.74.5=0.35.因此,所求的线性回归方程为y=0.7x+0.35.(3)由(2)的回归方程及技术改造前生产100 t甲产品的生产能耗,得降低的生产能耗为90-(0.7100+0.35)=19.65(吨标准煤).思维提升训练12.A解析由题图可知8月到9月的月接待游客量在减少,故A错误.13.C解析由题意知x=17.5,y=39,代入回归直线方程得a=109,即得回归直线方程y=-4x+109,将x=15代入回归方程,得y=-415+109=49,故选C.14.C解析从分别标有1,2,9的9张卡片中不放回地随机抽取2次,每次抽取1张,共有A92种不同情况.其中2张卡片上的数奇偶性不同的有(A51A41+A41A51)种情况,则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率P=A51A41+A41A51A92=59.故选C.15.C解析利用几何概型求解,由题意可知,14S圆S正方形=141212=mn,所以=4mn.16.2e2解析S阴=201(e-ex)dx=2(ex-ex)|01=2,S正方形=e2,P=2e2.17.12解析作圆O:x2+y2=4,区域1就是圆O内部(含边界),其面积为4.区域2就是图中OAB内部(含边界),且SOAB=1222=2.由几何概型,点M落在区域2的概率P=SOABS圆O=12.18.解(1)由题意知,抽出的20名学生中,来自C班的学生有8名.根据分层抽样方法,C班的学生人数估计为100820=40.(2)设事件Ai为“甲是现有样本中A班的第i个人”,i=1,2,5,事件Cj为“乙是现有样本中C班的第j个人”,j=1,2,8.由题意可知,P(Ai)=15,i=1,2,5;P(Cj)=18,j=1,2,8.P(AiCj)=P(Ai)P(Cj)=1518=140,i=1,2,5,j=1,2,8.设事件E为“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”.由题意知,E=A1C1A1C2A2C1A2C2A2C3A3C1A3C2A3C3A4C1A4C2A4C3A5C1A5C2A5C3A5C4.因此P(E)=P(A1C1)+P(A1C2)+P(A2C1)+P(A2C2)+P(A2C3)+P(A3C1)+P(A3C2)+P(A3C3)+P(A4C1)+P(A4C2)+P(A4C3)+P(A5C1)+P(A5C2)+P(A5C3)+P(A5C4)=15140=38.(3)13.841.因此在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系.(3)依题意9人中年级名次在150名和9511000名分别有3人和6人,X可取0,1,2,3,P(X=0)=C63C93=521;P(X=1)=C62C31C93=1528,P(X=2)=C61C32C93=314;P(X=3)=C33C93=184.X的分布列为X0123P5211528314184X的数学期望E(X)=0521+11528+2314+3184=1.20.解(1)由表中数据得K2的观测值k=50(2212-88)230203020=5095.5565.024.所以根据统计,在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为视觉和空间能力与性别有关.(2)设甲、乙解答一道几何题的时间分别为x,ymin,则基本事件满足的区域为5x7,6y8(如图).设事件A为“乙比甲先做完此道题”,则满足的区域为xy,故由几何概型P(A)=121122=18,即乙比甲先解答完的概率为18.(3)由题可知在选择做几何题的8名女生中任意抽取两人,抽取方法有C82=28种,其中甲、乙两人没有一个人被抽到有C62=15种;恰有一人被抽到有C21C61=12种;两人都被抽到有C22=1种,则X可能取值为0,1,2,P(X=0)=1528;P(X=1)=1228=37;P(X=2)=128.X的分布列为X012P152837128故E(X)=01528+137+2128=12.
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