新编高考数学二轮复习 专题六：第1讲统计与统计案例案文

新编高考数学复习资料第第 1 1 讲讲统计与统计案例统计与统计案例高考定位1.抽样方法、样本的数字特征、统计图表、回归分析与独立性检验主要以选择题、填空题形式命题，难度较小；2.注重知识的交汇渗透，统计与概率，回归分析与概率是近年命题的热点，2015 年，2016 年和 2017 年在解答题中均有考查.真 题 感 悟1.(2017全国卷)为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田.这n块地的亩产量(单位：kg)分别为x1，x2，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是()A.x1，x2，xn的平均数B.x1，x2，xn的标准差C.x1，x2，xn的最大值D.x1，x2，xn的中位数解析刻画评估这种农作物亩产量稳定程度的指标是标准差.答案B2.(2016全国卷)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中A点表示十月的平均最高气温约为 15 ，B点表示四月的平均最低气温约为 5 .下面叙述不正确的是()A.各月的平均最低气温都在 0 以上B.七月的平均温差比一月的平均温差大C.三月和十一月的平均最高气温基本相同D.平均最高气温高于 20 的月份有 5 个解析根据雷达图可知全年最低气温都在 0 以上，故 A 正确；一月平均最高气温是 6左右，平均最低气温 2左右，七月平均最高气温 22左右，平均最低气温 13 左右，所以七月的平均温差比一月的平均温差大，B 正确；三月和十一月的平均最高气温都是 10 ，三月和十一月的平均最高气温基本相同，C 正确；平均最高气温高于 20 的有七月和八月，D 项不正确.答案D3.(2017山东卷)为了研究某班学生的脚长x(单位：厘米)和身高y(单位：厘米)的关系，从该班随机抽取 10 名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为ybxa.已知 10i1xi225，10i1yi1 600，b4.该班某学生的脚长为 24，据此估计其身高为()A.160B.163C.166D.170解析由已知得x22.5，y160，回归直线方程过样本点中心(x，y)，且b4，160422.5a，解得a70.回归直线方程为y4x70，当x24 时，y166.答案C4.(2017全国卷)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了 100 个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率分布直方图如下：(1)记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于 50 kg”，估计A的概率；(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量50 kg箱产量50 kg旧养殖法新养殖法(3)根据箱产量的频率分布直方图，对这两种养殖方法的优劣进行比较.附：P(K2k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828K2n（adbc）2（ab） （cd） （ac） （bd）解(1)由频率分布直方图知，旧养殖法的箱产量低于 50 kg 的频率为(0.0120.0140.0240.0340.040)50.62，则事件A的概率估计值为 0.62.(2)列联表如下：箱产量6.635，有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.(3)由箱产量的频率分布直方图可知，旧养殖法的箱产量平均值(或中位数)约在 4550 kg 之间，新养殖法的箱产量平均值(或中位数)约在 5055 kg 之间，且新养殖法的箱产量分布集中程度较旧养殖法分布集中程度高，可知新养殖法的箱产量高且稳定，从而新养殖法优于旧养殖法.考 点 整 合1.抽样方法抽样方法包括简单随机抽样、系统抽样、分层抽样，三种抽样方法都是等概率抽样，体现了抽样的公平性，但又各有其特点和适用范围.2.统计中的四个数据特征(1)众数：在样本数据中，出现次数最多的那个数据.(2)中位数：样本数据中，将数据按大小排列，位于最中间的数据.如果数据的个数为偶数，就取中间两个数据的平均数作为中位数.(3)平均数：样本数据的算术平均数，即x1n(x1x2xn).(4)方差与标准差.s21n(x1x)2(x2x)2(xnx)2，s1n（x1x）2（x2x）2（xnx）2.3.直方图的两个结论(1)小长方形的面积组距频率组距频率.(2)各小长方形的面积之和等于 1.4.回归分析与独立性检验(1)回归直线y bxa 经过样本点的中心点(x，y)，若x取某一个值代入回归直线方程y bxa 中，可求出y的估计值.(2)独立性检验对于取值分别是x1，x2和y1，y2的分类变量X和Y，其样本频数列联表是：y1y2总计x1ababx2cdcd总计acbdn则K2n（adbc）2（ab） （cd） （ac） （bd）(其中nabcd为样本容量).热点一抽样方法【例 1】(1)(2015北京卷)某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有 320 人，则该样本中的老年教师人数为()类别人数老年教师900中年教师1 800青年教师1 600总计4 300A.90B.100C.180D.300(2)(2017长沙雅礼中学质检)在一次马拉松比赛中，35 名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示若将运动员按成绩由好到差编为 135 号，再用系统抽样方法从中抽取 7 人，则其中成绩在区间139，151上的运动员人数是_.解析(1)设该样本中的老年教师人数为x，由题意及分层抽样的特点得x9003201 600，故x180.(2)依题意，可将编号为 135 号的 35 个数据分成 7 组，每组有 5 个数据.在区间139，151上共有 20 个数据，分在 4 个小组内，每组抽取 1 人，共抽取 4 人.答案(1)C(2)4探究提高1.解决此类题目的关键是深刻理解各种抽样方法的特点和适用范围.但无论哪种抽样方法，每一个个体被抽到的概率都是相等的，都等于样本容量与总体容量的比值.2.在系统抽样的过程中，要注意分段间隔，需要抽取n个个体，样本就需要分成n个组，则分段间隔即为Nn(N为样本容量)，首先确定在第一组中抽取的个体的号码数，再从后面的每组中按规则抽取每个个体.【训练 1】 (1)(2017郑州模拟)为规范学校办学，某省教育厅督察组对某所高中进行了抽样调查.抽到的班级一共有 52 名学生，现将该班学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为 4 的样本，已知 7 号、33 号、46 号同学在样本中，那么样本中还有一位同学的编号应是()A.13B.19C.20D.51(2)(2017江苏卷)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为 200，400，300，100 件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取 60 件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取_件.解析(1)由系统抽样的原理知，抽样的间隔为 52413，故抽取的样本的编号分别为 7，713， 7132，7133，即 7 号，20 号，33 号，46 号.样本中还有一位同学的编号为 20 号.(2)因为样本容量n60，样本总体N2004003001001 000，所以抽取比例为nN601000350.因此应从丙种型号的产品中抽取 30035018(件).答案(1)C(2)18热点二用样本估计总体命题角度 1数字特征与茎叶图的应用【例21】 (2017北京东城质检)某班男女生各10名同学最近一周平均每天的锻炼时间(单位：分钟)用茎叶图记录如下：假设每名同学最近一周平均每天的锻炼时间是互相独立的.男生每天锻炼的时间差别小，女生每天锻炼的时间差别大；从平均值分析，男生每天锻炼的时间比女生多；男生平均每天锻炼时间的标准差大于女生平均每天锻炼时间的标准差；从 10 个男生中任选一人，平均每天的锻炼时间超过 65 分钟的概率比同样条件下女生锻炼时间超过 65 分钟的概率大.其中符合茎叶图所给数据的结论是()A.B.C.D.解析由茎叶图知，男生每天锻炼时间差别小，女生差别大，正确.男生平均每天锻炼时间超过 65 分钟的概率P151012，女生平均每天锻炼时间超过 65 分钟的概率P241025，P1P2，因此正确.设男生、女生两组数据的平均数分别为x甲，x乙，标准差分别为s甲，s乙.易求x甲65.2，x乙61.8，知x甲x乙，正确.又根据茎叶图，男生锻炼时间较集中，女生锻炼时间较分散，s甲0.5.又前 4 组的频率之和为 0.040.080.150.210.480.5.所以 2x3.841，且P（K2k03.841）0.05，根据独立性检验思想“这种血清能起到预防感冒的作用”出错的可能性不超过 5%.答案B因此aybx421.7828.4.所以，y关于x的线性回归方程是y1.7x28.4.0.750，b0B.a0，b0C.a0D.a0，b0，a3.841.由统计表P(K23.841)0.05，有 95%的把握认为“能否缓解交通拥堵的认识与性别有关”.答案A二、填空题6.(2017石家庄质检)为比较甲、乙两地 14 时的气温状况，随机选取该月中的 5 天，将这 5天中 14 时的气温数据(单位：)制成如图所示的茎叶图.考虑以下结论：甲地该月 14 时的平均气温低于乙地该月 14 时的平均气温；甲地该月 14 时的平均气温高于乙地该月 14 时的平均气温；甲地该月 14 时的气温的标准差小于乙地该月 14 时的气温的标准差；甲地该月 14 时的气温的标准差大于乙地该月 14 时的气温的标准差.其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号正确的是_.解析x甲2628293131529，x乙2829303132530，则x甲2.706.所以有 90%的把握认为“微信控”与“性别”有关.11.(2017全国卷)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔 30 min 从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸(单位：cm).下面是检验员在一天内依次抽取的 16个零件的尽寸：抽取次序12345678零件尺寸9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04抽取次序910111213141516零件尺寸10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95（1）求（xi，i） （i1，2，16）的相关系数r，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若|r|0.25，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）.（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（x3s，x3s）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？在（x3s，x3s）之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差.（精确到 0.01）解(1)由样本数据得(xi，i)(i1，2，16)的相关系数由于|r|0.25，因此可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小.(2)由于x9.97，s0.212，由样本数据可以看出抽取的第 13 个零件的尺寸在(x3s，x3s)以外.因此需对当天的生产过程进行检查.剔除离群值，即第 13 个数据，剩下数据的平均数为115(169.979.22)10.02，这条生产线当天生产的零件尺寸的均值的估计值为 10.02.错误错误!2i160.2122169.9721 591.134，剔除第 13 个数据，剩下数据的样本方差为115(1 591.1349.2221510.022)0.008，这条生产线当天生产的零件尺寸的标准差的估计值为 0.0080.09.