均值不等式常考题型

均值不等式及其应用.均值不等式2221 .（1）若a,bR,则a2b22ab（2）若a,bR,则aba-（当且仅当ab时取“二”）22 .（1）若a,bR*,则土上abb（2）若a,bR*,则ab2Jab（当且仅当ab时取“=”）22（3）若a,bR*,则abab（当且仅当ab时取“=”）21时取“=”）113 .若x0,则x2（当且仅当x1时取=）;若x0,则x2（当且仅当xxx若x0,则x12即x12或x1-2（当且仅当ab时取“=）xxx2（当且仅当ab时取二”）-2 （当且仅当a b时取“=”）若ab0,则ab2即ab2或abbababa.2.24 .若a,bR,则（_a_b）2a_b_（当且仅当ab时取=”）22注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”（2）求最值的条件“一正，二定，三相等”（3）均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用.应用一：求最值例1:求下列函数的值域11（1） y=3x2+双（2）y=x+x解：（1）y=3x2+z172A/3x2白=乖，值域为V6,+8）nx1nx（2）当x0时，y=x+112a/x-1=2;当x0得，0vbv15法二:点评:令 t= b+1,ab当且仅当t=4,即b=3, a= 6时，等号成立。a +2b2/2abu2+2小 u-300, -5啦 u372.1ab 1830- ab2/2abJab (a,b R )的应用、不等式的解法及运算能力； 如何由已知不等式aba2b30(a,bR)出发求得ab的范围，关键是寻找到ab与ab之间的关系，由此想到不等ab式Jab(a,bR),这样将已知条件转换为含ab的不等式，进而解得ab的范围.2变式：1.已知a0,b0,ab(a+b)=1,求a+b的最小值。2.若直角三角形周长为1,求它的面积最大值。技巧九、取平方5、已知x,y为正实数，3x+2y=10,求函数W=V3x+烟的最值.解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系，aybw“2产，本题很简单圾+V2y0,W2=3x+2y+2V3x=10+2每V2y10+(V3x)2-(V2y)2=10+(3x+2y)=20WW亚=2班变式：求函数y8abc111例6：已知a、b、cR,且abc1。求证：一1一1一18abc分析：不等式右边数字8,使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个“2”连乘，又111_ab_c2bc,可由此变形入手。aaaa1d1abc2.bc12.ac1d2ab加牛.Qa、b、cR)abc1。-1o国理-1,-1oaaaabbcc上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得111111bcgacgab8。当且仅当abc1时取等号。abcabc3应用三：均值不等式与恒成立问题1,求使不等式x y m恒成立的实数 m的取值范围。一一19例：已知x0,y0且一一xykx9x 9y.10y 9x . 1. 1kykkx ky19解：令xyk,x0,y0,-1,xy1031230k16,m,16kk应用四：均值定理在比较大小中的应用：1ab、一例：右ab1,P、*lgalgb,Q-(lgalgb),Rlg(12一),则P,Q,R的大小关系是,_分析：ab1lga0,lgb01Q2(lgalgb)lgalgbpab1.Rlg()lgJab-lgabQ，RQP22