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1 14数列、不等式1已知前n项和Sna1a2a3an,则an.由Sn求an时,易忽略n1的情况问题1已知数列an的前n项和Snn21,则an_.2等差数列的有关概念及性质(1)等差数列的判断方法:定义法an1and(d为常数)或an1ananan1(n2)(2)等差数列的通项:ana1(n1)d或anam(nm)d.(3)等差数列的前n项和:Sn,Snna1d.(4)等差数列的性质当公差d0时,等差数列的通项公式ana1(n1)ddna1d是关于n的一次函数,且斜率为公差d;前n项和Snna1dn2(a1)n是关于n的二次函数且常数项为0.若公差d0,则为递增等差数列;若公差dB.(5)等比数列的性质当mnpq时,则有amanapaq,特别地,当mn2p时,则有amana.问题3(1)在等比数列an中,a3a8124,a4a7512,公比q是整数,则a10_.(2)各项均为正数的等比数列an中,若a5a69,则log3a1log3a2log3a10_.4数列求和的方法(1)公式法:等差数列、等比数列求和公式;(2)分组求和法;(3)倒序相加法;(4)错位相减法;(5)裂项法;如:;.(6)并项法数列求和时要明确:项数、通项,并注意根据通项的特点选取合适的方法问题4数列an满足anan1(nN,n1),若a21,Sn是an的前n项和,则S21的值为_5在求不等式的解集时,其结果一定要用集合或区间表示,不能直接用不等式表示问题5不等式3x25x20的解集为_6不等式两端同时乘以一个数或同时除以一个数,必须讨论这个数的正负两个不等式相乘时,必须注意同向同正时才能进行问题6已知a,b,c,d为正实数,且cd,则“ab”是“acbd”的_条件7基本不等式: (a,b0)(1)推广: (a,b0)(2)用法:已知x,y都是正数,则若积xy是定值p,则当xy时,和xy有最小值2;若和xy是定值s,则当xy时,积xy有最大值s2.易错警示:利用基本不等式求最值时,要注意验证“一正、二定、三相等”的条件问题7已知a0,b0,ab1,则y的最小值是_8解线性规划问题,要注意边界的虚实;注意目标函数中y的系数的正负;注意最优整数解问题8设定点A(0,1),动点P(x,y)的坐标满足条件则|PA|的最小值是_易错点1an与Sn关系不清例1已知数列an的前n项和为Snn2n1,则数列an的通项公式为_错因分析没有注意到anSnSn1成立的条件:n2,忽视对n的分类讨论解析当n1时,a1S13;当n2时,ann2n1(n1)2(n1)12n,an答案an易错点2忽视等比数列中q的范围例2设等比数列an的前n项和为Sn,若S3S6S9,则数列an的公比q_.错因分析没有考虑等比数列求和公式Sn中q1的条件,本题中q1恰好符合题目条件解析当q1时,S3S69a1,S99a1,S3S6S9成立当q1时,由S3S6S9,得.q9q6q310,即(q31)(q61)0.q1,q310,q61,q1.答案1或1易错点3数列最值问题忽略n的限制例3已知数列an的通项公式为an(n2)()n(nN*),则数列an的最大项是()A第6项或第7项 B第7项或第8项C第8项或第9项 D第7项错因分析求解数列an的前n项和Sn的最值,无论是利用Sn还是利用an来求,都要注意n的取值的限制,因为数列中可能出现零项,所以在利用不等式(组)求解时,不能漏掉不等式(组)中的等号,避免造成无解或漏解的失误解析因为an1an(n3)()n1(n2)()n()n,当n7时,an1an0,即an1an;当n7时,an1an0,即an1an;当n7时,an1an0,即an1an.故a1a2a7a8a9a10,所以此数列的最大项是第7项或第8项,故选B.答案B易错点4裂项法求和搞错剩余项例4在数列an中,an,又bn,则数列bn的前n项和为()A. B.C. D.错因分析裂项相消后搞错剩余项,导致求和错误:一般情况下剩余的项是对称的,即前面剩余的项和后面剩余的项是对应的解析由已知得an(12n),从而bn4(),所以数列bn的前n项和为Sn4(1)()() ()4(1).故选D.答案D易错点5解不等式时变形不同解例5解不等式2.错因分析本题易出现的问题有两个方面:一是错用不等式的性质直接把不等式化为3x52(x22x3)求解;二是同解变形过程中忽视分母不为零的限制条件,导致增解解原不等式可化为20,即0.整理得0,不等式等价于解得3x1或x1.所以原不等式的解集为x|3x1或x1易错点6忽视基本不等式中等号成立条件例6函数yx(x1)的值域是_错因分析本题易出现的错误有两个方面:一是不会“凑”,不能根据函数解析式的特征适当变形凑出两式之积为定值;二是利用基本不等式求最值时,忽视式子的取值范围,直接套用基本不等式求最值如本题易出现:由yxx11213,得出y3,)这一错误结果解析当x1时,yxx11213,当且仅当x1,即x2时等号成立;当x1时,yx1x1211,即y1,当且仅当1x,即x0时等号成立所以原函数的值域为(,13,)答案(,13,)1(20xx重庆)在等差数列an中,若a24,a42,则a6等于()A1 B0 C1 D62(20xx武汉适应性训练)已知正项等差数列an的前20项和为100,那么a6a15的最大值是()A25 B50C100 D不存在3已知数列an是公差不为0的等差数列,bn是等比数列,其中a13,b11,a2b2,3a5b3,若存在常数u,v对任意正整数n都有an3logubnv,则uv等于()A3 B6C9 D124(20xx江南十校联考(二)已知数列an的通项公式为anlog3(nN*),设其前n项和为Sn,则使Sn4成立的最小自然数n为()A83 B82 C81 D805(20xx湖南)若变量x,y满足约束条件则z3xy的最小值为()A7 B1 C1 D26把一数列依次按第一个括号内一个数,第二个括号内两个数,第三个括号内三个数,第四个括号内一个数,循环分为(1),(3,5),(7,9,11),(13),(15,17),(19,21,23),(25),则第50个括号内各数之和为()A195 B197C392 D3967(20xx福建六校联考)设x,yR,且xy0,则(x2)(4y2)的最小值为_8已知函数f(x)(a0,a1)数列an满足anf(n)(nN*),且an是单调递增数列,则实数a的取值范围是_9(20xx忻州联考)不等式组表示的平面区域为,直线ykx1与区域有公共点,则实数k的取值范围为_10已知函数f(x)(a,b为常数)且方程f(x)x120有两实根x13,x24.(1)求函数f(x)的解析式;(2)设k1,解关于x的不等式f(x).11等比数列an的公比q1,第17项的平方等于第24项,求使a1a2an成立的正整数n的取值范围学生用书答案精析4数列、不等式要点回扣问题1问题2A问题3(1)512(2)10问题4问题5问题6充分不必要问题79问题8查缺补漏1B由等差数列的性质,得a62a4a22240,选B.2A由题意知S20201005,故a6a15a1a2010,又an为正项数列,所以,a60,a150,所以a6a15()225.3B设等差数列an的公差为d,等比数列bn的公比为q,则解得d6,q9,所以an6n3,bn9n1,6n33nlogu9v3logu9对任意正整数n恒成立,所以解得uv3,故uv6.4Canlog3log3nlog3(n1),Snlog31log32log32log33log3nlog3(n1)log3(n1)4,解得n34180.故最小自然数n的值为81.5A不等式组表示的平面区域如图,平移直线y3xz,过M(2,1)时,zmin3(2)17.故选A.6C将三个括号作为一组,则由501632,知第50个括号应为第17组的第二个括号,即第50个括号中应是两个数又因为每组中含有6个数,所以第48个括号的最末一个数为数列2n1的第16696项,第50个括号的第一个数应为数列2n1的第98项,即为2981195,第二个数为2991197,故第50个括号内各数之和为195197392.故选C.79解析(x2)(4y2)144x2y21429,当且仅当4x2y2即|xy|时等号成立8(4,8)解析an是单调递增数列,4a2时,解集为x1,2)k,)11解由题意,得(a1q16)2a1q23,所以a1q91.又因为数列是以为首项,以为公比的等比数列,要使不等式成立,则需,把aq18代入上式并整理,得q18(qn1)q(1),即q18(qn1)q,所以qnq19.因为q1,所以n19.故所求正整数n的取值范围是n20,nN*.
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