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精选优质文档-倾情为你奉上必修四常考公式及高频考点第一部分 三角函数与三角恒等变换考点一 角的表示方法1.终边相同角的表示方法:所有与角a终边相同的角,连同角a在内可以构成一个集合:|= k360 +,kZ 2.象限角的表示方法:第一象限角的集合为| k360 k360 +90 ,kZ 第二象限角的集合为| k360 +90 k360 +180 ,kZ 第三象限角的集合为| k360 +180 k360 +270 ,kZ 第四象限角的集合为| k360 +270 0,且x=0时的相位(x+=)称为初相.如果不满足0,先利用进行变形,使之满足上述条件,再进行计算.如y=-3sin(-2x+600)的初相是-600求解思路:利用三角函数对称性与周期性的关系,解.相邻的对称中心之间的距离是周期的一半;相邻的对称轴之间的距离是周期的一半;相邻的对称中心与对称轴之间的距离是周期的四分之一.2.“一图、两域、四性”“一图”:学好三角函数,图像是关键。易错提醒:“左加右减、上加下减”中“左加右减”仅仅针对自变量x,不可针对-x或2x等.例:“两域”:(1) 定义域求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式,常借助三角函数线或三角函数图象或数轴法来求解.(2) 值域(最值):a.直接法(有界法):利用sinx,cosx的值域.b.化一法:化为y=Asin(x+)+k的形式逐步分析x+的范围,根据正弦函数单调性写出函数的值域(最值).c.换元法:把sinx或cosx看作一个整体,化为求一元二次函数在给定区间上的值域(最值)问题. 例:1.y=asinx2+bsinx+c2.y=asinx2+bsinxcosx+ccosx23.y=(asinx+c)/(bcosx+d)4.y=a(sinxcosx)+bsinxcosx+c“四性”:(1)单调性 函数y=Asin(x+)(A0, 0)图象的单调递增区间由2k-x+2k,kZ解得, 单调递减区间由2k+x+0, 0)图象的单调递增区间由2k+x+2k2,kZ解得, 单调递减区间由2kx+0, 0)图象的单调递增区间由k-x+k,kZ解得,. 规律总结:注意、A为负数时的处理技巧(2)对称性函数y=Asin(x+)的图象的对称轴由x+= k(kZ)解得,对称中心的横坐标由x+= k(kZ)解得;函数y=Acos(x+)的图象的对称轴由x+= k(kZ)解得,对称中心的横坐标由x+=k(kZ) 解得;函数y=Atan(x+)的图象的对称中心由x+= k(kZ)解得. 规律总结:可以是单个角或多个角的代数式.无需区分、A符号.(3)奇偶性函数yAsin(x),xR是奇函数k(kZ),函数yAsin(x),xR是偶函数k(kZ);函数yAcos(x),xR是奇函数k(kZ);函数yAcos(x),xR是偶函数k(kZ);函数yAtan(x),xR是奇函数(kZ)规律总结:可以是单个角或多个角的代数式.无需区分、A符号. (4)周期性函数yAsin(x)或yAcos(x)的最小正周期T,yAtan(x) 的最小正周期T.考点六 常见公式常见公式要做到“三用”:正用、逆用、变形用1.同角三角函数的基本关系;=2.三角函数化简思路:“去负、脱周、化锐”(1)去负,即负角化正角:sin(-a)=-sina; cos(-a)=cosa;tan(-a)=-tana;(2)脱周,即将不在(0,2)的角化为(0,2)的角:sin(2k+a)=sina; cos(2k+a)=cosa;tan(2k+a)=-tana;(3)化锐,即将在(0,2)的角化为锐角:6组诱导公式,口诀:奇变偶不变,符号看象限. 均化为“k/2a”,做到“两观察、一变”。一观察:k是奇数还是偶数;二观察:k/2a终边所在象限,再由k/2a终边所在象限,确定原函数对应函数值的正负.一变:正弦变余弦、余弦变正弦、正切利用商的关系变换. 其中公式(1)也可理解为终边相同角的三角函数值相同,公式(3)也可按照函数奇偶性理解3.两角和差公式;, 4.二倍角公式;,二倍角公式是两角和的正弦、余弦、正切公式,当=时的特殊情况倍角是相对的,如0.5是0.25的倍角,3是1.5的倍角5.升降幂公式(升幂缩角).(降幂扩角),6.辅助角公式=(辅助角所在象限由点的象限决定, ,- 、cos、tan1、sin- 、cos- 、tan2i考点二 向量的线性运算1.向量的加法法则(1)平行四边形法则:共起点,指向对角线;起点相同、终点相同,首尾相连、路径不限(2)三角形法则:首尾相连,可理解为“条条大路通罗马”2. 向量的减法原则:起点相同、指向被减 (a+b)= OC , (a-b)= BA两个向量共线只可用三角形法则;封闭图形、首尾相连、相加为零3.向量的数乘运算实数与向量的积叫做向量的数乘,记作其几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩(1)(2)当时,的方向与的方向相同;当时,的方向与的方向相反;当时,4.a与b的数量积运算ab=|a|b|cos=|a|b|cos=x1x2+y1y2(1)|a|cos叫做a在b方向上的投影;|b|cos叫做b在a方向上的投影(2)ab的几何意义:ab等于|a|与|b|在a方向上的投影|b|cos的乘积(3)为a与b的夹角,0(4)零向量与任一向量的数量积为(5)ab=-ba(6)向量没有除法,“a/b”没有意义,注意与复数运算的区别(7)向量的加法、减法、数乘结果为向量,向量的数量积结果为实数易错提醒:向量的数量积与实数运算的区别:(1)向量的数量积不满足结合律,即:(ab)ca(bc)(2)向量的数量积不满足消去律,即:由 ab=ac (a0),推不出 b=c(3)由 |a|=|b| ,推不出 a=b或a=-b(4)|ab|a|b|考点三 向量的运算律1.实数与向量的积的运算律设、为实数,那么(1) 结合律:(a)=()a;(2)第一分配律:(+)a=a+a;(3)第二分配律:(a+b)=a+b.2.向量的数量积的运算律:(1) ab= ba (交换律);(2)(a)b= (ab)=ab= a(b);(3)(a+b)c= a c +bc.考点四 向量的坐标表示及坐标运算1.平面向量基本定理 如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数1、2,使得a=1e1+2e2不共线的向量(隐含另一条件为非零向量,基底不唯一)e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底该定理作用:证明三点共线、两直线平行或两个向量a、b共线.解题思路:可用两个不共线的向量e1、e2表示向量a、b,设b=a(a0),化成关于e1、e 2的方程,即f() e1+g() e2=0,由于e1、e 2不共线,则f()=0,g() =02.向量的坐标表示表示(1)设a=,b=,则a+b=(2)设a=,b=,则a-b= (3)设(4)设a=,b=,则ab=|a|b|cos=xx2+y1y2(5)设A,B,则(6)易错提醒:公式(2)与公式(5)的区别向量坐标与该向量有向线段的端点无关,仅与其相对位置有关考点四 向量的常见公式1.线段的定比分公式 (1)定比分点向量公式:设,是线段的分点,是实数,且,则的坐标是,即().(2)定比分点坐标公式:,2.三角形五“心”向量形式的充要条件设为所在平面上一点,角所对边长分别为,则(1)为的外心.(2)为的重心.(3)为的垂心.(4)为的内心.(5)为的的旁心.3. A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)三点共线OC=OA +OB ,且+=1 (x1-x2)(y2-y3)= (x2-x3) (y1-y2)等4.向量的三角形不等式和方程(1)a-ba+ba+b 当且仅当a、b反向时,左边取等号; 当且仅当a、b同向时,右边取等号(2)a-ba-ba+b 当且仅当a、b同向时,左边取等号; 当且仅当a、b反向时,右边取等号记忆规律:(1)与(2)的几何意义为三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边(3)a+b2+a-b2=2(a2+b2),该式几何意义为平行四边形对角线平方和等于四条边的平方和(4)ab0推不出a与b的夹角为锐角,可能为0;ab0推不出a与b的夹角为钝角,可能为1805.点的平移公式 .注:图形F上的任意一点P(x,y)在平移后图形上的对应点为,且的坐标为.6.“按向量平移”的几个结论(1)点按向量a=平移后得到点.(2)函数的图象按向量a=平移后得到图象,则的函数解析式为.(3)图象按向量a=平移后得到图象,若的解析式,则的函数解析式为.(4)曲线:按向量a=平移后得到图象,则的方程为.(5)向量m=按向量a=平移后得到的向量仍然为m=.考点五 向量的的四种常见题型设a=,b=1.两个向量的平行或共线关系:a/bb=a(a0)(交叉相乘差为零),若a=0,则a=0,当b=0,不唯一;当b0,不存在.限定a0是保证的唯一性和存在性不可写为x1/x2=y1/y22.两个向量的垂直关系 abab=0|a|b|cos=0(对应相乘和为零)3.两个向量的夹角公式:,其中为a与b的夹角4.两个向量的模运算:若,则或(ab)2=a22ab+b2,(a+b)(a-b)=a2-b2解题技巧:1.如向量用模表示,且已知两个向量的夹角,遇模,先平方后开方,如2.如向量用坐标表示,遇模不平方,直接按照坐标运算专心-专注-专业
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