2020届衡阳市八中高三第六次月考理科数学参考答案

2020届衡阳市八中高三第六次月考理科数学参考答案命题：彭 源 审题：蒋金元考试时量：120分钟 试卷满分：150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）题号123456789101112答案BADDACBCACBD二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分 把答案填在答题卡中的横线上）13 _ -2 _ 14 15. (1) ， (2) .16 _ 三、解答题（本大题共6小题，共70分 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）（一）必考题：60分17(本小题满分12分) 已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（1）求角B的值；（2）若ABC的面积为，设D为边AC的中点，求线段BD长的最小值【详解】(1)由，得，即，即.由正弦定理得，因，所以，则，所以， 所以，即.(2)由ABC的面积为，即，得.因为D为边AC的中点，所以，所以，即，当且仅当时取“=”，所以，即线段BD长的最小值为.18(本小题满分12分) 已知正方形ABCD，E，F分别为AB，CD的中点，将ADE沿DE折起，使ACD为等边三角形，如图所示，记二面角A-DE-C的大小为.（1）证明：点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上；（2）求角的正弦值.【详解】(1)证明：过点A作AG平面BCDE，垂足为G，连接GC，GD.因为ACD为等边三角形，所以AC=AD，所以点G在CD的垂直平分线上.又因为EF是CD的垂直平线，所以点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上.另证：过点A作AGEF，再证AGCD，从而证得AG平面BCDE，即点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上(2) 解：以G为坐标原点，GA所在直线为z轴，GF所在直线为y轴，过点G作平行于DC的直线为x轴建立空间直角坐标系.设正方形ABCD的边长为2a，连接AF，则AF= a，AE= a，EF=2 a. 所以设平面ADE的一个法向量为m=(x，y，z)，则，取y=1，得m=，又平面DEC的一个法向量n=(0，0，1)所以，即.19(本小题满分12分) 如图，已知椭圆的长轴长为4，过椭圆的右焦点为F作斜率为的直线交椭圆于B，C两点，直线的斜率之积为.（1）求椭圆的方程；（2）已知直线，直线分别与相交于两点，设为线段的中点，求证：【详解】(1)设，因点B在椭圆上，所以，故又， 所以，即因 所以，所以，所以椭圆的方程为.(2)设直线BC的方程为，由，得，则.直线的方程为，令，得；同理；所以，即点，又，所以，所以.20(本小题满分12分)已知函数（1）当时，求函数在区间上的值域；（2）对于任意，都有，求实数的取值范围.【详解】(1) 当时，则令，则.当时，当时，得，解得当时，得，解得所以在上单调递增，在上单调递减，故即，在上单调递减，所以所以函数在区间上的值域为.(2)因为，故可化为即函数在区间上为增函数，所以当时，即恒成立.当时，；当时，令，则.当时，当时，当时，.所以在上单调递减，故，所以.综上，实数的取值范围是.21. (本小题满分12分) 随着科学技术的飞速发展，网络也已经逐渐融入了人们的日常生活，网购作为一种新的消费方式，因其具有快捷、商品种类齐全、性价比高等优势而深受广大消费者认可.某网购公司统计了近五年在本公司网购的人数，得到如下的相关数据(其中“x=1”表示2015年，“x=2”表示2016年，依次类推；y表示人数)：x12345y(万人)2050100150180(1)试根据表中的数据，求出y关于x的线性回归方程，并预测到哪一年该公司的网购人数能超过300万人；(2)该公司为了吸引网购者，特别推出“玩网络游戏，送免费购物券”活动，网购者可根据抛掷骰子的结果，操控微型遥控车在方格图上行进. 若遥控车最终停在“胜利大本营”，则网购者可获得免费购物券500元；若遥控车最终停在“失败大本营”，则网购者可获得免费购物券200元. 已知骰子出现奇数与偶数的概率都是，方格图上标有第0格、第1格、第2格、第20格。遥控车开始在第0格，网购者每抛掷一次骰子，遥控车向前移动一次。若掷出奇数，遥控车向前移动一格（从到）若掷出偶数遥控车向前移动两格（从到），直到遥控车移到第19格胜利大本营）或第20格（失败大本营）时，游戏结束。设遥控车移到第格的概率为，试证明是等比数列，并求网购者参与游戏一次获得免费购物券金额的期望值。附：在线性回归方程中，.(1) 故 从而所以所求线性回归方程为，令，解得.故预计到2022年该公司的网购人数能超过300万人（3）遥控车开始在第0格为必然事件，第一次掷硬币出现正面，遥控车移到第一格，其概率为,即。遥控车移到第n（）格的情况是下列两种，而且也只有两种。 遥控车先到第格，又掷出反面，其概率为 遥控车先到第格，又掷出正面，其概率为所以， 当时，数列是公比为的等比数列 以上各式相加，得 （）， 获胜的概率失败的概率设参与游戏一次的顾客获得优惠券金额为元，或X的期望参与游戏一次的顾客获得优惠券金额的期望值为，约400元.（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22. (本小题满分10分) 选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系中，点，直线的参数方程为（t为参数），在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程，直线与曲线C交于A、B两点（1）求直线的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）求的值【解析】（1）直线l的参数方程为（t为参数），消去参数，可得直线l的普通方程，曲线C的极坐标方程为，即，曲线C的直角坐标方程为，（2）直线的参数方程改写为（t为参数），代入，23. (本小题满分10分) 选修45：不等式选讲 已知函数（1）当时，求不等式的解集；（2）证明：【解析】(1)略解：，所以不等式的解集为；(2)证明：因为，所以，当且仅当时取“=”所以当且仅当且时取“=”，故得证.