不等式证明中辅助函数的构造方法与技巧

精选优质文档-倾情为你奉上大庆师范学院本科生毕业论文不等式证明中辅助函数的构造方法与技巧学 院 教师教育学院 专 业 数学与应用数学 研 究 方 向 数学教育 学 生 姓 名 刘雨琳 学 号 1 指导教师姓名 李秀丽 指导教师职称 副教授 2015年5月25日专心-专注-专业摘 要不等式的证明问题是高等数学学习中一类很重要的问题，有些不等式的证明问题可以运用我们所学的基础知识直接解决，但有些不等式成立需要借助于构造辅助函数，构造辅助函数证明不等式成立的方法有很多。本文简单介绍了几种在证明不等式时可以运用的构造辅助函数的方法和技巧，并且给出了在常见的几种不等式类型中这些方法的应用，主要就是通过构造出适合的辅助函数，将复杂的问题转变为基础的、简单的问题，提高解题的效率。关键词：不等式；构造；辅助函数；方法；技巧；Abstract Proving inequalities is a class of very important problems in learning Higher Mathematics. The proof of some inequalities can be solved directly using what we have learned the basic knowledge , but some inequalities can be established by constructing an auxiliary function , constructing an auxiliary function that inequality into the established method has much . This article simply introduces the methods and skills of several in proving inequalities can be used to construct the auxiliary function , and gives the application of these methods in several common types of inequality , mainly is by constructing a suitable auxiliary function , transformation of the complex issues as basis , a simple problem , improve their problem solving efficiency .Keywords: inequality; structure; auxiliary function; methods; techniques; 目录第1章 前言不等式证明是数学中一类十分重要的问题，它可以运用到许多相关的知识，比如函数的性质，微积分等。关于不等式证明问题有许多的方法，如反证法、换元法、数学归纳法、构造法等，这些方法都具有很强的技巧性，做题时找出最适合的方法可以事半功倍。在解决不等式证明问题的过程当中，我们更多的采取借助构造辅助函数的方法，将函数与不等式结合起来，构造出恰当的辅助函数，再利用函数的基本性质，将问题变得简单化。掌握构造辅助函数的方法对我们提高解决问题的效率、灵活运用函数与不等式的关系有着重要的意义。那么，如何构造出适合的辅助函数，需要怎样的方法，运用怎样的技巧。本文首先会对几种构造辅助函数的方法进行阐述，其中包括在数学分析这门课中学到的有关微分中值定理、凸函数、以及詹森不等式等的知识都可以运用到这些方法中，借助这些知识构造出适合的辅助函数，进一步解决问题。接着本文还会介绍前面提到的构造辅助函数的方法在几种常见类型的不等式证明中的应用，并通过几个例题具体地分析，更准确的把握方法的精髓，并对其中涉及到的相关技巧进行总结，达到活学活用的目的。第二章 几种构造辅助函数的方法与技巧2.1 利用单调性法这种方法是构造辅助函数经常可以用到的方法，将要证明的不等式进行移项（或恒等变形后移项），让不等式的一端为零，则另一端就是所要作的辅助函数。例1 证明： 证 且 例2 证明 当时，.证 取，显然 ，因为，且，所以有 ，从而在内单调增加.于是，即得证.解决这类题目的步骤很明了，先作辅助函数，求出导数，判别函数的单调性，然后求函数在区间左右端点的函数值或在该区间的极限值，通常其中必有一个端点函数值或极限值为零，最后得出命题结论。 例3 当时，证明： .证 设 ，则有 ,由于在区间上有，则在上是单调递增的.因此，当时，即 .利用函数的单调性构造辅助函数，对结论形式进行变形，可以发现与其相关的辅助函数，同时要求对初等函数的性质有准确的掌握。 例4 已知 故 这是一个关于的减函数，故当时，有 ，即 这道题解题的关键在于要知道通过换元将自变量变成 ，把结构不同的式子统一化，最后将函数转化成求关于变量的函数。2.2 参数变易法例5 ,且求证：解 将结论中的参数变为变量,得到辅助函数，因为在上二阶可导，且故 即在上单调递增，所以对于任意，都有 特别地，有即 例5 设在上连续，证明： .证 把上式中的参数换成，移项得 ，令 ，因为所以函数在上单调递减，又因为，所以，故 .在上面两道题的证明中，首要的是找出应该转变为变量的常数，接着再运用不定积分对该形式进行进一步解决，在一般的定积分不等式证明中，参数变易法通常要改变函数的上（或下）限积分，将上（或下）限变成所设的参量，然后运用变限积分的求导（或是微分中值定理）等等，从而得到所要证明的结论，然后把参量变回为常量。采用此法进行构造辅助函数时，应注意要尽量要将未知的转化，根据性质，把其中的参量（或常量）变化为变量，构造出一个新的函数，使得结论也是该函数满足条件下的一种情况，最后根据函数的性质进一步推导出结论。2.3 变形法例6 设函数在上可微，且当时， 求证 证 可将最终结论转化为，有 利用柯西中值定理，得 .此例中如果直接采用微分中值定理来加以证明，处理起来会比较复杂，因为结论中出现了两个不同的函数，如果将结论的形式转化成除式，就可以采用柯西中值定理，而且在涉及到变形时，还巧妙的运用到了两个恒为零的项 （根据已知条件构造出的），(0)=0（题目中给出的已知条件），可以运用这两个变形是解决本题的重点之一。例7 当时，求证 .证 因为，所以，则可将原不等式两边同乘，再移项，得令则 其中等号在时取得，即，则在上为单调递减，又在上，则，即2.4 利用凸函数定义在高等数学中，我们在利用导数讨论函数的性质时，会遇到一类特殊的函数凸函数，由于它具有一些特殊的性质，我们经常用它来证明一些不等式。例8 证明 对任何非负实数有：证 令所以因此在上是凸的，则对任何的非负实数有： 即即 例9 在中证明 证 令由故在是凸函数，有 ，即即故2.5 利用詹森不等式 詹森不等式：若为上凸函数，则对任意，有例10 证明不等式其中均为正数.证 设由的一阶和二阶导数可见，在时为严格的凸函数，根据詹森不等式有从而即例11 设，有证 设，则 ，故在时为严格凸函数，取依詹森不等式有即也就是即因上述不等式对任意个正数成立，取 代替有即综合上述结论，原不等式成立.2.6 借助中值定理 在高等数学中，运用中值定理解决不等式的证明问题是一个很好的途径，下面通过两个实例进行说明。例12 设证明不等式证 显然等式当且仅当时成立； 当时，有 作辅助函数则在上满足拉格朗日中值定理，则存在使由于所以故有即例13 设证 ，其中由上式,得移项得 证毕.第三章 构造辅助函数证明几类常见不等式3.1 一般不等式的证明 例13 证明 证 令则 且等号成立的条件是：即所以 但 但由式可知即严格单调递增,而所以当 时，有，此即例14 已知，求证 .证 当时，则可将要证的不等式转变为令 则 ，设，则故单调递增.当时，有，即.而 ，故即证式，从而有3.2 含积分符号的不等式的证明通常会将要证的结论中的积分改成变限积分，并且表达式中相应的变量也随之改变，移项一侧变化成0，则另外一侧的表达式即为所要做的辅助函数。 例15 设在上连续，且单调减少，证明 对于满足的任何有证 （因此单调递减，又由已知，得 故 ，即 解决这种题目的步骤很明了，先作辅助函数，求导，判别导数的符号，从而判别函数的单调性，然后求函数在积分区间端点的函数值，其中必有一个是零或者有一个符号已知，最后分析得出命题的结论。 为了更好的理解，给出下面一道例题。 例16 证明 设在上可积，且是在上的连续凸函数，则证 令则 由于是凸函数，故有 由定积分的定义，在上式中令时，则有3.3 含微分符号的不等式的证明例17 设二次函数并知其中为定值.试证 函数在某一点处取极小值的条件是：.证 令则由拉格朗日中值定理，则再由拉格朗日中值定理，有 其中由此可知，在某一点取极小值（因为是二次函数，必有极小值）.例18 设定义在存在且单调下降，证明：对于，恒有证 当时，结论是显然成立的. 当（即）时，分别对应用拉格朗日中值定理，则存在使得因为单调下降，所以.则所以构造辅助函数，除了要具有很强的对应性外，还必须依据高等数学中相关的定理，特别是微积分的相关定理。要学会分析题目中所给出的条件，找出隐藏的特点，才能逐步掌握辅助函数的构造方法。第四章 总结 在学习数学的过程中，我们会不断地遇到各种各样的难题，但是经验告诉我们，只要掌握了数学思想方法的精髓所在，难题就可以变得十分简单。不等式证明过程中涉及的技巧很多，需要我们在遇到时慢慢积累，形成一定的思路，将思路转化为数学的思维，并且灵活运用，这样难题就不再困难。本文讲到的不等式证明中辅助函数的构造方法与技巧对我们的要求是会将问题归类，并且学会将问题转化，将抽象复杂的转化为具体简单的。方法与技巧就是开启数学大门的钥匙，如果你想真正进入到数学的世界，那么你一定得先获得钥匙，它会出现在我们探索数学知识的途中，只要你用心领会，就一定会发现。当今社会的变化日新月异，对人才的要求愈加严格，这对我们是一个很大的挑战，需要我们将学到的知识活学活用，要善于总结规律和灵活转化，只有这样，专业知识的学习对于即将走向社会的我们才会大有裨益，如果只是死记硬背公式定理不去理解运用，那么它于我们只不过是大脑的匆匆过客，不会留下一丝痕迹，更不用说让我们依靠它拼出自己的美好未来了。会学习，是我们一定要弄懂的课题。参考文献1 陈传璋，金福临，朱学炎，欧阳光中. 数学分析M.上海：高等教育出版社，1988,13-26.2 江泽坚，吴智泉，周光亚. 数学分析M. 北京：人民教育出版社，1978,14-16.3 吴振廷. 简明微积分研究M. 北京：地质出版社，1984,11-12.4 李静. 高等数学解题指导概念、方法与技巧M. 北京：北京大学出版社，2003,12-14.5 刘玉莲，傅沛仁. 数学分析讲义M. 北京：高等教育出版社，1997,10-12.6 李新. 不等式证明举例J. 数学通报,1998,3（5）：10-12.7 刘玉璞. 几种不等式的证明J. 高等数学研究，1999,4（3）:28-29.