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金太阳新课标资源网 1.2 函数的概念及表示教学设计【教学目标】（1）通过丰富实例，学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的三要素；能够正确使用“区间”的符号表示某些集合.（2）理解函数的概念，并且会灵活运用函数的概念解题.（3）明确函数的三种表示方法.（4）会根据不同实际情境选择合适的方法表示函数.（5）通过具体实例，了解简单的分段函数及应用.【导入新课】回顾问题导入：1讨论：放学后骑自行车回家，在此实例中存在哪些变量？变量之间有什么关系？2回顾初中函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与之对应，此时y是x的函数，x是自变量，y是因变量.（表示方法有：解析法、列表法、图象法）.新授课阶段（一）函数的概念：思考1：（课本P15）给出三个实例： A一枚炮弹发射，经26秒后落地击中目标，射高为845米，且炮弹距地面高度h（米）与时间t（秒）的变化规律是. B近几十年，大气层中臭氧迅速减少，因而出现臭氧层空洞问题，图中曲线是南极上空臭氧层空洞面积的变化情况.（见课本P15图） C国际上常用恩格尔系数（食物支出金额总支出金额）反映一个国家人民生活质量的高低.“八五”计划以来我们城镇居民的恩格尔系数如下表.（见课本P16表）讨论：以上三个实例存在哪些变量？变量的变化范围分别是什么？两个变量之间存在着怎样的对应关系？ 三个实例有什么共同点？归纳：三个实例变量之间的关系都可以描述为：对于数集A中的每一个x，按照某种对应关系f，在数集B中都与唯一确定的y和它对应，记作：1. 函数的定义：设A、B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么称为从集合A到集合B的一个函数（function），记作：. 其中，x叫自变量，x的取值范围A叫作定义域（domain），与x的值对应的y值叫函数值，函数值的集合叫值域（range）.显然，值域是集合B的子集.（1）一次函数y=ax+b (a0)的定义域是R，值域也是R； （2）二次函数 (a0)的定义域是R，值域是B；当a0时，值域；当a0时，值域. （3）反比例函数的定义域是，值域是.2. 区间及写法：设a、b是两个实数，且ab，则：（1） 满足不等式的实数x的集合叫做闭区间，表示为a,b；（2） 满足不等式的实数x的集合叫做开区间，表示为（a,b）；（3） 满足不等式的实数x的集合叫做半开半闭区间，表示为；这里的实数a和b都叫做相应区间的端点.（数轴表示见课本P17表格）符号“”读“无穷大”；“”读“负无穷大”；“+”读“正无穷大”.我们把满足的实数x的集合分别表示为.例1 对范围用区间表示正确的为（ ） A B C D【解析】根据区间的表示法可以知道，如果取到等号时，用闭区间，否则用开区间，因此选B.【答案】 B3. 函数定义域的求法：函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的集合.例2 函数的定义域为，那么其值域为（）A B C D【解析】只需把x=0，1，2，3代入计算y即可.【答案】A 例3 如图，用长为1的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若半圆半径为，求此框架围成的面积与的函数式，并写出它的定义域【分析】首先审题，得到框架围成的面积与半圆半径之间的关系，然后根据实际意义找到半圆半径的取值范围.解：根据题意得，, =,于是AD=，因此，即.由，得， 函数的定义域为（，）.例4 记集合M，函数的定义域为集合N求：（）集合M，N；（） 集合，分析：对于偶次根式，只要使得被开方式非负即可，同时要熟练运用集合的有关运算解决.解：（）（）.4. 函数相同的判别方法：函数是否相同，看定义域和对应法则.例5 下列函数中哪个与函数是同一个函数（ ）Ay=() By= Cy= Dy=【解析】当两个函数的解析式和定义域完全相同时，这两个函数为同一函数同时满足这两个条件的只有B中的函数.【答案】A【答案】只有（2）合适.（二）函数的三种表示方法：1. 结合课本P15 给出的三个实例，说明三种表示方法的适用范围及其优点：解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系；优点：简明扼要；给自变量求函数值.图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系；优点：直观形象，反映两个变量的变化趋势.列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系. 优点：不需计算就可看出函数值，如股市走势图； 列车时刻表；银行利率表等.例6 （1） 已知()是一次函数，且满足，求；（2） 已知 (0)， 求.【分析】紧扣函数的表示法，利用解析式求解时，要注意待定系数法在解题中的灵活运用，即首先设出函数的解析式，然后构造等式解决.【解】（1）设，由得：， ，解得：， .（2）令，得 .例7 函数的图象是（ ）【解析】所给函数可化为：，故答案为C也可以根据函数的的定义域为而作出判断.【答案】C例8 已知的图象恒过（1，1）点，则的图象恒过（ ）A（3，1）B（5，1） C（1，3） D（1，5）【解析】法一：由的图象恒过（1，1）知，即，故函数的图像过点（5，1）法二：的图象可由的图象向右平移4个单位而得到，（1，1）向右平移4个单位后变为（5，1）.【答案】B2. 分段函数的定义：在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数，如以下的例3的函数就是分段函数.说明：（1）分段函数是一个函数而不是几个函数，处理分段函数问题时，首先要确定自变量的数值属于哪个区间段，从而选取相应的对应法则；画分段函数图象时，应根据不同定义域上的不同解析式分别作出；（2）分段函数只是一个函数，只不过x的取值范围不同时，对应法则不相同.例9 画出下列函数的图象.（1）yx2，xZ且；（2）y23，（0，2；（3）yx2x；（4）解：四个函数的图象如下例10 如图，动点P从单位正方形ABCD顶点A开始，顺次经C、D绕边界一周，当x表示点P的行程，y表示PA之长时，求y关于x的解析式，并求f()的值.解：当P在AB上运动时， ；当P在BC上运动时，y=当P在CD上运动时，y=当P在DA上运动时，y=4y=()=例11 已知，则的值为 .【解析】.【答案】课堂小结1.掌握函数的定义域与值域的求解方法；2.理解函数的概念；3.掌握函数的表示方法，尤其要注意解析法在解决应用题中的灵活运用.作业见同步练习部分拓展提升一、选择题1若集合，则是( )A B. C. D.有限集2已知函数的图象关于直线对称，且当时，有则当时，的解析式为（ ）A B C D3函数的图象是（ ）4若函数的定义域为,值域为，则的取值范围是（ ）A B C D5若函数，则对任意实数，下列不等式总成立的是（ ）A BC D6函数的值域是（ ）A B C D 二、填空题7函数的定义域为，值域为，则满足条件的实数组成的集合是 .8设函数的定义域为，则函数的定义域为_.9当时，函数取得最小值.10二次函数的图象经过三点，则这个二次函数的解析式为 .11已知函数，若,则 .三、解答题12求函数的值域.13利用判别式方法求函数的值域.14已知为常数，若则求的值.15对于任意实数，函数恒为正值，求的取值范围.参考答案1. B 【解析】 .2. D【解析】设，则，而图象关于对称，得，所以.3. D【解析】 .4. C【解析】作出图象 的移动必须使图象到达最低点.5. A【解析】 作出图象 图象分三种：直线型，例如一次函数的图象：向上弯曲型，例如 二次函数的图象；向下弯曲型，例如 二次函数的图象.6. C【解析】作出图象 也可以分段求出部分值域，再合并，即求并集二、填空题7. 【解析】当 ，当 .8. 【解析】.9. 【解析】， 当时，取得最小值.10. 【解析】设把代入得.11. 【解析】由得.三、解答题12.解：令，则， ，当时，.13.解：，显然，而（*）方程必有实数解，则， .14.解： 得，或 .15. 解：显然，即，则得,.第 10 页 共 10 页 金太阳新课标资源网
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