平面向量数量积的物理背景及其含义教案_6303

教 案平面向量数量积的物理背景及其含义王瑞琪项城市第一高级中学2012-6-17课题： 平面向量数量积的物理背景及含义教学目标( 一) 知识目标1、了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义及其物理意义；2、体会平面向量的数量积与向量投影的关系，掌握数量积的性质，并能运用性质进行相关的运算和判断；3、体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括的能力。(二)能力目标通过对平面向量数量积性质的探究, 培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力, 使学生的思维能力得到训练. 继续培养学生的探究能力和创新的精神。(三)情感目标通过本节课的学习 , 激发学生学习数学的兴趣和善于发现、勇于探索的精神, 体会学习的快乐 . 体会各学科之间是密不可分的. 培养学生思考问题认真严谨的学习态。教学重点： 平面向量的数量积的定义、几何意义及其性质。教学难点： 平面向量数量积的概念。教学方法：启发 探究式 , 讲练结合法。教学准备 ：多媒体、彩色粉笔。课型： 新授课 .教学过程(一)复习引入教师引言：前面我们学习了向量的相线性运算，向量的加法、减法和数乘运算。我们知道这些运算有个共同的特点，就是他们运算的结果仍然是一个向量。既然平面向量能进行加减运算，那自然会想到两个向量能否进行乘法运算？如果能，结果应该是什么呢？我们很清楚，向量概念的引入与物理学的研究密切相关，我们来看物理学中这样的一个例子： 物理学家很早就知道 , 如果一个物体在力F 作用下产生位移S，那么F 所做的功为 :FFSS(图1)(图2)(图 1)中力所做的功 W= F S ，(图 2)中力所做的功 W F S cos，在物理中功是一个标量，是由 F 和 S 这两个向量来确定的， 如果我们把功看成是由F 和 S 这两个向量的一种运算结果，就可以引出新课的内容“平面向量数量积的物理背景及其含义”.( 二) 合作探究结合物理学中功大小的定义WF S cos和前面我们说的把功看成是F 和S两个向量的运算结果，两者是等价的. 如果把 F 和 S 这两个向量推广到一般的向量，就引出数量积的定义1、数量积的定义：已知两个非零向量 a 和 b ，把数量 a b cos叫做 a 与 b 数量积（或内积），记作 a b（注意：两个向量的运算符号是用“? ”表示的，且不能省略） ，用数学符号表示即a ba b cos, （ 0180） .规定：零向量与任意向量的数量积都为零，即0 a0 a为任意向量2、接下来，请同学们思考一个问题：根据定义我们知道数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？我们前面已经提到两个向量的夹角在0 ，180，根据余弦函数的知识我们可以知道:当0 ,90 时， cos0 ， a b0 ；当90 ,180 时， cos0， a b0 .当90 , a b, a b 0;3、投影的定义a ba b cos是由 WF S cos的引出来的，而WF S cos是 F1 所做的功，F1F cos是 F 在 S 方向上的分力，那么在数量积中a cos叫做什么呢？这是我们今天要学的第二个新概念“投影”：a cos （ b cos ）叫做向量 a 在 b 方向上 ( b 在 a 方向上）的投影 .4、根据投影的定义，引导学生说出数量积的结构，也就是数量积的几何意义：数量积 a b 等于 a的长度 a 与 b 在 a 方向上的投影b cos的乘积5、功的数学本质是什么？功的数学本质是力与位移的数量积。6、探究数量积的性质我们讨论了数量积的正负，那么我们这里就具体的讨论一些特殊的夹角:90 ,ab, a b0 ;0 ， a与b 同向， a ba b ;180 ， a与 b 反向， a b- a b .我们这里都是由两个向量的夹角来讨论数量积的,那如果我们已知两个向量的数量积及模长 ,怎样得出它们的夹角呢 ?根据定义 a ba b coscosa b 由此我们就可以得出的值 .当 a b0a b时, cos090 总结 aba b0 .特别地， a aa 2 或 aa a, 这里 a a常记为 a2 .请判断 a b 与 a b的大小关系解：因为 a ba b cos, cos1 ，所以 a ba b cosa b 这些就是数量积的性质。在课堂上以上性质以探究形式出现，让同学们积极思考，踊跃回答并总结其各自的应用。（三）例题讲解，巩固知识例 1 已知 a5, b4 ， a与 b 的夹角=120 度，求 a b 解：根据数量积的定义 :a ba b cos= 5 4 cos120=5412=-10.练习：在 ABC 中 BC=8,CA=7,C 600 求 BC ?CA 。 (-28)例 2 已知 ab8, a2, b8, 求 a 与 b 的夹角 。解：aba bcoscosab81ab2820 o ,180o120 o变式：已知a b63, a2, a与 b的夹角30o , 求 b .（四） 课堂练习1、判断下列各命题是否正确，并说明理由、若 a 0 ，则对任一非零向量b ，有 a b 0、若 a 0 ， a b a c ，则 b c 2 、已知 ABC 中， AB = a , AC = b ，当 a b 0 或 a b 0 时，试判断ABC 的形状。（五）课堂小结本节课你有什么收获？让学生各抒己见从不同方面加以总结。( 知识收获，学习方法，数学思想等)（六） 布置作业：1、课本 P121 习题 2.4A 组 1、2、6。2 、拓展与提高：已知 a 与 b 都是非零向量，且a +3 b与 7 a -5 b 垂直， a -4 b 与 7 a -2 b 垂直，求 a 与 b 的夹角。（本题供学有余力的同学选做）