第二章-格林定理-镜像法课件

2.9 格林定理格林定理 互易定理互易定理2.9.1 格林定理格林定理 在上式中，令 则:即:这就是格林第一恒等式。n是面元的正法向，即闭合面的外法向。该式称为格林第二恒等式。格林定理可用于解的唯一性证明和求解泊松方程的积分格林定理可用于解的唯一性证明和求解泊松方程的积分解，在电磁场理论中是很重要的定理之一解，在电磁场理论中是很重要的定理之一 2.9.2 格林互易定理格林互易定理 互易定理是描述不同场及其场源成对称关系的公式，格林定理是不同互易定理是描述不同场及其场源成对称关系的公式，格林定理是不同函数间成对称关系的互易定理的数学表述。两个定理的区别在于：格林定函数间成对称关系的互易定理的数学表述。两个定理的区别在于：格林定理不含具体的物理意义，而互易定理可以看为格林定理的一个直接推论和理不含具体的物理意义，而互易定理可以看为格林定理的一个直接推论和应用应用 它是描述在带电体系中，空间各处的电荷分布与在其它各电荷分布它是描述在带电体系中，空间各处的电荷分布与在其它各电荷分布处所产生的电位间存在互易关系。处所产生的电位间存在互易关系。现测得各得各带电导体的体的电位位为 体电荷元处的电位为体电荷元处的电位为体体电荷密度荷密度变为，相相应的的电位位变为，则有有 当各导体的电荷变为当各导体的电荷变为和这是格林互易定理的普遍形式 证明：现令：现令：证毕证毕（1）当整个空间除导体外，没有其它体电荷密度分布）当整个空间除导体外，没有其它体电荷密度分布（2）若整个空间除体电荷密度分布外，没有其它诸导体）若整个空间除体电荷密度分布外，没有其它诸导体 2.10 唯一性定理唯一性定理 镜像法镜像法 在电磁场问题中，往往需要求解有限区域中给定边界条件下的在电磁场问题中，往往需要求解有限区域中给定边界条件下的电磁场问题。电磁场问题。如果只考察空间某如果只考察空间某有限区域的电磁场，而区域内、外常存在不同有限区域的电磁场，而区域内、外常存在不同场源，显然仅仅知道区域内的场源并不足以能完全确定有限区域内的电场源，显然仅仅知道区域内的场源并不足以能完全确定有限区域内的电磁场，还必须知道区域外场源的影响，而外域场源的影响可以通过用边磁场，还必须知道区域外场源的影响，而外域场源的影响可以通过用边界面上的等效场来取代，故内域场由其内部场源和边界场值唯一确定。界面上的等效场来取代，故内域场由其内部场源和边界场值唯一确定。2.10.1 唯一性定理唯一性定理设在区域V内，和 满足泊松方程，即:在V的边界S上 和 满足同样的边界条件，即:令=1-2，则在V内，2=0，在边界面S上，|S=0。在格林第一恒等式中，令=，则:由于 2=0，所以有:在S上=0，因而上式右边为零，因而有:或者这样来证明或者这样来证明 设满足麦克斯韦方程、初始条件和边界条件的电磁场解不唯一，设满足麦克斯韦方程、初始条件和边界条件的电磁场解不唯一，至少有两组解至少有两组解 式中的被积函数总为正值，要使上式成立，必有式中的被积函数总为正值，要使上式成立，必有 和 在有界区域内满足给定源的场方程、初始条件在有界区域内满足给定源的场方程、初始条件及不同边界条件的场解是唯一的及不同边界条件的场解是唯一的 2.10 镜像法镜像法 2.10.1 平面镜像法平面镜像法例例4-1 求置于无限大接地平面导体上方，距导体面为h处的点电荷q的电位。图图4-1 无限大导体平面上点电荷的镜无限大导体平面上点电荷的镜像像 当 z0 时，2S=0；当 z=0时，=0；当 z、|x|、|y|时，0。解：解：由Dn=S可得导体表面的面电荷密度：导体表面总的感应电荷：图图4-2 相互正交的两个无限大接地导相互正交的两个无限大接地导体平面的镜像体平面的镜像 2.10.2 球面镜像法球面镜像法 例例4-2 如图4-3(a)所示，一个半径为a的接地导体球，一点电荷q位于距球心d处，求球外任一点的电位。图图4-3 球面镜像球面镜像(a)球面镜像原问题；(b)等效问题 解解：我们先试探用一个镜像电荷q等效球面上的感应面电荷在球外产生的电位和电场。从对称性考虑，镜像电荷q应置于球心与电荷q的连线上，设q离球心距离为b(b0)值，对应一个等位圆，此圆的电位为:例例4-5 两平行圆柱形导体的半径都为a，导体轴线之间的距离是 2d，如图 4-6，求导体单位长的电容。图图4-6 平行双导体平行双导体 解解:设两个导体圆柱单位长带电分别为l和-l，利用柱面镜像法，将导体柱面上的电荷用线电荷l和-l代替，线电荷相距原点均为d，两个导体面的电位分别为1和2。解之得:当ba时，2.10.4 平面介质镜像法平面介质镜像法 例例4-6 设两种介电常数分别为1、2的介质充填于x0 的半空间，在介质 2 中点(d,0,0)处有一点电荷q,如图 4-7(a)所示，求空间各点的电位。图图4-7 例例 4-6 用图用图(a)介质镜像问题；(b)区域 2 等效；(c)区域 1 等效 解：解：右半空间任一点的电位为:左半空间任一点的电位为:其中q和q待定。