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初中数学阅读初中数学阅读理解问题理解问题例例1 1 请阅读下面材料，并回答所提出请阅读下面材料，并回答所提出 的问题。的问题。 三角形内角平分线定理：三角形的内三角形内角平分线定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例角的两边对应成比例已知：如图，已知：如图，ABCABC中，中，ADAD是角平分线。是角平分线。 求证：求证： ACABDCBD 证明：过证明：过C作作CEDA，交，交BA的延长线于的延长线于E CEDA CEDA21321 E3 EACAE ACABDCBDACAEAEBADCBD 1、上述证明过程中，用到了哪些定理？（写两个定理即、上述证明过程中，用到了哪些定理？（写两个定理即可）可）2、在上述分析、证明过程中，主要用到了下列三种数学、在上述分析、证明过程中，主要用到了下列三种数学思想的哪一种？选出一个填在后面括号内（思想的哪一种？选出一个填在后面括号内（ ） 数形结合思想；数形结合思想；转化思想；转化思想； 分类讨论思想分类讨论思想3、用三角形内角平分线定理解答：已知如图，、用三角形内角平分线定理解答：已知如图，ABC中，中，AD是角平分线，是角平分线，AB=5cm，AC=4cm,BC=7cm,求求BD的长。的长。1、上述证明过程中，用到了哪些定理？（写两、上述证明过程中，用到了哪些定理？（写两个定理即可）个定理即可）（1）平行线的性质定理：两直线平行，同位角）平行线的性质定理：两直线平行，同位角相等，内错角相等。相等，内错角相等。（2）等腰三角形的判定定理（推论）：在同一）等腰三角形的判定定理（推论）：在同一三角形中，等角对等边。三角形中，等角对等边。（3）平行线分线段成比例定理（推论）：平行）平行线分线段成比例定理（推论）：平行于三角形一边的直线截其它两边，所得对应线于三角形一边的直线截其它两边，所得对应线段成比例。（写定理的名称或内容均可）段成比例。（写定理的名称或内容均可）3、用三角形内角平分线定理解答已知、用三角形内角平分线定理解答已知如图，如图，ABC中，中，AD是角平分线，是角平分线，AB=5cm，AC=4cm,BC=7cm,求求BD的长。的长。解：解：AD是角平线，是角平线，又又AB=5，AC=4，BC=7ACABDCBD 935,457 BDBDBD例例2、已知，如图、已知，如图1，ABBD，CDBD，垂，垂足分别为足分别为B、D，AD和和BC相交于点相交于点E，EFBD，垂足为，垂足为F，我们可以证明，我们可以证明 成立（不要求考生证明）成立（不要求考生证明）若将图若将图1中的垂直改为斜交，如图中的垂直改为斜交，如图2，ABCD，AD、BC相交于点相交于点E，过点，过点E作作EFAB，交，交BD于点于点F，则（，则（1） 还成立吗？还成立吗？EFCDAB111 EFCDAB111 如果成立，请给出证明；如果不成立，如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由。请说明理由。（2）请找出）请找出SABD，SBED和和SBDC间的关间的关系式，并给出证明。系式，并给出证明。1 DBDBDBBFDBDFCDEFABEF证明（证明（1）ABEF，CDEF，DBBFCDEF DBDFABEF EFCDAB111 BEDBCDABDSSS 111:)2(关系式为关系式为证明如下：分别过证明如下：分别过A作作AMBD于于M，过过E作作ENBD于于N，过，过C作作CKBD交交BD的延长线于的延长线于K。 ENCKAM111: 由题设可得由题设可得ENBDCKBDAMBD 222ENBDCKBDAMBD 211211211即即BEDBCDABDSSS 111,21ABDSAMBD 又又,21BCDSCKBD ,21BEDSENBD 例例3、在、在ABC中，中，D为为BC的中点，的中点，E为为AC边上的任意一点，边上的任意一点，BE交交AD于点于点O。某学生。某学生在研究这一问题时，发现了如下的事实：在研究这一问题时，发现了如下的事实： ,11121)1(时时当当 ACAE;21232 ADAO有有,21131)2(时时当当 ACAE,31141)3(时时当当 ACAE;22242 ADAO有有;32252 ADAO有有 参照上述研究的结论，参照上述研究的结论，请你用请你用n n表示表示 的一般结论，并的一般结论，并给出证明（其中给出证明（其中n n是正整数）是正整数） ,11时时当当nACAE ADAO解：依题意可以猜想：解：依题意可以猜想：,11时时当当nACAE nADAO 22有有证明：过证明：过D D点作点作DFBEDFBE交交ACAC于点于点F F，DD是是BCBC的中点，的中点，FF是是ECEC的中点的中点,11nACAE 由由,1nECAE 可知可知,2nEFAE ,22nAFAE nAFAEADAO 22解后反思：解后反思： 1 1、本题猜想过程应建立在对已知、本题猜想过程应建立在对已知条件的分析、观察的基础上，找出条件的分析、观察的基础上，找出几个等式中的常量、变量及变化规几个等式中的常量、变量及变化规律，再依此猜想问题中所要求的般律，再依此猜想问题中所要求的般结论。结论。2 2、本题的图形中涉及线段中点，、本题的图形中涉及线段中点，过中点作平行证题是最常用的辅助过中点作平行证题是最常用的辅助线。线。例例4 (1)a克糖水中有克糖水中有b克糖（克糖（ab0)，则糖的质量与糖水的质量的比为则糖的质量与糖水的质量的比为_;若若再添加再添加c克糖（克糖（c0)，则糖的质量，则糖的质量与糖水质量的比为与糖水质量的比为_，生活常，生活常识告诉我们：添加的糖完全溶解后，糖识告诉我们：添加的糖完全溶解后，糖水会更甜。水会更甜。 请根据所列式子及这个生请根据所列式子及这个生活常识提炼出一个不等式活常识提炼出一个不等式_.abcacb cacbab (2)如图，在如图，在RtABC中，中，B=90，AB= a,BC=b（ab）,延长延长BA、BC，使，使AE=CD=c，在直线，在直线C、交于点，、交于点，又锐角三角形函数有如下性质：锐角的正弦、又锐角三角形函数有如下性质：锐角的正弦、正切值随锐角的增大而增大；锐角的余弦值正切值随锐角的增大而增大；锐角的余弦值随锐角的增大而减小。随锐角的增大而减小。 请运用该性质，并根据以上所提供的几何请运用该性质，并根据以上所提供的几何模型证明你提炼出的不等式。模型证明你提炼出的不等式。, RtEBDABC均为均为,tanabABBCCAB ,tanCaCbEBDBDEB ,DEBEAFCAB 又又,均均为为锐锐角角DEBCAB ,tantanDEBCAB cacbab 证明:例阅读下列材料：如图例阅读下列材料：如图 O1和和 O2外切于点外切于点C，是是 1和和 2外公切线，外公切线，A、B为切点，为切点，求证：求证：AC BC。证明：过点证明：过点C作作 O1和和 O2的内公切线交的内公切线交AB于于D，DA、DC是是O1的切线，的切线，DA=DC， DAC= DCA。同理同理 DCB= DBC。又又 DAC+ DCA+ DCB+ DBC=180， DCA+ DCB=90，即，即ACBC。根据上述材料，解答下列问题：根据上述材料，解答下列问题：（1）在以上的证明过程中使用了哪些定理？）在以上的证明过程中使用了哪些定理？请写出两个定理的名称或内容。请写出两个定理的名称或内容。（2）以）以AB所在直线为所在直线为x轴，过点轴，过点C且垂直于且垂直于AB的直线为的直线为y轴建立直角坐标系（如图），已轴建立直角坐标系（如图），已知知A、B两点的坐标为（两点的坐标为（-4，0），（），（1，0），），求经过求经过A，B，C三点的抛物线三点的抛物线y=ax2+bx+c的解的解析式。析式。（3）根据（）根据（2）中所确定的抛物线，试判断这）中所确定的抛物线，试判断这条抛物线的顶点是否落在两圆的连心线条抛物线的顶点是否落在两圆的连心线O1O2上，上，并说明理由。并说明理由。根据上述材料，解答下列问题：根据上述材料，解答下列问题：（1）在以上的证明过程中使用了哪些定理？）在以上的证明过程中使用了哪些定理？请写出两个定理的名称或内容。请写出两个定理的名称或内容。 答：用到切线长定理，等腰三角形的性质定答：用到切线长定理，等腰三角形的性质定理，三角形内角和等于理，三角形内角和等于180等等。等等。（2）以）以AB所在直线为所在直线为x轴，过点轴，过点C且垂直于且垂直于AB的直线为的直线为y轴建立直角坐标系（如图），已轴建立直角坐标系（如图），已知知A、B两点的坐标为（两点的坐标为（-4，0），（），（1，0），），求经过求经过A，B，C三点的抛物线三点的抛物线y=ax2+bx+c的解的解析式。析式。（2）以）以AB所在直线为所在直线为x轴，过点轴，过点C且垂直于且垂直于AB的直线为的直线为y轴建立直角坐标系（如图），已轴建立直角坐标系（如图），已知知A、B两点的坐标为（两点的坐标为（-4，0），（），（1，0），），求经过求经过A，B，C三点的抛物线三点的抛物线y=ax2+bx+c的解的解析式。析式。解解(2)(2)由由BOCBOCCOACOA可可得点得点C C的坐标为（的坐标为（0 0，-2-2）代入代入y=a(x+4)(x-1)y=a(x+4)(x-1)可得可得解析式为解析式为223212 xxy2、在上述分析、证明过程中，主要用到了下列三种数学、在上述分析、证明过程中，主要用到了下列三种数学思想的哪一种？选出一个填在后面括号内（思想的哪一种？选出一个填在后面括号内（ ） 数形结合思想；数形结合思想；转化思想；转化思想； 分类讨论思想分类讨论思想
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