数学第五章 平面向量 第二节 平面向量基本定理及坐标表示 文

第二节平面向量基本定理及坐标表示总纲目录教材研读1.平面向量的基本定理考点突破2.平面向量的坐标运算3.平面向量共线的坐标表示考点二平面向量的坐标运算考点一平面向量基本定理及其应用考点三平面向量共线的坐标表示1.平面向量的基本定理平面向量的基本定理如果e1、e2是同一平面内的两个不共线不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有有且只有一对实数1、2,使a=1e1+2e2.其中,不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底基底.教材研读教材研读2.平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2),a=(x1,y1),|a|=.(2)向量坐标的求法(i)若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标.(ii)设A(x1,y1),B(x2,y2),则=(x2-x1,y2-y1),|=.2211xyABAB222121()()xxyy3.平面向量共线的坐标表示平面向量共线的坐标表示设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b0,则abx1y2-x2y1=0.1.如果e1,e2是平面内一组不共线的向量,那么下列四组向量中,不能作为平面内所有向量的一组基底的是()A.e1与e1+e2B.e1-2e2与e1+2e2C.e1+e2与e1-e2D.e1+3e2与6e2+2e1D答案答案D选项A中,设e1+e2=e1,则无解;1,10,选项B中,设e1-2e2=(e1+2e2),则无解;选项C中,设e1+e2=(e1-e2),则无解;选项D中,e1+3e2=(6e2+2e1),所以两向量是共线向量,不能作为平面内所有向量的基底.1,22 , 1,1, 122.已知点A(0,1),B(3,2),向量=(-4,-3),则向量=()A.(-7,-4)B.(7,4)C.(-1,4)D.(1,4)ACBC答案答案A根据题意得=(3,1),=-=(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4).故选A.ABBCACABA3.已知点M(5,-6)和向量a=(1,-2),若=-3a,则点N的坐标为()A.(2,0)B.(-3,6)C.(6,2)D.(-2,0)MNA答案答案A=-3a=-3(1,-2)=(-3,6),设N(x,y),则=(x-5,y+6)=(-3,6),所以即故点N的坐标为(2,0).MNMN53,66,xy 2,0.xy4.若向量a=(2,1),b=(-1,2),c=,则c可用向量a,b表示为()A.a+bB.-a-bC.a+bD.a-b50,2121232123212A答案答案A设c=xa+yb,则=(2x-y,x+2y),所以解得则c=a+b.50,220,52,2xyxy1,21,xy125.向量a,b满足a+b=(-1,5),a-b=(5,-3),则b=.(-3,4)答案答案(-3,4)解析解析由a+b=(-1,5),a-b=(5,-3),得2b=(-1,5)-(5,-3)=(-6,8),所以b=(-6,8)=(-3,4).126.已知向量=(k,12),=(4,5),=(-k,10),且A、B、C三点共线,则k=.OAOBOC答案答案-23解析解析=-=(4-k,-7),=-=(-2k,-2),因为A、B、C三点共线,即与共线,所以=(k0),解得k=-.ABOBOAACOCOAABAC42kk7223典例典例1(1)在ABC中,点D在边AB上,CD平分ACB.若=a,=b,|a|=1,|b|=2,则=()A.a+bB.a+bC.a+bD.a+b(2)在平行四边形ABCD中,E和F分别是边CD和BC的中点,有=+,其中,R,则+=.CBCACD1323231335454535ACAEAF考点一平面向量基本定理及其应用考点一平面向量基本定理及其应用考点突破考点突破答案答案(1)B(2)43解析解析(1)由题意得|=2|,即有=(-)=(a-b).从而=+=b+(a-b)=a+b.故选B.(2)如图.四边形ABCD为平行四边形,且E、F分别为CD、BC的中点,=+=(-)+(-)ADDBAD23AB23CBCA23CDCAAD232313ACADABAEDEAFBF=(+)-(+)=(+)-,=(+),=,+=.AEAF12DCBCAEAF12ACAC23AEAF2343规律总结规律总结用平面向量基本定理解决问题的一般思路(1)先选择一组基底,并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成该组基底的线性组合,再进行向量的运算.(2)在基底未给出的情况下,合理地选取基底会给解题带来方便,另外,要熟练运用线段中点的向量表达式.提醒:零向量和共线向量不能作基底.1-1如图所示,已知向量=2,=a,=b,=c,则下列等式中成立的是()A.c=b-aB.c=2b-aC.c=2a-bD.c=a-bABBCOAOBOC32123212A答案答案A由=2得+=2(+),即2=-+3,所以=-,即c=b-a.故选A.ABBCAOOBBOOCOCOAOBOC32OB12OA32121-2如图,正方形ABCD中,M是BC的中点,若=+,其中,R,则+等于()A.B.C.D.2ACAMBD4353158B答案答案B因为=+=(+)+(+)=+(-+)=(-)+,=+,所以解得+=.故选B.ACAMBDABBMBAAD12ABADABADAB12ADACABAD1,11,24,31,353考点二平面向量的坐标运算考点二平面向量的坐标运算命题方向一已知向量的坐标进行运算命题方向一已知向量的坐标进行运算典例典例2已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),设=a,=b,=c,且=3c,=-2b.求:(1)3a+b-3c;(2)满足a=mb+nc的实数m,n;(3)M,N的坐标及向量的坐标.ABBCCACMCNMN解析解析由已知得a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8).(1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)=(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42).(2)mb+nc=(-6m+n,-3m+8n)=(5,-5),解得(3)设O为坐标原点,=-=3c,=3c+=(3,24)+(-3,-4)=(0,20),M(0,20).又=-=-2b,=-2b+=(12,6)+(-3,-4)=(9,2),N(9,2),=(9,-18).65,385,mnmn 1,1.mn CMOMOCOMOCCNONOCONOCMN典例典例3(2017课标全国,12,5分)在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若=+,则+的最大值为()A.3B.2C.D.2APABAD25命题方向二坐标法在向量中的应用命题方向二坐标法在向量中的应用A解析解析分别以CB、CD所在的直线为x轴、y轴,、的方向为x轴,y轴的正方向建立平面直角坐标系,则A(2,1),B(2,0),D(0,1).点P在以C为圆心且与BD相切的圆上,可设P.则=(0,-1),=(-2,0),=.又=+,=-sin+1,=-cos+1,+=2-sin-cos=2-sin(+),其中tan=,(+)max=3.CBCD22cos ,sin55ABADAP22cos2,sin155APABAD2515251512答案答案A方法技巧方法技巧1.平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的,若已知有向线段两端点的坐标,则应先求向量的坐标.(2)解题过程中,常利用向量相等则其坐标相同这一原则,通过列方程(组)进行求解.2.向量问题的坐标化当题目条件中所给的几何图形方便建立平面直角坐标系(如矩形、等腰三角形等)时,可建立平面直角坐标系,向量坐标化,将向量问题转化为代数问题,更便于计算求解.2-1已知向量a=(5,2),b=(-4,-3),c=(x,y),若3a-2b+c=0,则c=()A.(-23,-12)B.(23,12)C.(7,0)D.(-7,0)答案答案A由题意可得3a-2b+c=(23+x,12+y)=(0,0),所以解得所以c=(-23,-12).230,120,xy23,12,xy A2-2在平面直角坐标系xOy中,已知A(1,0),B(0,1),C(-1,c)(c0),且|=2,若=+,其中,R,则+的值为.OCOCOAOB答案答案-13解析解析因为|=2,所以|2=1+c2=4,因为c0,所以c=.因为=+,所以(-1,)=(1,0)+(0,1),所以=-1,=,所以+=-1.OCOC3OCOAOB3332-3给定两个长度为1的平面向量和,它们的夹角为,如图所示.点C在以O为圆心的圆弧上运动.若=x+y,其中x,yR,求x+y的最大值.OAOB23ABOCOAOB解析解析如图,以O为坐标原点,OA所在的直线为x轴,的方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系,则可知A(1,0),B,设C(cos,sin),则有x=cos+sin,y=sin,所以x+y=cos+sin=2sin,所以当=时,x+y取得最大值2.OA13,2220,3332 33363考点三平面向量共线的坐标表示考点三平面向量共线的坐标表示典例典例4已知a=(1,0),b=(2,1).(1)当k为何值时,ka-b与a+2b共线?(2)若=2a+3b,=a+mb且A,B,C三点共线,求m的值.ABBC解析解析(1)ka-b=k(1,0)-(2,1)=(k-2,-1).a+2b=(1,0)+2(2,1)=(5,2).ka-b与a+2b共线,2(k-2)-(-1)5=0,即2k-4+5=0,得k=-.(2)A,B,C三点共线,=(R).即2a+3b=(a+mb),m=.12ABBC2,3,m32规律总结规律总结平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略(1)利用两向量共线的条件求向量坐标.一般地,在求与一个已知向量a共线的向量时,可设所求向量为a(R),然后结合其他条件列出关于的方程,求出的值后代入a即可得到所求的向量.(2)利用两向量共线求参数.如果已知两向量共线,求某些参数的取值时,利用“若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab的充要条件是x1y2=x2y1”解题比较方便.3-1已知向量=(k,12),=(4,5),=(-k,10),且A,B,C三点共线,则k的值是()A.-B.C.D.OAOBOC23431213答案答案A=-=(4-k,-7),=-=(-2k,-2).A,B,C三点共线,共线,-2(4-k)=-7(-2k),解得k=-.ABOBOAACOCOAABAC23A3-2(2018山东济宁质检)已知向量m=(+1,1),n=(+2,2),若(m+n)(m-n),则=.0答案答案0解析解析因为m+n=(2+3,3),m-n=(-1,-1),又(m+n)(m-n),所以(2+3)(-1)=3(-1),解得=0.3-3已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),则AC与OB的交点P的坐标为.(3,3)答案答案(3,3)解析解析由O,P,B三点共线,可设=(4,4),则=-=(4-4,4).又=-=(-2,6),与共线,所以(4-4)6-4(-2)=0,解得=,所以=(3,3),所以点P的坐标为(3,3).OPOBAPOPOAACOCOAAPAC34OP34OB