数学第五章 四边形 第二节 矩形、菱形、正方形

第二节矩形、菱形、正方形考点一考点一 矩形的性质与判定矩形的性质与判定 (5(5年年1 1考考) )例例1 1(2016(2016东营中考东营中考) )如图，在如图，在RtRtABCABC中，中，B B9090，ABAB4 4，BC BC ABAB，点，点D D在在BCBC上，以上，以ACAC为对角线的平行四边形为对角线的平行四边形ADCEADCE中，中，DEDE的最小值是的最小值是 【分析分析】 首先利用平行四边形的性质得出首先利用平行四边形的性质得出AECDAECD，从而当，从而当DEBCDEBC时，时，DEDE能够取得最小值，再通过矩形的判定得出能够取得最小值，再通过矩形的判定得出DEDE的的最小值即可最小值即可【自主解答自主解答】 四边形四边形ADCEADCE是平行四边形，是平行四边形，BCAEBCAE，当当DEBCDEBC时，时，DEDE最短最短B B9090，ABBCABBC，DEABDEAB，四边形四边形ABDEABDE是平行四边形是平行四边形B B9090，四边形四边形ABDEABDE是矩形，是矩形，DEDEABAB4 4，DEDE的最小值为的最小值为4.4.故答案为故答案为4.4.矩形的性质应用及判定方法矩形的性质应用及判定方法(1)(1)矩形性质的应用：从边上看，两组对边分别平行且相矩形性质的应用：从边上看，两组对边分别平行且相等；从角上看，矩形的四个角都是直角；从对角线上看，等；从角上看，矩形的四个角都是直角；从对角线上看，对角线互相平分且相等，同时把矩形分为四个面积相等的对角线互相平分且相等，同时把矩形分为四个面积相等的等腰三角形等腰三角形(2)(2)矩形的判定方法：若四边形可以证为平行四边形，则矩形的判定方法：若四边形可以证为平行四边形，则还需证明一个角是直角或对角线相等；若直角较多，可利还需证明一个角是直角或对角线相等；若直角较多，可利用用“三个角为直角的四边形是矩形三个角为直角的四边形是矩形”来证来证1 1(2018(2018威海中考威海中考) )矩形矩形ABCDABCD与与CEFGCEFG如图放置，点如图放置，点B B，C C，E E共线，点共线，点C C，D D，G G共线，连接共线，连接AFAF，取，取AFAF的中点的中点H H，连接，连接GH.GH.若若BCBCEFEF2 2，CDCDCECE1 1，则，则GHGH( )( )C C2.(20182.(2018滨州中考滨州中考) )如图，在矩形如图，在矩形ABCDABCD中，中，ABAB2 2，BCBC4 4，点点E E，F F分别在分别在BCBC，CDCD上，若上，若AEAE ，EAFEAF4545，则，则AFAF的的长为长为 54 1033 3如图，在如图，在 ABCDABCD中，过点中，过点D D作作DEABDEAB于点于点E E，点，点F F在边在边CDCD上，上，DFDFBEBE，连接，连接AFAF，BF.BF.(1)(1)求证：四边形求证：四边形BFDEBFDE是矩形；是矩形；(2)(2)若若CFCF3 3，BFBF4 4，DFDF5 5，求证：，求证：AFAF平分平分DAB.DAB.证明：证明：(1)(1)四边形四边形ABCDABCD是平行四边形，是平行四边形，DCABDCAB，即，即DFBE.DFBE.又又DFDFBEBE，四边形四边形BFDEBFDE为平行四边形为平行四边形又又DEABDEAB，DEBDEB9090，四边形四边形BFDEBFDE为矩形为矩形(2)(2)四边形四边形BFDEBFDE为矩形，为矩形，BFCBFC9090. .CFCF3 3，BFBF4 4，BCBC 5.5.四边形四边形ABCDABCD是平行四边形，是平行四边形，ADADBCBC5 5，ADADDFDF5 5，DAFDAFDFA.DFA.又又DCABDCAB，DFADFAFABFAB，DAFDAFFABFAB，即，即AFAF平分平分DAB.DAB.2234考点二考点二 菱形的性质与判定菱形的性质与判定 (5(5年年2 2考考) )例例2 2 (2017(2017东营中考东营中考) )如图，在如图，在 ABCDABCD中，用直尺和圆规作中，用直尺和圆规作BADBAD的平分线的平分线AGAG交交BCBC于点于点E.E.若若BFBF8 8，ABAB5 5，则，则AEAE的长为的长为( )( )A A5 B5 B6 C6 C8 D8 D1212【分析分析】 连接连接EFEF，先判定四边形，先判定四边形ABEFABEF的形状，再利用勾股的形状，再利用勾股定理进行解答即可定理进行解答即可【自主解答自主解答】如图，连接如图，连接EFEF，AEAE与与BFBF交于点交于点O.O.四边形四边形ABCDABCD是平行四边形，且是平行四边形，且AGAG是是BADBAD的平分线，的平分线，FAEFAEAEBAEB，FAEFAEEABEAB，AEBAEBEABEAB，ABABBE.BE.ABABAFAF，AFAFBEBE，四边形四边形ABEFABEF为平行四边形为平行四边形又又ABABBEBE，四边形四边形ABEFABEF是菱形，是菱形，AEBFAEBF，OBOB BFBF4 4，OAOA AE.AE.ABAB5 5，在在RtRtAOBAOB中，中，AOAO 3 3，AEAE2AO2AO6.6.故选故选B.B.121222ABBO25 16菱形的性质应用及判定方法菱形的性质应用及判定方法(1)(1)判定一个四边形是菱形时，一是证明四条边相等；二是判定一个四边形是菱形时，一是证明四条边相等；二是先证明它是平行四边形，进而再证明它是菱形先证明它是平行四边形，进而再证明它是菱形(2)(2)运用菱形的性质时，要注意菱形的对角线互相垂直这个运用菱形的性质时，要注意菱形的对角线互相垂直这个条件；此外，菱形的对角线所在的直线是菱形的对称轴，运条件；此外，菱形的对角线所在的直线是菱形的对称轴，运用这一性质可以求出线段和的最小值用这一性质可以求出线段和的最小值4 4(2018(2018日照中考日照中考) )如图，在四边形如图，在四边形ABCDABCD中，对角线中，对角线ACAC，BDBD相交于点相交于点O O，AOAOCOCO，BOBODO.DO.添加下列条件，不能判定添加下列条件，不能判定四边形四边形ABCDABCD是菱形的是是菱形的是( )( )A AABABAD BAD BACACBD BD C CACBD ACBD D DABOABOCBOCBOB B5 5(2018(2018利津一模利津一模) )如图，在菱形如图，在菱形ABCDABCD中，中， ABAB6, DAB6, DAB6060，AEAE分别交分别交BCBC，BDBD于点于点E E，F F，若，若CECE2 2 ，连接，连接CF.CF.以以下结论：下结论：BAFBAFBCFBCF；点；点E E到到ABAB的距离是的距离是2 2 ； S SCDFCDFSSBEFBEF94 94 ；tanDCFtanDCF . .其中正确的有其中正确的有( )( )A A4 4个个 B B3 3个个 C C2 2个个 D D1 1个个337B B6 6(2018(2018扬州中考扬州中考) )如图，在平行四边形如图，在平行四边形ABCDABCD中，中，DBDBDADA，点点F F是是ABAB的中点，连接的中点，连接DFDF并延长，交并延长，交CBCB的延长线于点的延长线于点E E，连接，连接AE.AE.(1)(1)求证：四边形求证：四边形AEBDAEBD是菱形；是菱形；(2)(2)若若DCDC ，tanDCBtanDCB3 3，求菱形求菱形AEBDAEBD的面积的面积10(1)(1)证明：证明：四边形四边形ABCDABCD是平行四边形，是平行四边形，ADCEADCE，DAFDAFEBF.EBF.AFDAFDEFBEFB，AFAFFBFB，AFDAFDBFEBFE，ADADEB.EB.ADEBADEB，四边形四边形AEBDAEBD是平行四边形是平行四边形BDBDADAD，四边形四边形AEBDAEBD是菱形是菱形(2)(2)解：解：四边形四边形ABCDABCD是平行四边形，是平行四边形，CDCDABAB ，ABCDABCD，ABEABEDCBDCB，tanABEtanABEtanDCBtanDCB3.3.四边形四边形AEBDAEBD是菱形，是菱形，ABDEABDE，AFAFFBFB，EFEFDFDF，tanABEtanABE 3.3.BFBF ，EFEF ，DEDE3 3 ，S S菱形菱形AEBDAEBD ABABDEDE 3 3 15.15.10EFBF1023 1021012121010考点三考点三 正方形的性质与判定正方形的性质与判定 (5(5年年3 3考考) )例例3 3(2018(2018潍坊中考潍坊中考) )如图，点如图，点M M是正方形是正方形ABCDABCD边边CDCD上一点，上一点，连接连接AMAM，作，作DEAMDEAM于点于点E E，BFAMBFAM于点于点F F，连接，连接BE.BE.(1)(1)求证：求证：AEAEBFBF；(2)(2)已知已知AFAF2 2，四边形，四边形ABEDABED的面积为的面积为2424，求求EBFEBF的正弦值的正弦值【分析分析】 (1) (1)通过证明通过证明ABFABFDAEDAE得到得到AEAEBFBF；(2)(2)设设AEAEx x，则，则BFBFx x，DEDEAFAF2 2，利用四边形，利用四边形ABEDABED的面的面积等于积等于ABEABE的面积与的面积与ADEADE的面积之和得到的面积之和得到 x xx x x x2 22424，解方程求出，解方程求出x x得到得到AEAEBFBF6 6，则，则EFEFx x2 24 4，然后利用勾股定理计算出然后利用勾股定理计算出BEBE，最后利用正弦的定义求解，最后利用正弦的定义求解1212【自主解答自主解答】(1)(1)四边形四边形ABCDABCD为正方形，为正方形，BABAADAD，BADBAD9090. .DEAMDEAM于点于点E E，BFAMBFAM于点于点F F，AFBAFB9090，DEADEA9090. .ABFABFBAFBAF9090，EADEADBAFBAF9090，ABFABFEAD.EAD. 在在ABFABF和和DAEDAE中，中，ABFABFDAE(AAS)DAE(AAS)，AEAEBF.BF.(2)(2)设设AEAEx x，则，则BFBFx x，DEDEAFAF2.2.SS四边形四边形ABEDABEDS SABEABES SAEDAED2424， x xx x x x2 22424，解得解得x x1 16 6，x x2 28(8(舍去舍去) )，EFEFx x2 24.4.在在RtRtBEFBEF中，中，BEBEsinEBFsinEBF1212判定正方形的方法及其特殊性判定正方形的方法及其特殊性(1)(1)判定一个四边形是正方形，可以先判定四边形为矩形，判定一个四边形是正方形，可以先判定四边形为矩形，再证邻边相等或者对角线互相垂直；或先判定四边形为菱再证邻边相等或者对角线互相垂直；或先判定四边形为菱形，再证有一个角是直角或者对角线相等形，再证有一个角是直角或者对角线相等(2)(2)正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形，具有它们的正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形，具有它们的所有性质所有性质7 7(2017(2017济南中考济南中考) )如图，正方形如图，正方形ABCDABCD的对角线的对角线ACAC，BDBD相相交于点交于点O O，ABAB3 3 ，E E为为OCOC上一点，上一点，OEOE1 1，连接，连接BEBE，过点，过点A A作作AFBEAFBE于点于点F F，与，与BDBD交于点交于点G G，则，则BFBF的长是的长是( )( )2A A8 8(2018(2018青岛中考青岛中考) )已知正方形已知正方形ABCDABCD的边长为的边长为5 5，点，点E E，F F分分别在别在ADAD，DCDC上，上，AEAEDFDF2 2，BEBE与与AFAF相交于点相交于点G G，点，点H H为为BFBF的的中点，连接中点，连接GHGH，则，则GHGH的长为的长为 3429 9(2018(2018济宁中考济宁中考) )如图，在正方形如图，在正方形ABCDABCD中，中，点点E E，F F分别是边分别是边ADAD，BCBC的中点，连接的中点，连接DFDF，过点，过点E E作作EHDFEHDF，垂足为，垂足为H H，EHEH的延长线交的延长线交DCDC于点于点G.G.(1)(1)猜想猜想DGDG与与CFCF的数量关系，并证明你的结论；的数量关系，并证明你的结论；(2)(2)过点过点H H作作MNCDMNCD，分别交，分别交ADAD，BCBC于点于点M M，N.N.若正方形若正方形ABCDABCD的边长为的边长为1010，点，点P P是是MNMN上一点，求上一点，求PDCPDC周长的最小值周长的最小值解：解：(1)CF(1)CF2DG.2DG.证明如下：证明如下：四边形四边形ABCDABCD是正方形，是正方形，ADADBCBCCDCD，ADBCADBC，ADCADC9090. .EE，F F分别是边分别是边ADAD，BCBC的中点，的中点，DEDE ADAD，CFCF BCBC，DEDECFCF CD.CD.ADCADC9090，EHDFEHDF，121212CDFCDFEDFEDF9090，DEGDEGEDFEDF9090，CDFCDFDEG.DEG.在在RtRtFCDFCD中，中，tanCDFtanCDF ，在在RtRtDEGDEG中，中，tanDEGtanDEG ， ，CFCF2DG.2DG.CFCD12DGDEDGCF12(2)(2)如图，在如图，在NBNB上取上取NQNQNCNC，连接，连接DQDQ交交MNMN于点于点P.P.MNCDMNCD，CDBCCDBC，MNBC.MNBC.又又NQNQNCNC，PCPCPQPQ，PDPDPCPCPDPDPQPQDQ.DQ.由由“两点之间，线段最短两点之间，线段最短”知，知，此时此时PDPDPCPC最短最短又又CDCD1010，此时此时PDCPDC的周长的周长PDPDPCPCCDCDPDPDPCPC1010最短最短MNCDMNCD，MHDMHDCDFCDF，tanMHDtanMHD tanCDFtanCDF ，MHMH2MD.2MD.设设MDMDt t，则，则MHMH2t.2t.同理同理MEME2MH2MH4t4t，DEDE5t5t，CDCD2DE2DE10t10t1010，t t1 1，M DM H12CQCQ2DM2DM2.2.在在RtRtCDQCDQ中，由勾股定理得中，由勾股定理得DQDQPDCPDC周长的最小值为周长的最小值为2 2 10.10.26考点四考点四 四边形综合题四边形综合题百变例题百变例题 (2018(2018枣庄中考改编枣庄中考改编) )如图，将矩如图，将矩形形ABCDABCD沿沿AFAF折叠，使点折叠，使点D D落在落在BCBC边上的点边上的点E E处，过点处，过点E E作作EGCDEGCD交交AFAF于点于点G G，连接，连接DG.DG.(1)(1)求证：四边形求证：四边形EFDGEFDG是菱形；是菱形；(2)(2)探究线段探究线段EGEG，GFGF，AFAF之间的数量关系，并说明理由；之间的数量关系，并说明理由；(3)(3)若若AGAG ，EGEG ，求，求BEBE的长的长8103103【分析分析】 (1) (1)先依据翻折的性质和平行线的性质证明先依据翻折的性质和平行线的性质证明DGFDGFDFGDFG，从而得到，从而得到GDGDDFDF，再根据翻折的性质即可证明，再根据翻折的性质即可证明DGDGGEGEDFDFEFEF；(2)(2)连接连接DEDE，交，交AFAF于点于点O.O.由菱形的性质可知由菱形的性质可知GFDEGFDE，OGOGOFOF GFGF，然后证明，然后证明DOFDOFADFADF，由相似三角形的性质可证，由相似三角形的性质可证明明DFDF2 2FOFOAFAF，于是可得到，于是可得到EGEG，AFAF，GFGF的数量关系；的数量关系；12(3)(3)过点过点G G作作GHDCGHDC，垂足为，垂足为H.H.利用利用(2)(2)的结论可求得的结论可求得FGFG，然后在然后在ADFADF中依据勾股定理可求得中依据勾股定理可求得ADAD的长，然后再证明的长，然后再证明FGHFGHFADFAD，利用相似三角形的性质可求得，利用相似三角形的性质可求得GHGH的长，的长，最后依据最后依据BEBEADADGHGH求解即可求解即可【自主解答自主解答】 (1)GEDF(1)GEDF，EGFEGFDFG.DFG.由翻折的性质可知由翻折的性质可知GDGDGEGE，DFDFEFEF，DGFDGFEGFEGF，DGFDGFDFGDFG，GDGDDFDF，DGDGGEGEDFDFEFEF，四边形四边形EFDGEFDG是菱形是菱形(2)EG(2)EG2 2 GFGFAF.AF.理由如下：如图，连接理由如下：如图，连接DEDE，交，交AFAF于点于点O.O.四边形四边形EFDGEFDG是菱形，是菱形，GFDEGFDE，OGOGOFOF GF.GF.DOFDOFADFADF9090，OFDOFDDFADFA，DOFDOFADFADF， ，DFDF2 2FOFOAF.AF.FOFO GFGF，DFDFEGEG，EGEG2 2 GFGFAF.AF.1212DFAFFODF1212(3)(3)如图，过点如图，过点G G作作GHDCGHDC，垂足为点，垂足为点H.H.变式变式1 1：如图，若点：如图，若点G G在在BEBE上，上，ADAD1010，ABAB6 6，CECE2 2，将将ABGABG沿沿AGAG折叠，点折叠，点B B恰好落在线段恰好落在线段AEAE上的点上的点H H处求证：处求证：(1)FAG(1)FAG4545；(2)S(2)SABGABG S SEGHEGH；(3)BG(3)BGCECEGE.GE.32证明：如图，证明：如图，由题意可知，由题意可知，BGBGGHGH，AEAEADAD1010，AHAHABAB6 6，1 12 2，3 34.4.(1)1(1)12 23 34 4BADBAD9090，2 23 3 BADBAD 90904545，即即FAGFAG4545. .1212(2)AE(2)AE1010，AHAH6 6，HEHEAEAEAHAH10106 64.4.设设BGBGx x，GHGHBGBGx x，GEGEADADBGBGECEC1010 x x2 28 8x.x.在在RtRtGHEGHE中，中，GEGE2 2GHGH2 2HEHE2 2，(8(8x)x)2 2x x2 24 42 2，x x3 3，即即GHGHBGBG3 3，S SABGABG ABABBGBG 6 63 39 9，S SGHEGHE GHGHHEHE 3 34 46 6，S SABGABG S SEGHEGH. .(3)GE(3)GE8 8x x8 83 35 5，BGBGECEC3 32 25 5，BGBGCECEGE.GE.1212121212变式变式2 2：如图，矩形：如图，矩形ABCDABCD中，中，ADAD1010，ABAB6 6，若点，若点M M是是BCBC边边上一点，连接上一点，连接AMAM，把，把B B沿沿AMAM折叠，使点折叠，使点B B落在点落在点BB处，当处，当CMBCMB为直角三角形时，求为直角三角形时，求BMBM的长的长解：如图，当点解：如图，当点BB落在矩形内部时，连接落在矩形内部时，连接ACAC，在在RtRtABCABC中，中，ABAB6 6，BCBC1010，ACACB B沿沿AMAM折叠，使点折叠，使点B B落在点落在点BB处，处，ABMABMB B9090. .当当CMBCMB为直角三角形时，只能得到为直角三角形时，只能得到MBCMBC9090，点点A A，BB，C C共线，即共线，即B B沿沿AMAM折叠，使点折叠，使点B B落在对角线落在对角线ACAC上的点上的点BB处，处，MBMBMBMB，ABABABAB6 6，CBCB2 2 6.6.设设BMBMx x，则，则MBMBx x，CMCM1010 x x，在在RtRtCMBCMB中，中，MCMC2 2MBMB2 2CBCB2 2，(10(10 x)x)2 2x x2 2(2 (2 6)6)2 2，解得解得x x ，346 34 18534BMBM . .如图，当点如图，当点BB落在落在ADAD边上时，边上时，此时四边形此时四边形ABMBABMB为正方形，为正方形，BMBMABAB6.6.综上所述，综上所述，BMBM的长为的长为 或或6.6.6 34 1856 34 185