数学第四章 几何初步与三角形 第六节 解直角三角形及其应用

第六节解直角三角形及其应用考点一考点一 锐角三角函数锐角三角函数 (5(5年年0 0考考) )例例1 1(2018(2018德州中考德州中考) )如图，在如图，在4 44 4的正方形方格图形中，的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，小正方形的顶点称为格点，ABCABC的顶点都在格点上，则的顶点都在格点上，则BACBAC的正弦值是的正弦值是 【分析分析】 先根据勾股定理的逆定理判断出先根据勾股定理的逆定理判断出ABCABC的形状，再的形状，再由锐角三角函数的定义即可得出结论由锐角三角函数的定义即可得出结论【自主解答自主解答】由勾股定理可得由勾股定理可得ABAB2 23 32 24 42 22525，BCBC2 21 12 22 22 25 5，ACAC2 22 22 24 42 22020，ABAB2 2BCBC2 2ACAC2 2，ACBACB9090，ABCABC为直角三角形，为直角三角形，sinBACsinBAC . .故答案为故答案为 . . BCAB5555求三角函数值的方法求三角函数值的方法在三角形中求一般角的三角函数值时，往往需要通过作三角在三角形中求一般角的三角函数值时，往往需要通过作三角形的高，构造一个包含所求角的直角三角形，然后利用三角形的高，构造一个包含所求角的直角三角形，然后利用三角函数的定义解决在网格图中求锐角的三角函数值，要充分函数的定义解决在网格图中求锐角的三角函数值，要充分利用格点之间连线的特殊位置构造直角三角形，借助勾股定利用格点之间连线的特殊位置构造直角三角形，借助勾股定理解答理解答1 1(2018(2018垦利模拟垦利模拟) )如图，已知在如图，已知在RtRtABCABC中，中，C C9090，ABAB5 5，BCBC3 3，则，则coscos B B的值是的值是( )( )A A2 2(2018(2018滨州中考滨州中考) )在在ABCABC中，中，C C9090，若，若tan Atan A ，则，则sin Bsin B 122 55考点二考点二 特殊角的三角函数值特殊角的三角函数值 (5(5年年5 5考考) )例例2 2 在在ABCABC中，若中，若|sin A|sin A | |( ( coscos B) B)2 20 0，A A，B B都是锐角，则都是锐角，则C C 【分析分析】 根据绝对值及完全平方的非负性，可得出根据绝对值及完全平方的非负性，可得出A A及及B B的度数，再利用三角形的内角和定理即可得出的度数，再利用三角形的内角和定理即可得出C C的的度数度数2232【自主解答自主解答】|sin A|sin A | |( ( coscos B) B)2 20 0，sin Asin A ，coscos B B . .又又A A，B B都是锐角，都是锐角，A A4545，B B3030，C C18018045453030105105. .故答案为故答案为105105. . 22322232熟记特殊角的三角函数值的两种方法熟记特殊角的三角函数值的两种方法(1)(1)按值的变化：按值的变化：3030，4545，6060角的正余弦的分母都是角的正余弦的分母都是2 2，正弦的分子分别是，正弦的分子分别是1 1， ， ，余弦的分子分别是，余弦的分子分别是 ， ，1 1，正切分别是，正切分别是 ，1 1， . .2332333(2)(2)特殊值法特殊值法在直角三角形中，设在直角三角形中，设3030角所对的直角边为角所对的直角边为1 1，那么三边，那么三边长分别为长分别为1 1， ，2 2；在直角三角形中，设在直角三角形中，设4545角所对的直角边为角所对的直角边为1 1，那么三边，那么三边长分别为长分别为1 1，1 1， . .323 3李红同学遇到了这样一道题：李红同学遇到了这样一道题： tan(tan(2020) )1 1，你猜想锐角你猜想锐角的度数应是的度数应是( )( )A A4040 B B3030 C C2020 D D10103D D4 4(2017(2017烟台中考烟台中考) )在在RtRtABCABC中，中，C C9090，ABAB2 2，BCBC ，则，则sin sin 32A125 5(2015(2015东营中考东营中考) )计算：计算：( (1)1)2 0152 015 (3(3)0 0|3|3 | |(tan 30(tan 30) )1 1. .解：原式解：原式1 13 31 13 3 0.0.9333考点三考点三 解直角三角形解直角三角形 (5(5年年0 0考考) )例例3 3 (2018(2018自贡中考自贡中考) )如图，在如图，在ABCABC中，中，BCBC1212，tan Atan A ，B B3030，求，求ACAC和和ABAB的长的长【分析分析】 过点过点C C作作CDABCDAB，在直角三角形中求出，在直角三角形中求出ADAD，BDBD，即，即可得解可得解34【自主解答自主解答】如图，过点如图，过点C C作作CDABCDAB于点于点D.D.在在RtRtBCDBCD中，中，B B3030，BCBC1212，CDCDBCsinBCsin 30 306 6，BDBDBCcosBCcos 30 306 .6 .3在在RtRtACDACD中，中，6 6(2018(2018贵阳中考贵阳中考) )如图，如图，A A，B B，C C是小正方形的顶点，是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为且每个小正方形的边长为1 1，则，则tanBACtanBAC的值为的值为( )( )B B7 7(2018(2018齐齐哈尔中考齐齐哈尔中考) )四边形四边形ABCDABCD中，中，BDBD是对角线，是对角线，ABCABC9090，tanABDtanABD ，ABAB2020，BCBC1010，ADAD1313，则线段则线段CDCD_341717或或89考点四考点四 解直角三角形的应用解直角三角形的应用 (5(5年年3 3考考) )命题角度命题角度仰角、俯角问题仰角、俯角问题例例4 4(2017(2017东营中考东营中考) )一数学兴趣小组来到某一数学兴趣小组来到某公园，准备测量一座塔的高度如图，在公园，准备测量一座塔的高度如图，在A A处测得塔顶的仰角为处测得塔顶的仰角为，在，在B B处测得塔顶的处测得塔顶的仰角为仰角为，又测量出，又测量出A A，B B两点的距离为两点的距离为s s米，米，则塔高为则塔高为 米米【分析分析】 在在RtRtBCDBCD中，可以用中，可以用CDCD表示出表示出BDBD的长，从而得出的长，从而得出ADAD的长；再在的长；再在RtRtACDACD中，求出中，求出CDCD的长即可的长即可【自主解答自主解答】 在在RtRtBCDBCD中，中， 8 8(2018(2018河口一模河口一模) )某兴趣小组借助无人飞机航拍校园，某兴趣小组借助无人飞机航拍校园，如图，无人飞机从如图，无人飞机从A A处飞行至处飞行至B B处需处需8 8秒，在地面秒，在地面C C处同一方向处同一方向上分别测得上分别测得A A处的仰角为处的仰角为7575，B B处的仰角为处的仰角为3030. .已知无人已知无人飞机的飞行速度为飞机的飞行速度为4 4米米/ /秒，则这架无人飞机的飞行高度为秒，则这架无人飞机的飞行高度为_米米( (结果保留根号结果保留根号) ) 8 8 8 8 39 9(2018(2018聊城中考聊城中考) )随着我市农产品整体品牌形象随着我市农产品整体品牌形象“聊聊胜一筹！胜一筹！”的推出，现代农业得到了更快发展某农场为扩的推出，现代农业得到了更快发展某农场为扩大生产建设了一批新型钢管装配式大棚，如图大生产建设了一批新型钢管装配式大棚，如图1 1，线段，线段ABAB，BDBD分别表示大棚的墙高和跨度，分别表示大棚的墙高和跨度，ACAC表示保温板的长已知墙表示保温板的长已知墙高高ABAB为为2 2米，墙面与保温板所成的角米，墙面与保温板所成的角BACBAC150150，在点，在点D D处处测得测得A A点，点，C C点的仰角分别为点的仰角分别为9 9，15.615.6，如图，如图2 2，求保温板，求保温板ACAC的长是多少米？的长是多少米？( (精确到精确到0.10.1米米) )( (参考数据：参考数据： 0.860.86，sin 9sin 90.160.16，coscos 9 90.990.99，tan 9tan 90.160.16，sin 15.6sin 15.60.270.27，coscos 15.6 15.60.960.96，tan 15.6tan 15.60.28.)0.28.)32解：设解：设ACACx x，在，在ABDABD中，中，tan 9tan 9 ，BDBD . . 如图，作如图，作CEBDCEBD，垂足为点，垂足为点E E，作，作AGCEAGCE，垂足为点，垂足为点G.G.ABBD29tan 在在RtRtAGCAGC中，中，CAGCAG6060，AGAGACACcoscos 60 60 x x0.5x0.5x，CGCGACACsinsin 60 60 x x，EDEDBDBDBEBEBDBDAGAG 0.5x.0.5x.在在RtRtCEDCED中，中，tanCDEtanCDEtan 15.6tan 15.6 ，1232CEED29tan CECEEDEDtan 15.6tan 15.6( ( 0.5x)0.5x)tan 15.6tan 15.6. .又又CECECGCGGEGE x x2 2，( ( 0.5x)0.5x)tan 15.6tan 15.6 x x2 2，即即( ( 0.5x)0.5x)0.280.280.86x0.86x2 2，解得解得x x1.5(1.5(米米) )答：保温板答：保温板ACAC的长约是的长约是1.51.5米米29tan 3229tan 3220.16命题角度命题角度坡度、坡角问题坡度、坡角问题例例5 5 (2018(2018安顺中考安顺中考) )如图是某市一座人行天桥的示意图，如图是某市一座人行天桥的示意图，天桥离地面的高天桥离地面的高BCBC是是1010米，坡面米，坡面ACAC的倾斜角的倾斜角CABCAB4545，在距在距A A点点1010米处有一建筑物米处有一建筑物HQ.HQ.为了方便行人推车过天桥，为了方便行人推车过天桥，市政府部门决定降低坡度，使新坡面市政府部门决定降低坡度，使新坡面DCDC的倾斜角的倾斜角BDCBDC3030，若新坡面下，若新坡面下D D处与建筑物之间需留下至少处与建筑物之间需留下至少3 3米宽的人米宽的人行道，问该建筑物是否需要拆除行道，问该建筑物是否需要拆除( (结果保留一位小数结果保留一位小数) )( (参考数据：参考数据： 1.4141.414， 1.732)1.732)23【分析分析】 在在RtRtABCABC，RtRtDBCDBC中，利用锐角三角函数分别中，利用锐角三角函数分别计算计算ABAB，DBDB，然后计算，然后计算DHDH的长，根据的长，根据DHDH与与3 3的关系得结论的关系得结论【自主解答自主解答】由题意知，由题意知，AHAH1010米，米，BCBC1010米米在在RtRtABCABC中，中，CABCAB4545，ABABBCBC1010米米在在RtRtDBCDBC中，中，CDBCDB3030， DBDB 10 (10 (米米) )DHDHAHAH(DB(DBAB)AB)101010 10 1010202010102.7(2.7(米米) )，答：该建筑物需要拆除答：该建筑物需要拆除BCtan CDB333解决坡度、坡角问题时的注意点解决坡度、坡角问题时的注意点首先要认真读题，弄清题意，理解坡度、坡角的实际意义及首先要认真读题，弄清题意，理解坡度、坡角的实际意义及坡度与坡角的关系，其次是从图中确定要解的直角三角形，坡度与坡角的关系，其次是从图中确定要解的直角三角形，充分使用坡度、坡角提供的相关数据，正确选择关系式充分使用坡度、坡角提供的相关数据，正确选择关系式1010(2018(2018枣庄中考枣庄中考) )如图，某商店营业大厅自动扶梯如图，某商店营业大厅自动扶梯ABAB的的倾斜角为倾斜角为3131，ABAB的长为的长为1212米，则大厅两层之间的高度为米，则大厅两层之间的高度为_米米( (结果保留两个有效数字结果保留两个有效数字)()(参考数据：参考数据：sin 31sin 310.5150.515，coscos 31 310.8570.857，tan 31tan 310.601)0.601) 6.2 6.2 1111(2018(2018邵阳中考邵阳中考) )某商场为方便某商场为方便消费者购物，准备将原来的阶梯式自消费者购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式自动扶梯如图所示，已知原阶梯式自动扶梯改造成斜坡式自动扶梯如图所示，已知原阶梯式自动扶梯动扶梯ABAB长为长为10 m10 m，坡角，坡角ABDABD为为3030；改造后的斜坡式自；改造后的斜坡式自动扶梯的坡角动扶梯的坡角ACBACB为为1515，请你计算改造后的斜坡式自动，请你计算改造后的斜坡式自动扶梯扶梯ACAC的长度的长度( (结果精确到结果精确到0.1 m0.1 m参考数据：参考数据：sin 15sin 150.260.26，coscos 15 150.970.97，tan 15tan 150.27)0.27)解：在解：在RtRtABDABD中，中，ABDABD3030，ABAB1010，ADADAB AB sinABDsinABD1010sin 30sin 305.5.在在RtRtACDACD中，中，ACDACD1515，sinACDsinACD ，ACAC 19.2.19.2.答：改造后的斜坡式自动扶梯答：改造后的斜坡式自动扶梯ACAC的长度约为的长度约为19.2 m.19.2 m.ADACADsin ACD515sin 命题角度命题角度方向角问题方向角问题例例6 6(2018(2018济宁中考济宁中考) )如图，在一笔直的海岸线如图，在一笔直的海岸线l l上有相距上有相距2 km2 km的的A A，B B两个观测站，两个观测站，B B站在站在A A站的正东方向上，从站的正东方向上，从A A站站测得船测得船C C在北偏东在北偏东6060的方向上，从的方向上，从B B站站测得船测得船C C在北偏东在北偏东3030的方向上，则船的方向上，则船C C到海岸线到海岸线l l的距离是的距离是 km.km.【分析分析】 过点过点C C作作CHlCHl，垂足为点，垂足为点H.H.然后解直角三角形即然后解直角三角形即可求得答案可求得答案【自主解答自主解答】如图，过点如图，过点C C作作CHlCHl，垂足为点，垂足为点H.H.由题意得由题意得ACHACH6060，CBHCBH6060，BCHBCH3030. .设设CHCHx.x.在在RtRtACHACH中，中，AHAHCHCHtanACHtanACHx xtantan 60 60 x.x.在在RtRtBCHBCH中，中，BHBHCHCHtanBCHtanBCHx xtantan 30 30 x.x.AHAHBHBHABAB， x x x x2 2，解得，解得x x ，即船即船C C到海岸线到海岸线l l的距离是的距离是 km.km.故答案为故答案为 . . 333333333解决方向角问题的方法解决方向角问题的方法方向角问题应结合实际问题抽象出示意图并构造三角形，还方向角问题应结合实际问题抽象出示意图并构造三角形，还要分析三角形中的已知元素和未知元素，如果这些元素不在要分析三角形中的已知元素和未知元素，如果这些元素不在同一个三角形中或者在同一个斜三角形中，就需要添加辅助同一个三角形中或者在同一个斜三角形中，就需要添加辅助线在解题的过程中，有时需要设未知数，通过构造方程线在解题的过程中，有时需要设未知数，通过构造方程( (组组) )来求解这类题目主要考查学生解决实际问题的能力来求解这类题目主要考查学生解决实际问题的能力1212(2018(2018广饶模拟广饶模拟) )在综合实践课上，在综合实践课上，小聪所在小组要测量一条河的宽度，如小聪所在小组要测量一条河的宽度，如图，河岸图，河岸EFMNEFMN，小聪在河岸，小聪在河岸MNMN上点上点A A处处用测角仪测得河对岸小树用测角仪测得河对岸小树C C位于东北方向，然后沿河岸走了位于东北方向，然后沿河岸走了3030米，到达米，到达B B处，测得河对岸电线杆处，测得河对岸电线杆D D位于北偏东位于北偏东3030方向，方向，此时，其他同学测得此时，其他同学测得CDCD1010米请根据这些数据求出河的宽米请根据这些数据求出河的宽度为度为 _米米( (结果保留根号结果保留根号) )3030101031313(2018(2018青岛中考青岛中考) )某区域平面示意图如图，点某区域平面示意图如图，点O O在河的在河的一侧，一侧，ACAC和和BCBC表示两条互相垂直的公路甲勘测员在表示两条互相垂直的公路甲勘测员在A A处测处测得点得点O O位于北偏东位于北偏东4545，乙勘测员在，乙勘测员在B B处测得点处测得点O O位于南偏西位于南偏西73.773.7，测得，测得ACAC840 m840 m，BCBC500 m500 m请求出点请求出点O O到到BCBC的距离参考数据：的距离参考数据：sin 73.7sin 73.7 ，coscos 73.7 73.7 ，tan 73.7tan 73.7 . .2425725247解：如图，作解：如图，作OMBCOMBC于点于点M M，ONACONAC于点于点N N， 则四边形则四边形ONCMONCM为矩形，为矩形，ONONMCMC，OMOMNC.NC.设设OMOMx x，则，则NCNCx x，ANAN840840 x.x.在在RtRtANOANO中，中，OANOAN4545，ONONANAN840840 x x，则，则MCMCONON840840 x x，在在RtRtBOMBOM中，中，BMBM x.x.OMtan OBM724由题意得由题意得840840 x x x x500500，解得解得x x480.480.答：点答：点O O到到BCBC的距离为的距离为480 m.480 m.724