数学模型的应用

数学建模数模作业（第一章）P21第一章6、利用1.5节药物中毒施救模型确定对于孩子(血液容量为2000ml)以及成人(血液容量为4000ml)服用氨茶碱能引起严重中毒和致命的最小剂量。解：设孩子服用氨茶碱能引起严重中毒的最小剂量为，则由1.5节中的药物中毒施救模型可知:在胃肠道中药物的量为，而在血液系统中药物的量为，再令再做出由图可知具有最大值，设在这个最大值在孩子血液中容量的比例为严重中毒的比例以及致命的比例即为孩子服用氨茶碱的最小剂量。于是可以去求这个最小剂量。由上图可知最大值位于左右, 利用Mathematics去找出这个最大值。求得，而。于是孩子服用氨茶碱引起严重中毒的最小剂量有式子，从而得此时同理可以求的孩子服用氨茶碱致命的最小剂量为。而成人服用氨茶碱严重中毒与致命的最小剂量分别为。7、对于1.5节的模型，如果采用的是体外血液透析的办法，求解药物中毒施救模型的血液中药量的变化并作图。解：由题可算得：t=0:2:20y=275*exp(-0.1386*t)+112.3*exp(-0.6930*t) plot(t,y,b:)第二章3、根据2.5节中的流量数据(表2)和(2)式作插值的数值积分，按照连续模型考虑均流池的容量(用到微积分的极值条件)。解：可以将表2中的数据建立散点图以及平均值，如下： h=0:1:23y=150.12,115.56,84.96,66.60,68.04,71.64,82.08,132.84,185.04,226.80,246.60,250.92,261.00,271.44,273.96,279,291.60,302.04,310.68,290.52,281.16,248.40,210.24,186.84x1=0:0.01:23;t=sum(y)/24;plot(h,y,-,x1,t)hold onplot(h,y,x1,b.) 另一方面由，经过转化，从而即可转为。又因为要求出均流池的最大容量，就要令即从中求出时间的值，再去求。从书中可知，又有散点图中可知存在两个时间点使得接下来我们来求出这两个时间，不妨在时间段做插值并求出即可求得于是在时刻或者时刻达到最大值，显然不可能在时刻。事实上，在之前均小于所以不可能达到最大值，故只能在达到最大值。利用插值后的数值以及以直代曲的方法来求积分，从而可以利用数学软件MATLAB求得最大值(代码见附录4)为若要考虑的裕量，可按照来设计均流池。数模作业（第二章插值法）P563、 题目：根据2.5节中的流量数据（表2）和（2）式作插值和数值积分，按照连续模型考虑考虑均流池的容量（用到微积分的极值条件）。时间/h01234567流量/(m3.h-1)150.12115.5684.9666.6068.0471.6482.08132.84时间/h89101112131415流量/(m3.h-1)185.04226.80246.60250.92261.00271.44273.96279.00时间/h1617181920212223流量/(m3.h-1)291.60302.04320.68290.52281.16248.40210.24186.84分析：我们已知的只有数据的散点。通过已学知识，用matlab画图，画出散点所形成的曲线。建立matlab文件e。m文件，输入的代码为：h=0:1:23y=150.12,115.56,84.96,66.60,68.04,71.64,82.08,132.84,185.04,226.80,246.60,250.92,261.00,271.44,273.96,279,291.60,302.04,310.68,290.52,281.16,248.40,210.24,186.84x1=0:0.01:23;t=sum(y)/24;plot(h,y,*-,x1,t)hold onplot(h,y,x1,r+)在matlab工作区间运行结果为：现用插值进行运算：在matlab中建立M文件x = 0:23;y = 150.12 115.56 84.96 66.6 68.04 71.64 82.08 32.84 185.04 226.8 246.6 250.92 261 271.44 273.96 279 291.6 302.04 310.68 290.52 281.16 248.4 210.24 186.84;h = 0:0.001:23;t = interp1(x, y, h, spline) %一维插值利用插值后的数值来求积分，从而利用如下MATLAB代码求得最大值为 若要考虑的裕量，可按照来设计均流池。在matlab中建立M文件clear; a = 876.15;x = 0:23;y = 150.12 115.56 84.96 66.6 68.04 71.64 82.08 132.84 185.04 226.8 246.6 250.92 261 271.44 273.96 279 291.6 302.04 310.68 290.52 281.16 248.4 210.24 186.84;h = 0:0.001:23;t = interp1(x, y, h, spline); %一维插值t1 = t(2:22209);m = 0.001 * (sum(t1) - 203.67 * 22.208;Max = m + a %容量数模作业（第四章）1、 （1）解：根据题意及表格信息，可列出下列关系试。设投资证券A，B,C,D,E的证券的金额分别为，则： （1）整理后得： （2）在LINGO中输入如下命令：model:max=0.043*x1+0.027*x2+0.025*x3+0.022*x4+0.045*x5;x2+x3+x4=4;6*x1+6*x2-4*x3-4*x4+36*x5=0;4*x1+10*x2-x3-2*x4-3*x5=0;x1+x2+x3+x4+x5=4;6*x1+6*x2-4*x3-4*x4+36*x5=0;4*x1+10*x2-x3-2*x4-3*x5=0;x1+x2+x3+x4+x5=4;6*x1+6*x2-4*x3-4*x4+36*x5=0;4*x1+10*x2-x3-2*x4-3*x5=0;x1+x2+x3+x4+x5=4;6*x1+6*x2-4*x3-4*x4+36*x5=0;4*x1+10*x2-x3-2*x4-3*x5=0;x1+x2+x3+x4+x5=4;x1+x2+y1+y2=3;x1+x2+y1+y2+y3=4;x2+y1+y2+y3+y4=6;x1+y2+y3+y4+y5=5;x1+x2+y3+y4+y5=6;x1+x2+y4+y5=8;x1+x2+y5=8;y1+y2+y3+y4+y5=6000+5*x1;65*s2=7500+5*x2;65*s3=5500+5*x3;65*s4=9000+5*x4;s1=120+x1;s2=0.85*s1+x2;s3=0.85*s2+x3;s4=0.85*s3+x4;end运行结果如下：Global optimal solution found. Objective value: 478.5107 Total solver iterations: 1 Variable Value Reduced Cost S1 120.0000 0.000000 S2 116.5000 0.000000 S3 99.02500 0.000000 S4 142.9857 0.000000 X1 0.000000 0.8732231 X2 14.50000 0.000000 X3 0.000000 0.9291667 X4 58.81448 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 478.5107 -1.000000 2 1800.000 0.000000 3 0.000000 -0.2982986E-01 4 936.6250 0.000000 5 0.000000 -0.1666667E-01 6 0.000000 -0.8732231 7 0.000000 0.1491493 8 0.000000 -0.9291667 9 0.000000 0.8333333E-01因此，4个季度开始时，公司新招聘的保姆数量分别为0,15,0,59人。（2） 允许解雇的条件下，设4个季度开始时的保姆数量分别为人，4个季度公司新招的保姆数分别为人，相对应的4个季度结束时解雇的保姆数分别为人，重新建立模型如下：model:min=s1+s2+s3+s4;65*s1=6000+5*x1;65*s2=7500+5*x2;65*s3=5500+5*x3;65*s4=9000+5*x4;s1=120+x1;s2=0.85*s1+x2-y1;s3=0.85*s2+x3-y2;s4=0.85*s3+x4-y3;end运行结果如下：Global optimal solution found. Objective value: 465.1218 Total solver iterations: 0 Variable Value Reduced Cost S1 120.0000 0.000000 S2 116.5000 0.000000 S3 84.61538 0.000000 S4 144.0064 0.000000 X1 0.000000 0.9291667 X2 14.50000 0.000000 X3 0.000000 0.7147436E-01 X4 72.08333 0.000000 Y1 0.000000 0.8333333E-01 Y2 14.40962 0.000000 Y3 0.000000 0.8333333E-01 Row Slack or Surplus Dual Price 1 465.1218 -1.000000 2 1800.000 0.000000 3 0.000000 -0.1666667E-01 4 0.000000 -0.1429487E-01 5 0.000000 -0.1666667E-01 6 0.000000 -0.9291667 7 0.000000 0.8333333E-01 8 0.000000 0.000000 9 0.000000 0.8333333E-01因此，四个季度新招聘保姆人数分别为：0、15、0、72人。四个季度结束后解雇保姆人数分别为：0、15、0.6、 假设混合池中甲、乙、丁所占的比例分别为，A类产品中来自混合池和原料丙的吨数分别为吨，B类产品来自混合池和原料丙的吨数分别为吨。优化目标总利润最大。建立模型如下：model:max=(9-6*x1-16*x2-15*x4)*y1+(15-16*x1-16*12-15*x4)*y2+(9-10)*z1+(15-10)*z2;x4*(y1+y2)=50;y1+y2=100;y2+z2=200;(3*x1+x2+x4-2.5)*y1-0.5*z1=0;(3*x1+x2+x4-1.5)*y2+0.5*z2 L=0 4 3;1/2 0 0;0 1/4 0; A=L3A = 0.37500000000000 8.00000000000000 6.00000000000000 1.00000000000000 0.37500000000000 0 0 0.50000000000000 0.37500000000000 B=1000 1000 1000B = 1000 1000 1000 A*Bans = 14375 1375 875由上面数据可以得到：15年后各组分别有14375只，1375只，875只。（2）时间充分长后，求种群的增长率（即固有增长率）和按年龄组的分布情况，这就是稳定状况分析。由定理1的内容可知：L矩阵有唯一的正特征根，且是单重的，它对应的正特征向量为同时，定理1表明L矩阵的特征方程为解得方程可以得到：，即为固有增长率的值。由固有增长率的值可以得到：特征向量为。由定理二可知：就是表示种群按年龄组的分布状况，即稳定分布。