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指数函数与对数函指数函数与对数函数的关系数的关系(1) 一般地，把函数一般地，把函数 叫做对数函数，其中叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义是自变量，函数的定义域是域是 , 01, 0logaaxya且 一般地,函数 (a0且a1)叫做指数函数,其中x是自变量. 函数的定义域是 (-,+). xay 1.指数函数的概念对数函数的概念值域是值域是(-,+)值域是值域是(0,+) 一般地，把函数一般地，把函数 叫做对数函数，其中叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义是自变量，函数的定义域是域是 , 01, 0logaaxya且 一般地,函数 (a0且a1)叫做指数函数,其中x是自变量. 函数的定义域是 (-,+). xay 1.指数函数的概念对数函数的概念值域是值域是(-,+)值域是值域是(0,+) 对比同以a(a0且a)为底数的对数函数和指数函数，看看自变量与函数值之间有什么关系？两函数的定义域和值域交叉对应。两函数的定义域和值域交叉对应。0a1a1图图象象定义域R值域(0,+(0,+) )性质(1)过定点（0，1），即x0时，y1。(2)在R上是减函数(2)在R上是增函数Oxy(0,1)y=1xay Oxy(0,1)y=1xay 图图 象象定义域定义域值值 域域性性 质质a10a1 x=y x y O y=logax y=ax 0a1 x=y xay xyalog函数与的图象关于关于xy对称对称 对比同以a(a0且a)为底数的对数函数和指数函数，看看两函数的图像之间有什么关系？两函数的图像总是关于直线两函数的图像总是关于直线y=x对称。对称。 同以a(a0且a)为底数的对数函数和指数函数，看看自变量与函数值之间、两函数的两函数的图像之间图像之间有什么关系：两函数的定义域和值域交叉对应；两函数的定义域和值域交叉对应；两函数的图像总是关于直线两函数的图像总是关于直线y=x对称。对称。 像这样以a为底的对数函数，自变量x和函数值y分别是以a为底的指数函数的函数值和自变量，我们称有这种特殊关系的两个函数互为反函数 1.反函数定义反函数定义 一般地，函数一般地，函数y=f(x) (x A),设它的值域为设它的值域为C,我们根据这个函数中我们根据这个函数中x,y的关系，用的关系，用y把把x表示表示出，得到出，得到x= (y) ,如果对于如果对于 y在在 C中的任何一个中的任何一个值，通过值，通过x= (y) ,x在在A中都有中都有唯一唯一的值和它对应，的值和它对应，那么，那么，x= (y) 就表示就表示y是自变量，是自变量，x是自变量是自变量y的的函数，这样的函数函数，这样的函数x= (y) （y C)叫做函数叫做函数y=f(x)(xA)的反函数的反函数.记作：记作：x=f-1(y). 反函数反函数x=f-1(y)中，中，x为因变量，为因变量，y为自变量，为自变量，为和习惯一致，将为和习惯一致，将x,y互换得：互换得： y=f-1(x) ( xC).知识要点知识要点思考：是否所有的函数都有反函数？f(x)=x2有没有反函数？f(x)=x2， 有没有反函数？ 1 , 0 x结论：只有函数对应的映射是一一映射时，才有反函数。小试牛刀小试牛刀2.求反函数的方法步骤求反函数的方法步骤：求出原函数的求出原函数的值域值域；即求出反函数的定义域；即求出反函数的定义域；由由 y = f ( x ) 反解反解出出 x = f 1 ( y )(把把 x 用用 y 表表 示示出来出来)；将将 x = f 1 ( y ) 改写成改写成 y = f 1 ( x )，并写出反，并写出反函数的函数的 定义域定义域(对调对调 x = f 1 ( y ) 中的中的 x、y).如何求一个函数的反函数呢？如何求一个函数的反函数呢？提示：一定要注意原函数的值域。在求解反函数时，提示：一定要注意原函数的值域。在求解反函数时，往往都要写出相应的定义域。往往都要写出相应的定义域。范例范例例例1 求下列函数的反函数：求下列函数的反函数：3(2)1();23(3)1(0);(4)(,1)(11)31();yxxRxyxxyxRxxyxxR且,3113yxxy解得：由).(31Rxxy原函数的反函数为：解：解：例例1 求下列函数的反函数：求下列函数的反函数：3(1)31();23(3)1(0);(4)(,1)1(2)1();yxxRxyxxyxRxxyxxR且解：解：, 1133yxxy解得：由).(13Rxxy原函数的反函数为：范例范例例例1 求下列函数的反函数：求下列函数的反函数：3(1)31();(2)1();2(3)1(0)3(4)(,1)1;yyxxRyxxRxxxyxRxx且解：解：21(0),(1) (1),yxxxyy由解得：2(1) (1).yxx原函数的反函数为：范例范例例例1 求下列函数的反函数：求下列函数的反函数：3(1)31();(2)1();(3)1(0)23(4)(,1)1;yxxRyxxRyxyxRxxxx且解：解：233(1)(2),12xyyxxyxy由解得：3(,2),.2xyxR xx原函数的反函数为：范例范例3.原函数与反函数的联系原函数与反函数的联系AC值域值域CA定义域定义域反函数反函数函数函数)(xfy )(1xfy 4.互为反函数的函数图象间的关系互为反函数的函数图象间的关系 一般地，函数一般地，函数y=f(x)的图像和它的的图像和它的反函数反函数y= f-1(x) 的图的图像关于直线像关于直线y=x对称对称.其增减性相同其增减性相同.释意：释意：如果点如果点(a,b)在函数在函数y=f(x)的图的图像上，那么点像上，那么点(b,a)必然在它的反函必然在它的反函数数y=f-1(x)的图像上。换言之，如果的图像上。换言之，如果函数函数y=f(x)的图像上有点的图像上有点(a,b)，那么那么它的反函数它的反函数y=f-1(x)的图像上必然有的图像上必然有点点(b,a).知识要点知识要点例例2 函数函数f(x)loga (x1)(a0且且a1)的反函数的图象经过点的反函数的图象经过点(1, 4)，求，求a的值的值. 若函数若函数yf(x)的图象经过点的图象经过点(a, b)，则其反函数的图象经过点则其反函数的图象经过点(b, a).小小 结：结：解解:依题意依题意,得得) 14(log1a. 3, 13log:a即a 思考如下问题：1、互为反函数的两个函数的单调性有怎样的关系？2、如果一个函数是偶函数，它有没有反函数？奇函数呢？如果有，它的反函数的奇偶性是怎样的？关于反函数，你认识到了多少呢？请列出关于反函数，你认识到了多少呢？请列出几个重要的结论 1、互为反函数的两个函数的单调性一致； 2、若一奇函数有反函数，则它的反函数也是奇函数；若函数为偶函数，则它没有反函数； 3、若点P(m,n)在y=f(x)的图象上，则点P(n,m)在其反函数的图象上。快乐体验快乐体验
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