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第一部分第一部分 系统复习系统复习 成绩基石成绩基石 第三章函数及其图象第三章函数及其图象 第第13讲二次函数的实际应用讲二次函数的实际应用沪科版：九年级上册第沪科版：九年级上册第21章二次函数与反比例函数章二次函数与反比例函数21.4；21.6人教版：九年级上册第人教版：九年级上册第22章二次函数章二次函数22.3北师版：九年级下册第北师版：九年级下册第2章二次函数章二次函数2.4考点梳理考点梳理过关过关考点考点1 1 实物抛物线的应用实物抛物线的应用 6 6年年1 1考考考点考点2 2 二次函数在销售问题中的应用二次函数在销售问题中的应用 6 6年年2 2考考考点考点3 3 二次函数在面积问题中的应用二次函数在面积问题中的应用 6 6年年1 1考考考点考点4 4 灵活选用适当的函数模型灵活选用适当的函数模型 6 6年年1 1考考典型例题典型例题运用运用类型类型1 1 实物抛物线实物抛物线【例1】2017金华中考甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，如图，甲在O点上正方1m的P处发出一球，羽毛球飞行的高度y(m)与水平距离x(m)之间满足函数表达式ya(x4)2h.已知点O与球网的水平距离为5m，球网的高度为1.55m. (1)当a 时，求h的值；通过计算判断此球能否过网(2)若甲发球过网后，羽毛球飞行到点O的水平距离为7m，离地面的高度为 m的Q处时，乙扣球成功，求a的值思路分析 (1)把(0,1)，a 代入ya(x4)2h即可求得h的值；把x5代入ya(x4)2h可求得网球的高度，与1.55m比较大小，作出正确的判断；(2)由题意，把点(0,1)，(7， )代入ya(x4)2h即可求得a的值自主解答：技法点拨 利用二次函数解决实物抛物线形问题时，要把实际问题中的已知条件转化为点的坐标，代入解析式求解，最后根据求解的结果转化为实际问题的答案步骤步骤关键点关键点(1)分析问题明确题中的常量与变量及其它们之间的关系，确定自变量及函数(2)建立模型，确定函数解析式根据题意确定合适的解析式或建立恰当的坐标系(3)求函数解析式变量间的数量关系表示及自变量的取值范围(4)应用性质，解决问题熟记顶点坐标公式或配方法，注意a的正负及自变量的取值范围解二次函数应用题的步骤及关键点见下表：解二次函数应用题的步骤及关键点见下表：变式运用 2017德州中考随着新农村的建设和旧城的改造，我们的家园越来越美丽小明家附近广场中央新修了个圆形喷水池，在水池中心竖直安装了一根高为2米的喷水管，它喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1米处达到最高，水柱落地处离池中心3米(1)请你建立适当的平面直角坐标系，并求出水柱抛物线的函数解析式；(2)求出水柱的最大高度是多少？解：(1)如图，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地点所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系由题意可设抛物线的函数解析式为ya(x1)2h(0 x3)抛物线过点(0,2)和(3,0)，将其代入抛物线解析式，得类型类型2 2 二次函数在销售问题中的应用二次函数在销售问题中的应用【例2】2017黄冈中考月电科技有限公司用160万元，作为新产品的研发费用，成功研制出了一种市场急需的电子产品，已于当年投入生产并进行销售已知生产这种电子产品的成本为4元/件，在销售过程中发现：每年的年销售量y(万件)与销售价格x(元/件)的关系如图所示，其中AB为反比例函数图象的一部分，BC为一次函数图象的一部分设公司销售这种电子产品的年利润为z(万元)(注：若上一年盈利，则盈利不计入下一年的年利润；若上一年亏损，则亏损计作下一年的成本)(1)请求出y(万件)与x(元/件)之间的函数关系式；(2)求出第一年这种电子产品的年利润z(万元)与x(元/件)之间的函数关系式，并求出第一年年利润的最大值；(3)假设公司的这种电子产品第一年恰好按年利润z(万元)取得最大值时进行销售，现根据第一年的盈亏情况，决定第二年将这种电子产品每件的销售价格x(元)定在8元以上(x8)，当第二年的年利润不低于103万元时，请结合年利润z(万元)与销售价格x(元/件)的函数示意图，求销售价格x(元/件)的取值范围思路分析 (1)求y(万件)与x(元/件)之间的函数关系式，结合图象，是一个分段函数，已知点坐标，运用待定系数法可求；(2)根据“年利润年销售量每件的利润成本(160万元)”，可求出年利润z(万元)与x(元/件)之间的函数关系式，但要注意的是和第(1)问一样是分段函数，根据每段的函数特征分别求出最大值，再比较这两个数值的大小，从而确定第一年的年利润的最大值；(3)根据条件“第二年的年利润不低于103万元”，可得z103，这是一个一元二次不等式，题目提示观察年利润z(万元)与销售价格x(元/件)的函数示意图，从而得出结果技法点拨 二次函数在销售问题中的应用有以下两种常考类型：(1)单纯二次函数的实际应用；(2)与一次函数结合的实际应用出题形式有三种：(1)以某种产品的销售为背景；(2)以公司的工作业绩为背景；(3)以某公司装修所需材料为背景设问方式主要有：(1)列函数关系式并求值；(2)求最优解；(3)求最大利润及利润最大时自变量的值；(4)求最小值；(5)选择最优方案类型类型3 3 二次函数在面积问题中的应用二次函数在面积问题中的应用【例3】2017潍坊中考工人师傅用一块长为10dm，宽为6dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形(厚度不计)(1)在图中画出裁剪示意图，用实线表示裁剪线，虚线表示折痕；并求长方体底面面积为12dm2时，裁掉的正方形边长多大？(2)若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的五倍，并将容器进行防锈处理，侧面每平方分米的费用为0.5元，底面每平方分米的费用为2元，裁掉的正方形边长多大时，总费用最低，最低为多少？思路分析 (1)矩形四角裁去的四个同样大小的小正方形画成实线，内部的四个顶点用虚线顺次连接，即得裁剪示意图；设裁掉的正方形的边长为xdm，表示长方体底面的两边长，再利用面积公式构建一元二次方程求解；(2)利用长不大于宽的5倍，构建一元一次不等式确定裁掉的正方形的边长x(dm)的取值范围，然后设总费用为w(元)，根据题设条件列出w(元)与x(dm)的二次函数解析式，利用二次函数的最值解决该实际问题解：(1)如图所示设裁掉的正方形的边长为xcm，由题意，得(102x)(62x)12，即x28x120，解得x12，或x26(舍去)裁掉的正方形边长为2dm，底面积为12dm2.(2)长不大于宽的5倍，102x5(62x)，解得x2.5.x0，0 x2.5.设总费用为w，由题意可知，w0.52x(164x)2(102x)(62x)4x248x1204(x6)224.对称轴为x6，开口向上，当0 x2.5时，w随x的增大而减小，当x2.5时，wmin25元当裁掉边长为2.5dm的正方形时，总费用最低，为25元类型类型4 4 灵活选用适当的函数模型灵活选用适当的函数模型【例4】2017成都中考随着地铁和共享单车的发展，“地铁单车”已成为很多市民出行的选择，李华从文化宫站出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的A，B，C，D，E中的某一站出地铁，再骑共享单车回家，设他出地铁的站点与文化宫距离为x(单位：千米)，乘坐地铁的时间y1(单位：分钟)是关于x的一次函数，其关系如下表：(1)求y1关于x的函数表达式；(2)李华骑单车的时间(单位：分钟)也受x的影响，其关系可以用y2 x211x78来描述，请问：李华应选择在哪一站出地铁，才能使他从文化宫回到家里所需的时间最短？并求出最短时间地铁站地铁站ABCDEx(千米千米)891011.513y1(分钟分钟)1820222528自主解答：(1)设乘坐地铁的时间y1关于x的一次函数表达式为y1kxb，把x8，y118；x10，y122代入， y1关于x的函数表达式是y12x2.(2)设从文化宫到家里所需的时间为y，则yy1y2，当x9时，y最小李华选择从B地铁口出站，才能使他从文化宫到家里所需的时间最短为 分钟六年真题六年真题全练全练命题点命题点二次函数的实际应用二次函数的实际应用考向一增长率问题考向一增长率问题12014安徽，12,5分某厂今年一月份新产品的研发资金为a元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年三月份新产品的研发资金y(元)关于x的函数关系为y .a(1x)2由一月份的研发资金为a元且增长率为x，可得二月份研发资金为a(1x)元，三月份的研发资金为ya(1x)(1x)，即ya(1x)2.二次函数的应用注重多个知识点的综合考查以及对学生应用二次函数解决实际问题能力的考查在近6年安徽中考中，本节命题难度较大，考查的重点是二次函数的实际应用问题，题型以解答题为主22012安徽，23,14分如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式ya(x6)2h.已知球网与点O的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距点O的水平距离为18m.(1)当h2.6时，求y与x的关系式；(2)当h2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；(3)若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围考向二抛物线型问题考向二抛物线型问题得分要领 抛物线型实际问题的解题步骤(1)建立平面直角坐标系：如果题目没有给出平面直角坐标系，则根据题意，建立恰当的坐标系，建系的原则一般是把顶点作为坐标原点(2)设函数表达式：根据所建立的坐标系，设出表达式(3)求表达式：依据实际问题中的线段的长，确定某些关键点的坐标，代入函数表达式，求出系数，确定函数表达式(4)解决实际问题：把问题转化为已知抛物线上点的横坐标(或纵坐标)，求其纵坐标(或横坐标)，再转化为线段的长，解决实际问题考向三几何结合型问题考向三几何结合型问题32015安徽，22,12分为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边，用总长为80m的围网在水库中围成了如图所示的三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2.(1)求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；(2)x为何值时，y有最大值？最大值是多少？考向四最大利润问题考向四最大利润问题42017安徽，22,12分某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元经市场调查，每天的销售量y(千克)与每千克售价x(元)满足一次函数关系，部分数据如下表：(1)求y与x之间的函数表达式；(2)设商品每天的总利润为W(元)，求W与x之间的函数表达式(利润收入成本)；(3)试说明(2)中总利润W随售价x的变化而变化的情况，并指出售价为多少元时获得最大利润，最大利润是多少？售价售价x(元元/千克千克)506070销售量销售量y(千克千克)1008060解：(1)根据题意，设ykxb，由表中的数据，得所以y2x200(40 x80)(2)根据题意，得Wy(x40)(2x200)(x40)2x2280 x8000(40 x80)(3)由(2)可知，W2(x70)21800，因为a20，所以当售价x在满足40 x70的范围内，利润W随着x的增大而增大；当售价在满足70 x80的范围内，利润W随着x的增大而减小所以当x70时，利润W取得最大值，最大利润为1800元52013安徽，22,12分某大学生利用暑假40天社会实践参与了一家网店的经营，了解到一种成本为20元/件的新型商品在第x天销售的相关信息如下表所示.(1)请计算第几天该商品的销售单价为35元/件？(2)求该网店第x天获得的利润y关于x的函数关系式；(3)这40天中，该网店第几天获得的利润最大？最大利润是多少？得分要领 (1)利用二次函数解决实际生活中的利润问题，应理清变量所表示的实际意义，注意隐含条件的使用，同时考虑问题要周全，此类问题一般是运用“总利润总售价总成本”或“总利润每件商品所获利润销售数量”，建立利润与价格之间的函数关系式；(2)最值：若函数的对称轴在自变量的取值范围内，顶点坐标即为其最值，若顶点坐标不是其最值，那么最值可能为自变量两端点的函数值；若函数的对称轴不在自变量的取值范围内，可根据函数的增减性求解，再结合两端点的函数值对比，从而求解出最值
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