专题01 数列的概念及性质(解析版)

专题01数列的概念及性质1. 数列的定义按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.2. 数列的分类分类标准名称含义按项的个数有穷数列项数有限的数列无穷数列项数无限的数列按项的变化趋势递增数列从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列，即递减数列从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列，即常数列各项都相等的数列，即汁周期数列项呈现周期性变化摆动数列从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项3. 数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法.(1) 列举法：。1，。2，。3，；(2) 图像法：数列可用一群孤立的点表示；(3) 解析法(公式法)：通项公式或递推公式.4. 数列的通项公式如果数列。的第项与它的序号之间的关系可以用一个公式an=M来表示，那么这个公式叫作这个数列的通项公式.通项公式可以看成数列的函数解析式.5. 数列的递推公式如果己知数列的首项(或前几项)，且任意一项与们一(或其前面的项)之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫作数列的递推公式.它是数列的一种表示法.注：并不是所有的数列都有通项公式，即使有通项公式也未必唯一.6. 数列的通项,与前项和S”的关系伽=1),己知数列。的前项和，则= L这个关系式对任意数列均成立.S一 1(N2)7. 数列与函数的内在联系从映射、函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整数集N+的函数，即当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，而数列的通项公式也就是相应函数的解析式.考点一由数列前几项求数列通项公式【基本方法】由数列前几项求数列通项公式的常用方法及具体策略(1) 常用方法:1 3。0,4. 答案 D 解析 由题意，知“vqvI,解得普vo。7一7,(2。一 l)x+4(xWl),5. 已知/U)= r数列q(N*)满足。=/3),且。是递增数列，则1的取值范围是()A. (1, +8)B. G， +8)c. (1, 3)D. (3, +8)5. 答案 D 解析 因为。是递增数列，所以解得。3,则。的取值范围是(3, +8).屏2。一 1+4,6. 已知07=/?+如，且对于任意的GN*,数列。是递增数列，则实数2的取值范围是.6. 答案(一3, +oo)解析 因为。是递增数列，所以对任意的仁N*,都有。+1如 即(n+l)2+A(n+ 1)/?+Ah,整理，得2+1+义0,即人(2+1)(*),因为它1,所以一(2n+1)3.7. 在数列“中，a=a,缶+1=2。一1,若缶为递增数列,则。的取值范围为()A. q0B. a 1C. a2D. a37.答案B解析.q+i=2q一1。+1一 1=2（。一 1）,.7=2,又Vtzil=a1,.数列亿一1是首项为a-l9公比为2的等比数列，.0l1=(qT)2I .。=(。一1)2一1 + 1,又9：anJ递增数列，.如+1=（。一1）2一（。一1）2一|=%1）20, 310, :.alf 故选 B.k8.已知数列。的通项公式为七卜，若数列。为递减数列，则实数k的取值范围为(A. (3, +8)B. (2, +8)C. (1, +8)D. (0, +8)3 n I 3 -1- k 3 77 k 3 3 k8. 答案D解析(单调性)因为SHF* 2川七E ，由数列WJ为递减数列知，对3 3nk任意an+an= 顶一j 3_3n对任意恒成立，所以化仁(0, + ).观察（观察规律）、比较（比较已知数列）、归纳、转化（转化为特殊数列）、联想（联想常见的数列）等方法.同时也可以使用添项、还原、分割等方法，转化为一个常见数列，通过常见数列的通项公式求得所给数列的通项公式.（2）具体策略： 分式中分子、分母的特征； 相邻项的变化特征，如递增时可考虑关于为一次递增或以2，3等形式递增； 拆项后的特征； 各项的符号特征和绝对值的特征； 化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系; 对于符号交替出现的情况，可用（一1）或（一1）*1,任N*来处理.【基本题型】例1数列S，寸,而，如，的一个通项公式答案 寸物1解析 因为7 3=117=15 11=4,即福+1一冶=4,所以况=3 + （一l）x4=4一1,所以。=寸4一1.（2）数列一&, 3，一我，的一个通项公式答案（T胃搭）解析 这个数列前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式为（3）已知数列1, 2,寸,而,寸日，则2、在这个数列中的项数是（）A. 16B. 24C. 26D. 28答案 C 解析 因为。| = 1=寸1，。2=2=寸5,。3=寸,。4=寸15, Q5=V，所以寸3一2.令缶=.3n-2 = 2而=阵,解得=26.2(4)数列3,一音，的第io项是（c -1?_22D. _23答案C 解析 所给数列呈现分数形式，且正负相间，求通项公式时，我们可以把每一部分进行分2 l/202+1故血）=-五（5）根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式。=解：符号、分母、分子.很容易归纳出数列。的通项公式。=（1）+L1116答案 5/24 解析 由 qi = 1=5x14, 02=6 = 5x24, 03=11=5x34,，归纳 an=5n4.(6)某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图(1), (2), (3), (4)为最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮.现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第个图形包含犬)个小正方形，则犬6)=.(1)(2)(3)答案 61 解析 /(1)=1=2X1 X0+l,/(2)= 1+3+1 =2X2X1+ 1,月3)=1+3+5 + 3+1 =2X3X2+ 1,./(4)= 1+34-5 + 7 + 5 + 3+1=2X4X3+1,故只)=2(一 1)+1.当 n=6 时，卜6)=2X6X5 + 1=61 .【对点精练】2 4 61. 数列0, p茶的一个通项公式为1. 答案咨2. 已知数列曲为-* 焉 一H，爵,，则数列的一个通项公式是232. 答案q=(1).f厂 解析 各项的分母分别为2】,22, 23, 24,，易看出从第2项起，每一项的分子都比分母少3,且第1项可变为一号21 3,故原数列可变为一克广22323 3 24-3222一3故其通项公式可以为。=(1)顶3. 在数列 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, x, 34, 55,.中，x应取()D. 22A. 19B. 20C. 213. 答案 C 解析 。1 = 1,。2=1，。3 = 2,.0?+2=。+1x=8+13 = 21.故 C.4. 已知数列书,2”，则2寿是该数列的()A.第5项B.第6项C.第7项D.第8项4. 答案C解析 由数列炬，书,2,.的前三项吏,姬可知，数列的通项公式为寸2+3(_ 1)=寸3_ ,由-3皿1 =2山,可得=7.故选C.5. 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数.他们研究过如图所示的三角形数: 1361()将三角形数1, 3, 6, 10,记为数列,则数列。的通项公式为5.答案业三。解析 由图可知。,土一。=+1,切=1,由累加法可得。一丝旦6. 把1, 3, 6, 10, 15,.这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的圆点可以排成一个正三角形(如图所示). ，、1361015则第7个三角形数是（）A. 27B. 28C. 29D. 306.答案B 解析 观察三角形数的增长规律，可以发现每一项比它的前一项多的点数正好是该项的序号，即。=。一+ （花2）.所以第7个三角形数是。7 =绵+7 =。5+6+7=15 + 6+7 = 28.故选B.考点二数列的周期性【基本知识】周期数列：对于数列缶,如果存在一个常数7,使得对任意的正整数，恒有成立，则称数列。是周期为r的周期数列.周期数列的常见形式：（1）。+1=们+。+2（住N*）； （2）如=脆+2（住时）；（3）g+i=7（6N*）； （4）s+ |=头久（0； （5）三角函数型；【基本方法】解决数列周期性问题的方法：根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求有关项的值或者前n项的和.【基本题型】例2己知数列修,若“+i=q+u+2（6N*）,则称数列做为“凸数列.己知数列勾为“凸数列”，且。1 = 1, Z?2=2,则妇的前2 022项的和为（）A. 0B. 1C. -5D. -1答案 A 解析.。+2 =。+1勿，。1 = 1,。2=2, ./?3 =。2 。1 = 21 = 3, 84 = 83 2= 1,。5 =力4 。3= 1（ 3） = 2,。6 =人5 人4 = 2 （一 1） = 3,。7 =。6 。5 = 3 2= 1 . /?是周期为 6 的周期数列，且 $6= 1 2 31 +2 + 3 = 0. $2 022 = $337X6 = 0.（2）已知数列中，。1 = 1, 6/2 = 2,且 Q*Z+2 = S+1（6N*）,则。2022 的值为（）A. 2B. 1C. D. 答案 C 解析 0?0?+2 = 0rH（EN*）,由（21 = 1,。2 = 2,得 0时，咛1。数列。是单调递增数列;VI。数列修是单调递减数列;=10 数列%?是常数列.。1。数列。是单调递减数列;Cln0” n “数列，是递增数列”一. 0”是“数列，是递增数列”的充分条件.如数列。为一1, 1, 3, 5, 7, 9,显然数列S是递增数列，但是q不一定大于零，还有可能小于零，.“数列&是递增数列不能推出 00.是“数列&是递增数列”的不必要条件.是“数列是递增数列的充分不必要条件.己知数列。的通项篇长色，b,。都是正实数）,则q与的大小关系是（).AQ+iB.C cifi 1D不目匕确 7E答案B解析。=渣=土，*=3是减函数，=、是增函数，膈V0*.b+nb+n己知数列修的通项公式是点7,那么这个数列是（）A.递增数列B.递减数列C.摆动数列D.常数列答案 A 解析。+】一。=3+43+1=（3+1）（3+4），选 A（4）（多选）已知数列亿的前项和为S，且满足o+4StS=0（W2）,qi=,则下列说法正确的是（）A.数列的前n项和为&=土B. 数列曲的通项公式为。=4（；+i）C. 数列。为递增数列D. 数列，*，为递增数列答案 AD 解析 .&+4SS=0（W2）,.S一Si+4SiS=0（W2）.又 S#0,故一白=4（花2）,即数列弟是首项为志=4,公差为d=4的等差数列，且数列也是递增数列，.*=4+4（一 1）=4，即 &=集，故 A, D 正确；又当 n2 时，q=S_S_1 =如_4（_）= _4（ 1），且 71=4,故“=1，7,a的取值范围是（）9-4zfXJZ3XJ33 tz0,答案 D 解析结合函数的单调性，要使数列亿递增，则应有。1,、。7 = （3 一。）乂7 3。8 = / 6,得2aS，即，+1 &=。+10,.。+1 =2(+1)+久0,则 42n2.又 n7,.一2n2 16.若q=2+如+4且对于作N*,都有成立，则实数k的取值范围是答案（一3, +oo）解析 由知该数列是一个递增数列，又.通项公式07=W +如+4, .（+ 1)2+人(+1)+42+如+4,即 k_l_2,又N*, 3.1.【对点精练】对于数列。, “。*|扇（=1, 2,）”是“曲为递增数列”的（ ）A.必要不充分条件B.充分不必要条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件1.答案 B 解析 当an+afl（n=U 2,）时，为递增数列.当。为递增数列时，若该数列为一2, 0, 1,则。2届|不成立,即知：。+1|&（=1, 2,）不一定成立.综上2.知,“。+|0|（=1, 2,）”是“亿为递增数列”的充分不必要条件.备,则0出）在数列%?中，anA.是常数列B.不是单调数列C.是递增数列D.是递减数列2.3.*=i+寿，由反比例函数的性质得。是递减数列.（多选）下面四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是（）答案 D 解析 在数列中,A 1 1 1 1 . 12 3 4 n八 .兀 .2兀 .3兀.兀B. siny, smsin ,sin八V11112481FF，D. 1,皿，寸，yjTi,4.已知数列。满足an(1 一3q)+ 107, 6,n朗+|,则实数。3.答案CD解析选项C, D既是无穷数列又是递增数列.的取值范围是（）A.B.C.D.