九年级数学9.2 图形与变换

知识结构：知识结构：考点考点1: 1: 轴对称与中心对称轴对称与中心对称考点考点2: 2: 平移与旋转平移与旋转考点考点3: 3: 图形的放大与缩小图形的放大与缩小轴对称：两个图形沿一条直线折叠后能够完全轴对称：两个图形沿一条直线折叠后能够完全重合，则这两个图形成轴对称，这条直线叫对称轴。重合，则这两个图形成轴对称，这条直线叫对称轴。如果一个图形沿某条直线对折后，直线两如果一个图形沿某条直线对折后，直线两旁部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对旁部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形。这条直线叫对称轴。称图形。这条直线叫对称轴。考点考点1: 1: 轴对称与中心对称轴对称与中心对称(1)(1)轴对称概念轴对称概念: :两个图形全等两个图形全等. .对称轴垂直平分两个对应点所连的线段对称轴垂直平分两个对应点所连的线段.两个对应点所连的线段平行两个对应点所连的线段平行( (或相交或相交).).(2).(2).轴对称性质：轴对称性质：(3).(3).常见常见轴对称图形填表：轴对称图形填表：图形图形对称轴对称轴相关性质相关性质角角角平分线所在的直线角平分线上的点到这个角的两边的距离相等线段线段线段所在的直线和线段的垂直平分线线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等等腰三角形等腰三角形等边三角形等边三角形正方形正方形矩形矩形菱形菱形等腰梯形等腰梯形圆圆把一个图形绕着某个点旋转把一个图形绕着某个点旋转180180后，如果后，如果它能够和另一个图形重合，那么这两个图形成它能够和另一个图形重合，那么这两个图形成中心对称，这个点叫对称中心。中心对称，这个点叫对称中心。2.(1)中心对称的概念中心对称的概念如果一个图形绕一个点旋转如果一个图形绕一个点旋转1801800 0后，与原来后，与原来的图形能够互相重合，那么这个图形叫做中心的图形能够互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形对称图形, ,这个点叫做对称中心这个点叫做对称中心. .两个图形全等两个图形全等. .对称中心平分两个对应点所连的线段对称中心平分两个对应点所连的线段. .(2).(2).中中心对称的性质：心对称的性质：(3).(3).常见常见中心对称图形填表：中心对称图形填表：图形图形对称中心对称中心相关性质相关性质线段线段线段的中点中点分这条线段为两条相等的线段平行四边形平行四边形矩形矩形菱形菱形正方形正方形圆圆3.坐标平面内的点的对称坐标平面内的点的对称:(1)P(a , b)关于关于x轴对称的点的坐标为轴对称的点的坐标为(a , -b)即即横坐标不变，纵坐标互为相反数横坐标不变，纵坐标互为相反数. ()P(a , b)关于关于y轴对称的点的坐标为轴对称的点的坐标为(- a , b)即即纵坐标不变，横坐标互为相反数纵坐标不变，横坐标互为相反数. (3)P(a , b)关于关于原点原点对称的点的坐标为对称的点的坐标为(- a , -b)即横坐标、纵坐标分别互为相反数即横坐标、纵坐标分别互为相反数.例例1.(1)下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是称图形的是( )( )A B C DB(2)(2)如图，如图，P P为平行四边形为平行四边形ABCDABCD的对称中心，以的对称中心，以P P为圆心作圆，过为圆心作圆，过P P的任意直线与圆相交于点的任意直线与圆相交于点M M、N N. . 则线段则线段BMBM、DNDN的大小关系是的大小关系是( )( )A. BMDN B. BMDN B. BMDN C. BM=DN D. 无法确定无法确定ABCDPNMC考点考点2: 2: 平移与旋转平移与旋转(1).坐标平面内点的平移：坐标平面内点的平移：P(x , y)向右平移向右平移a个单位个单位P(x+a , y)P(x , y)向左平移向左平移a个单位个单位P(xa , y)P(x , y)向上平移向上平移b个单位个单位P(x , y+b)P(x , y)向下平移向下平移b个单位个单位P(x, yb )(2).图形的平移：图形的平移：如果一个图形沿着一定的方向由一个位置平如果一个图形沿着一定的方向由一个位置平移到另一个位置的运动叫图形的平移移到另一个位置的运动叫图形的平移. 平移两要点平移两要点:平移的方向和距离平移的方向和距离.性质：性质：A.平移不改变图形的形状和大小平移不改变图形的形状和大小(即平移前后即平移前后的两个图形全等的两个图形全等).B.平移后的图形与原来的图形的对应线段平行平移后的图形与原来的图形的对应线段平行且相等且相等,对应点的连线平行且相等对应点的连线平行且相等. (3).(3).图形的旋转：图形的旋转：如果一个图形绕某一点如果一个图形绕某一点O O沿某一个方向转动一沿某一个方向转动一个角度个角度, ,这样的图形运动称为旋转这样的图形运动称为旋转. . 点点O O为旋为旋转中心转中心, ,转动的角度称为旋转角转动的角度称为旋转角. . 旋转三要点旋转三要点: :旋转中心旋转中心, ,旋转方向旋转方向, ,旋转角度旋转角度. .性质：性质：A.A.旋转不改变图形的形状和大小旋转不改变图形的形状和大小( (即旋转前后的即旋转前后的两个图形全等两个图形全等).).B.B.任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等彼此相等( (都是旋转角都是旋转角).).C.C.经过旋转经过旋转, ,对应点到旋转中心的距离相等对应点到旋转中心的距离相等. . 例例2.2.如图，已知如图，已知ABC:ABC:（1 1） ACAC的长等于的长等于_（2 2）若将）若将ABCABC向右平移向右平移2 2个个单位得到单位得到A AB BC C, ,则则A A点点的对应点的对应点AA的坐标是的坐标是_； （3 3） 若将若将ABCABC绕点绕点C C按顺按顺时针方向旋转时针方向旋转9090后得到后得到 A A1 1B B1 1C C1 1，则，则A A点对应点点对应点A A1 1的坐的坐标是标是_ 10（1，2） （3，0） 1.(2007江苏泰州江苏泰州)在在22的正方形格纸中，的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的有一个以格点为顶点的ABC，请你找，请你找出格纸中所有与出格纸中所有与ABC成轴对称且也以成轴对称且也以格点为顶点的三角形，这样的三角形共有格点为顶点的三角形，这样的三角形共有（ ）个。）个。ACB3做一做做一做2.(2007广东梅州广东梅州)观察下面图案，在观察下面图案，在A，B，C，D四幅图案中，能通过图案（四幅图案中，能通过图案（1）平移得到的是）平移得到的是（ ）ABCD（1）C做一做做一做3.(2007广东梅州广东梅州)如图，已知如图，已知BC为等腰三角形纸为等腰三角形纸片片ABC的底边，的底边，ADBC，BAC90将此将此三角形纸片沿三角形纸片沿AD剪开，得到两个三角形，若把这剪开，得到两个三角形，若把这两个三角形拼成一个平面四边形，则能拼出中心两个三角形拼成一个平面四边形，则能拼出中心对称图形对称图形 个个3做一做做一做4.(2007湖北十堰湖北十堰)下列图形中，下列图形中，ABC与与ABC关于直线关于直线MN成轴对称的是（成轴对称的是（ ）。）。AAAAABBBBBCCCCCOMOCACCCBAAABBBMMMNNNNDB5.(2007山东青岛)如图，ABC的顶点坐标分别为A ( 3，6 )，B ( 1，3 )，C ( 4，2 ) 如果将ABC绕C点顺时针旋转90 ，得到ABC，那么点A的对应点A 的坐标为（ ）.AB8，36.(2007湖南株洲湖南株洲) 、如、如图，将边长为图，将边长为 的正方的正方形形ABCD绕点绕点A逆时针方逆时针方向旋转向旋转30后得到正方后得到正方形形ABC D ，则图中，则图中阴影部分面积为阴影部分面积为 _平方单位平方单位.3DABC EC D B做一做做一做解析：由题意知：解析：由题意知：EAB=60ADERtEBARt133330tan0ADDE33. 3) 1321(21阴影四边形SSADEB做一做做一做DABC EC D B7.(2007浙江杭州) 如图，用放大镜将图形放大，应该属于（ ）A.相似变换 B.平移变换 C.对称变换 D.旋转变换 8.(2007)如图所示，将长为20cm，宽为2cm的长方形白纸条，折成图所示的图形并在其一面着色，则着色部分的面积为（ ）AA BC D234cm236cm238cm240cmB解析：只要在方格内添的二个正方形使整个解析：只要在方格内添的二个正方形使整个图形是对称图形。图形是对称图形。方法一方法一方法二方法二方法三方法三方法四方法四8.(20078.(2007广东茂名广东茂名) )如图，阴影部分是由如图，阴影部分是由5 5个小正个小正方形组成的一个直角图形，请用二种方法分别在方形组成的一个直角图形，请用二种方法分别在下图方格内添涂黑二个小正方形，使它们成为轴下图方格内添涂黑二个小正方形，使它们成为轴对称图形对称图形 方法一方法一方法二方法二9.9.如图，在平面直角坐标系中，点如图，在平面直角坐标系中，点A A、B B、C C、P P的坐标分别为的坐标分别为（0，2），（），（3，2），（），（2，3），（），（1，1）（1）请在图中画出）请在图中画出ABC，使得，使得ABC与与ABC关于关于点点P成中心对称；成中心对称；（2）若一个二次函数的图象经过（）若一个二次函数的图象经过（1）中的）中的ABC三个顶三个顶点，求此二次函数的关系式点，求此二次函数的关系式xOyACBPxOyACBPBCA(2 0) ( 10) (01)， ，211122yxx（2 2）由（）由（1 1）知，点）知，点A A、B B、C C的坐标分别为的坐标分别为所求二次函数关系式为所求二次函数关系式为（1 1）10、（、（2007浙江义鸟）如图浙江义鸟）如图1，小明将一张矩形纸片沿，小明将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片（如图对角线剪开，得到两张三角形纸片（如图2），量得他们的），量得他们的斜边长为斜边长为10cm，较小锐角为，较小锐角为30，再将这两张三角纸片摆，再将这两张三角纸片摆成如图成如图3的形状，但点的形状，但点B、C、F、D在同一条直线上，且点在同一条直线上，且点C与点与点F重合（在图重合（在图3至图至图6中统一用中统一用F表示）表示） 图图1图图2图图3小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题，请你帮助解决。题，请你帮助解决。（1）将图）将图3中的中的ABF沿沿BD向右平移到图向右平移到图4的位置，使点的位置，使点B与点与点F 重合，请你求出平移的距离；重合，请你求出平移的距离； （1）将图）将图3中的中的ABF沿沿BD向右平移到图向右平移到图4的位置，使点的位置，使点B与点与点F 重合，请你求出平移的距离；重合，请你求出平移的距离； （2）将图）将图3中的中的ABF绕点绕点F顺时针方向旋转顺时针方向旋转30到图到图5的的位置，位置，A1F交交DE于点于点G，请你求出线段，请你求出线段FG的长度；的长度；（3）将图）将图3中的中的ABF沿直线沿直线AF翻折到图翻折到图6的位置，的位置，AB1交交DE于点于点H，请证明：，请证明：AHDH图图1图图2图图3图图4图图5图图6考点考点3: 3: 图形的放大与缩小图形的放大与缩小( () )位似图形：位似图形：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫位似图形，这个点叫位么这样的两个图形叫位似图形，这个点叫位似中心，这时的相似比又叫位似比似中心，这时的相似比又叫位似比（）图形的放大与缩小：（）图形的放大与缩小： 利用位似可以将一个图形放大或缩小若干倍，利用位似可以将一个图形放大或缩小若干倍，其位似中心的位置不是固定的，它可以放在其位似中心的位置不是固定的，它可以放在图形的内部，也可以放在图形的外部，还可图形的内部，也可以放在图形的外部，还可以放在图形的某一边上或放在顶点处以放在图形的某一边上或放在顶点处xy例例3 如图，方格纸中有一条美丽可爱的小金鱼如图，方格纸中有一条美丽可爱的小金鱼 （1）在同一方格纸中，画出将小金鱼图案绕原点）在同一方格纸中，画出将小金鱼图案绕原点O旋转旋转180后得到的图案；后得到的图案；（2）在同一方格纸中，并在）在同一方格纸中，并在y轴的右侧，将原小轴的右侧，将原小金鱼图案以原点金鱼图案以原点O为位似中心放大，使它们的位似为位似中心放大，使它们的位似比为比为1：2，画出放大后小金鱼的图案，画出放大后小金鱼的图案 xyxyxy-2-22-5-5B BC CO11.如图,已知O是坐标原点,B、C两点的坐标分别为(3，-1)、(2,1) (1)以0点为位似中心在y轴的左侧将OBC放大到两倍(即新图与原图的相似比为2:1),画出图形；(2)分别写出B、C两点的对应点B、C的坐标；(3)如果OBC内部一点M的坐标为(x，y),写出M的对应点M的坐标BC做一做做一做xy-2-22-5-5B BC CO11.如图,已知O是坐标原点,B、C两点的坐标分别为(3，-1)、(2,1) (1)以0点为位似中心在y轴的左侧将OBC放大到两倍(即新图与原图的相似比为2:1),画出图形；(2)分别写出B、C两点的对应点B、C的坐标；(3)如果OBC内部一点M的坐标为(x，y),写出M的对应点M的坐标(2) B(-6,2)，C(-4,-2) (3) M(-2x-2y) BC