01集合的概念及运算01集合的概念及运算

1.集合与元素集合与元素2.集合的分类集合的分类一、集合的基本概念及表示方法一、集合的基本概念及表示方法 某些指定的对象集在一起就成为一个集合某些指定的对象集在一起就成为一个集合, 简称集简称集, 通常通常用大写字母用大写字母A, B, C, 表示表示. 集合中的每个对象叫做这个集合集合中的每个对象叫做这个集合的元素的元素, 通常用小写字母通常用小写字母a, b, c, 表示表示. 集合按元素多少可分为集合按元素多少可分为: 有限集有限集( (元素个数有限元素个数有限) )、无限集、无限集 ( (元素个数无限元素个数无限) )、空集、空集( (不含任何元素不含任何元素) ); 也可按元素的属性分也可按元素的属性分, 如如: 数集数集( (元素是数元素是数) ), 点集点集( (元素是点元素是点) )等等.3.集合中元素的性质集合中元素的性质 4.集合的表示方法集合的表示方法 对于一个给定的集合对于一个给定的集合, 它的元素具有确定性、互异性、无它的元素具有确定性、互异性、无序性序性.列举法；列举法；描述法；描述法；图示法；图示法；区间法；区间法；字母法字母法. 二、元素与集合、集合与集合之间的关系二、元素与集合、集合与集合之间的关系 如果对任一如果对任一xA, 都有都有xB, 则称集合则称集合A是集合是集合B的的子集子集, 记作记作A B 或或 B A.1.元素与集合之间的关系元素与集合之间的关系 元素与集合之间用元素与集合之间用“”或或“ ( (或或) )”连接连接; 元素与集合之间是个体与整体的关系元素与集合之间是个体与整体的关系, 不存在大小与相等不存在大小与相等关系关系.2.集合与集合之间的关系集合与集合之间的关系(1)包含关系：包含关系：显然显然A A, A. 对于集合对于集合A、B, 如果如果A B, 同时同时A B, 那么称集合那么称集合A等于集等于集合合 B, 记作记作 A=B. (2)相等关系：相等关系：(3)真包含关系：真包含关系： 对于集合对于集合A、B, 如果如果A B, 并且并且A B, 我们就说集合我们就说集合A 是是集合集合 B 的的真子集真子集, 记作记作 A B . 空集是任何非空集合的真子集空集是任何非空集合的真子集.显然显然, 若若A, 则则 A. 即即:(4)集合的运算集合的运算 交集交集: 由所有属于集合由所有属于集合A且属于集合且属于集合B的元素组成的集合的元素组成的集合叫做集合叫做集合 A 与与 B 的的交集交集, 记作记作AB, 即即 AB=x | xA, 且且xB. 并集并集: 由所有属于集合由所有属于集合A或属于集合或属于集合B的元素组成的集合的元素组成的集合叫做集合叫做集合 A 与与 B 的的并集并集, 记作记作AB, 即即 AB=x | xA, 或或 xB. 补集补集: 设设 S 是一个集合是一个集合, A 是是 S 的一个子集的一个子集( (即即A S) ), 由由S 中所有不属于中所有不属于 A 的元素组成的集合的元素组成的集合, 叫做叫做 S 中子集中子集 A 的的补集补集( (或或余集余集) ), 记作记作 C CsA, 即即 C CsA=x | xS, 且且 x A.注注: 集合与集合的关系特例集合与集合的关系特例: 设集合设集合A=1, 2, 3, B=x | x A, 则则 A B, B. 亦可亦可 B.三、集合之间的运算性质三、集合之间的运算性质Cs (AB)=(CsA)(CsB), Cs(AB)=(CsA)(CsB).1.交集的运算性质交集的运算性质AB=BA, AB A, AB B, AA=A, A=, A B AB=A.2.并集的运算性质并集的运算性质AB=BA, AB A, AB B, AA=A,A=A, A B AB=B.3.补集的运算的性质补集的运算的性质Cs(CsA)=A, Cs=S, CsS= A(CsA)=, A(CsA)=S, 设设S为全集为全集, A S, 则则: 四、有限集合的子集个数公式四、有限集合的子集个数公式 其中其中, 真子集有真子集有 2n - -1 个个, 非空子集有非空子集有 2n - -1 个个, 非空真子集有非空真子集有 2n - -2 个个.2.对任意的有限集合对任意的有限集合 A、B、C 有有: card(AB)=card(A)+card(B)- -card(AB); 1.设有限集合设有限集合 A 中有中有 n 个元素个元素, 则则 A 的子集有的子集有: Cn+Cn+Cn+Cn2n 个个.012ncard(ABC)=card(A)+card(B)+card(C)- -card(AB) - -card(BC)- -card(CA)+card(ABC). 1.已知全集为已知全集为 R, A=y | y=x2+2x+2, B=y | y=x2+2x- -8, 求求: (1) AB; (2) ACRB; (3) (CRA)(CRB). 评注评注 本题涉及集合的不同表示方法本题涉及集合的不同表示方法, 准确认识集合准确认识集合A、B是是解答本题的关键解答本题的关键. 对对(3)也可计算也可计算CR(AB).1, +)(-, - -9)1, +)(-, - -9) 2.已知集合已知集合A=x | x2- -x- -60, B=x | 0 x- -m9.(1)若若AB=B, 求实数求实数 m 的取值范围的取值范围;(2)若若AB , 求实数求实数 m 的取值范围的取值范围. 评注评注 (1)注意下面的等价关系注意下面的等价关系: AB=B A B; AB=A A B; (2)用用“数形结合思想数形结合思想”解题时解题时, 要特别注意要特别注意“端点端点”的取舍的取舍. - -6, - -2(- -11, 3)典型例题典型例题 评注评注 (1)本题将两集合之间的关系转化为本题将两集合之间的关系转化为两曲线之间的关系两曲线之间的关系, 然后用数形结合的思想然后用数形结合的思想求出求出 a 的范围的范围, 既快又准确既快又准确. 准确作出集合准确作出集合对应的图形是解答本题的关键对应的图形是解答本题的关键. (2)讨论两曲线的位置关系讨论两曲线的位置关系, 最常见的解法还有讨论其所对应最常见的解法还有讨论其所对应的方程组的解的情况的方程组的解的情况. 该题若用此法该题若用此法, 涉及解无理方程与无理涉及解无理方程与无理不等式不等式, 解起来较繁解起来较繁.xoy- -444- -4 3.已知集合已知集合 M=(x, y) | y= 16- -x2 , y 0, N=(x, y) | y=x+a, 若若MN=, 求实数求实数 a 的取值范围的取值范围. 评注评注 本题解答过程中本题解答过程中, 不断实施各种数学语言间的等价转不断实施各种数学语言间的等价转换脱去集合符号和抽象函数的换脱去集合符号和抽象函数的“外衣外衣”, 找出本质的数量关系找出本质的数量关系. 这是这是解答本题的解答本题的关键关键. 4.已知已知 f(x)=x2+px+q, 且集合且集合 A=x | f(x)=x, B=x | f f(x)=x. (1)求证求证: A B; (2)如果如果 A=- -1, 3, 求求 B.(-, - -4(4 2 , +)- - 3 , - -1, 3 , 3 课堂练习课堂练习 1.若若a, , 1=a2, a+b, 0, 则则 a2006+b2007= .ab2.若集合若集合 M=- -1, 1, 2, N=y | y=x2, xM, 则则 MN 是是 ( ) A. 1, 2, 4 B. 1 C. 1, 4 D. 1B 3.若集合若集合 M=12, a, 集合集合P=x | 0, xZ 且且 MP=0,记记 MP=S, 则集合则集合 S 的真子集个数是的真子集个数是 ( ) A. 8 B. 7 C. 16 D. 15 x - -2x+14.已知集合已知集合 S, M, N, P 如图所示如图所示, D 则图中阴影部分表示的集合则图中阴影部分表示的集合是是 ( )A. M(NP) B. MCs(NP) C. MCs(NP) D. MCs(NP)PMNSD 5.集合集合 P=x, 1, Q=y, 1, 2, 其中其中x, y1, 2, 9, 且且 P Q, 把满足上述条件的一对有序整数把满足上述条件的一对有序整数 (x, y) 作为一个点作为一个点, 这样的点的这样的点的个数是个数是 ( ) A. 9 B. 14 C. 15 D. 21B 6.已知已知 M=- -1, 0, 1, N=y | y=cosx, x M, 则则 MN 为为 ( ) A. - -1, 0, 1 B. 0, 1 C. 0 D. 1 D 7.集合集合 A 和和 B 各含各含 6 个元素个元素, AB含含 3 个元素个元素, C 同时满足三同时满足三个条件个条件: C AB; C 中含有中含有 3 个元素个元素; CA, 则这样则这样的集合的集合 C 的个数是的个数是 ( ) A. 82 B. 83 C. 84 D. 219BC 8.集合集合 M=a, 0, N=x | 2x2- -5x0, B=x|(x- -k)(x- -k- -1)0, 若若AB, 则则 k 的取值范围是的取值范围是 . 10.集合集合 M=m | m=2a- -1, a Z 与与 N=n | n=6b 1, b Z 之间的之间的 关系是关系是 . k2 N M (- -2, - -1)3 11.已知已知 R 为全集为全集, A=x | log (3- -x)- -2, B=x | 1, 求求CRAB.x +2521 12.调查调查 100 名有携带药品出国的旅游者名有携带药品出国的旅游者, 其中其中 75 人带有感冒人带有感冒药药, 80 人带有胃药人带有胃药, 那么既带感冒药又带胃药的人数的最大值那么既带感冒药又带胃药的人数的最大值和最小值分别为多少和最小值分别为多少? 解解: 设既带感冒药又带胃药的人数为设既带感冒药又带胃药的人数为 x, 既不带感冒药又不带既不带感冒药又不带胃药的人数为胃药的人数为 a. 记这记这100名出国旅游者组成全集名出国旅游者组成全集 I , 其中带感冒药的人组成集其中带感冒药的人组成集合合 A, 带胃药的人组成集合带胃药的人组成集合 B. 则则 x=card(AB) 且且 card(A)=75, card(B)=80, 依题意得依题意得:a+card(A)+card(B)- -x=100, 0a20. x=a+55, 0a20. 55x75. 故既带感冒药又带胃药的人数的最大值为故既带感冒药又带胃药的人数的最大值为 75, 最小值为最小值为 55. 13.已知函数已知函数 f(x)=ax2- -1, a R, x R, 设集合设集合 A=x | f(x)=x, 集集合合 B=x | ff(x)=x, 且且 A=B, 求实数求实数 a 的取值范围的取值范围. 由由 A=x | ax2- -x- -1=0, 得得 a- - .14对任一对任一 x0A, 必有必有 x0 B, A B; 又又 B 中元素为方程中元素为方程 a(ax2- -1)2- -1=x 即即 a3x4- -2a2x2- -x+a- -1=0 的实根的实根, 由由 A B 知知 a3x4- -2a2x2- -x+a- -1 含有因子含有因子 ax2- -x- -1. a3x4- -2a2x2- -x+a- -1=0 即为即为 (ax2- -x- -1)(a2x2+ax- -a+1)=0. A=B, a2x2+ax- -a+1=0 无实根或其实根为无实根或其实根为 ax2- -x- -1=0 的实根的实根.由由 a2x2+ax- -a+1=0 无实根得无实根得: a ;34当当 a2x2+ax- -a+1=0 有实根且为有实根且为 ax2- -x- -1=0 的实根时的实根时, ax2- -x- -10, ax2=x+1.a2x2+ax- -a+1=0 可化为可化为 a(x+1)+ax- -a+1=0, 解得解得 x=- - .12a代入代入 ax2- -x- -1=0, 得得: a= .34综上所述综上所述, 实数实数a 的取值范围是的取值范围是 - - , .341413.解解: