第三章---随机向量课件

第一节第一节 二维随机变量二维随机变量 一一.随机变量的定义随机变量的定义 随机向量主要用来描述用一维随机变量不能随机向量主要用来描述用一维随机变量不能完全刻划的随机现象。完全刻划的随机现象。例如，炼钢时，每炉钢含碳量，含硫量，硬度例如，炼钢时，每炉钢含碳量，含硫量，硬度三个指标组成的三维随机向量三个指标组成的三维随机向量；导弹的落点与目标之间的误差：由两个连续随导弹的落点与目标之间的误差：由两个连续随机变量组成的二维随机向量机变量组成的二维随机向量；以及更一般的多维随机向量以及更一般的多维随机向量。第一第一节节 二二维维随机随机变变量量 一一.1二维随机变量二维随机变量 如果如果 X、Y 都是定义在同一个样本空间中的都是定义在同一个样本空间中的随机变量随机变量，则它们构成的，则它们构成的向量向量(X,Y)就称为一个就称为一个二维随机变量。二维随机变量。随机变量随机变量(X,Y)的概率性质除了与每一个分量的概率性质除了与每一个分量有关外，还依赖于这两个分量之间的相互关系。有关外，还依赖于这两个分量之间的相互关系。二二维维随机随机变变量量 随机随机变变量量(X,Y)的概率性的概率性质质2二二.联合分布函数联合分布函数定义定义3.1.1 设设(X,Y)是二维随机变量，对于任意是二维随机变量，对于任意 的两个实数的两个实数 x、y，二元函数二元函数 F(x,y)=P X x,Y y 称为随机变量称为随机变量(X,Y)的分布函数，或者也称的分布函数，或者也称 随机变量随机变量 X、Y 的联合分布函数的联合分布函数1.联合分布函数的定义联合分布函数的定义 联合分布函数是对随机变量性质的完整刻划，联合分布函数是对随机变量性质的完整刻划，本质上是本质上是两个随机事件交事件的概率两个随机事件交事件的概率。二二.联联合分布函数定合分布函数定义义3.1.1 设设(X,Y3+o x1 x2 xyy2y12.利用联合分布函数计算概率利用联合分布函数计算概率 P x1 X x2,y1 Y y2 =F(x2,y2)+F(x1,y1)F(x1,y2)F(x2,y1)思考思考1 X x,Y y 的对立事件是否的对立事件是否 X x,Y y？思考思考2 从从 F(x,y)能不能计算出能不能计算出 P x1 X x2？+o x1 x24 n定理定理3.1.1(联合分布函数的性质联合分布函数的性质)设设F(x,y)是任是任一随机向量一随机向量(X,Y)的分布函数，则的分布函数，则 (1)(2)F(x,y)分别关于分别关于x及及y单调不减，即当单调不减，即当 时，时，,当当 ，(3)(4)F(x,y)对每个变元是右连续的对每个变元是右连续的 定理定理3.1.1(联联合分布函数的性合分布函数的性质质)设设F(x,y)是任是任5例例3.1.1 已知已知(X,Y)的联合分布函数是的联合分布函数是：x y,当当 0 x,y 1 x，当当 0 x 1，y 1 y，当当 0 y 1，x 1 1，当当 x 1，y 1 0，其它其它F(x,y)=问问 X、Y 至少有一个不大于至少有一个不大于 0.4 的概率。的概率。解解.分析，分析，要计算要计算 p=P (X 0.4)(Y 0.4)，利用加法公式，利用加法公式，p=P X 0.4 +P Y 0.4 P X 0.4Y 0.4 =F(0.4,+)+F(+,0.4)F(0.4,0.4)=0.4+0.4 0.40.4 =0.64 .例例3.1.1 已知已知(X,Y)的的联联合分布合分布6 三、二维离散型随机变量三、二维离散型随机变量 如果二维随机变量如果二维随机变量(X,Y)的每个分量的每个分量都是离散型随机变量都是离散型随机变量，则称，则称(X,Y)是一个是一个离散型二维随机离散型二维随机变变量。量。二维随机变量二维随机变量(X,Y)所有可能的取值是有限对或者无穷多对数所有可能的取值是有限对或者无穷多对数.三、二三、二维维离散型随机离散型随机变变量量 如果二如果二维维随机随机7 定义定义3.1.2 设二维离散型随机变量设二维离散型随机变量(X,Y)的可能的的可能的取值为取值为 且取这些值的概率为且取这些值的概率为 则称则称 为为(X,Y)的联合概率函数或联合分布律的联合概率函数或联合分布律（或联合分布）（或联合分布）1.离散随机向量的联合分布律离散随机向量的联合分布律 联合分布律实质上仍然是随机事件交事件的概率，联合分布律实质上仍然是随机事件交事件的概率，X=xi，i 1 与与 Y=yj，j 1 分别都是对分别都是对 样本空间的划分。样本空间的划分。定定义义3.1.2 设设二二维维离散型随机离散型随机变变量量(X,Y)的可能的的可能的1.82.二维联合分布律的表格形式二维联合分布律的表格形式 y1 yj x1 p11 p1j xi pi1 pij X Y3.联合分布律的两个性质联合分布律的两个性质(1)对任意的对任意的 i、j，都有都有 pi j 0,(2)2.二二维联维联合分布律的表格形式合分布律的表格形式 9 n一般地，若一般地，若(X,Y)是离散型的，有分布律是离散型的，有分布律 则对任一实数对（则对任一实数对（x,y），有），有(3)二维离散型随机向量的分布函数与概率分布的关二维离散型随机向量的分布函数与概率分布的关系系:(3)二二维维离散型随机向量的分布函数与概率分布的关系离散型随机向量的分布函数与概率分布的关系:10 例例3.1.1 p77例例1。例例3.1.1 p77例例1。11 四、四、二维连续型随机变量二维连续型随机变量 1.联合密度函数的定义联合密度函数的定义 定义定义3.1.3 对于二维随机变量对于二维随机变量(X,Y)，如果存在一个如果存在一个非负可积的函数非负可积的函数 f(x,y)，使得对任意的实数使得对任意的实数 x、y有有，则称则称(X,Y)为二维连续型随机变量，称为二维连续型随机变量，称f(x,y)为二维为二维连续型随机变量连续型随机变量(X,Y)的联合概率密度函数，简称概率的联合概率密度函数，简称概率密度密度。四、四、二二维连续维连续型随机型随机变变量量 1.联联合密度函数的定合密度函数的定义义 12(1)f(x,y)0 ；2.联合密度函数的基本性质联合密度函数的基本性质(3)如果联合密度函数在点如果联合密度函数在点(x,y)连续，则连续，则有有 f(x,y)=2 F(x,y)x y(4)假设假设 D 是平面上的任意一个区域，则点是平面上的任意一个区域，则点(X,Y)落在落在 D 内的概率，内的概率，(1)f(x,y)0 ；2.13o x yD f(x,y)o x yD f(x,y)14 例例3.1.2 设设(X,Y)的概率密度函数为的概率密度函数为 其中其中c是常数。是常数。(1)求常数求常数c；(2)计算计算P0X1,0Y0，若二维随机变量，若二维随机变量(X,Y)的概率密度函数为的概率密度函数为则称则称(X,Y)服从服从D上的上的(二维二维)均匀分布均匀分布.3.常常见见的二的二维连续维连续型随机型随机变变量量16 例例3.1.3 设设(X,Y)服从圆域服从圆域 上的均匀分布，上的均匀分布，计算计算 ，这里，这里A是图是图3.3.1中阴影部分中阴影部分的的区域。区域。例例3.1.3 设设(X,Y)服从服从圆圆域域 17 2）二维正态分布二维正态分布 定义定义3.1.4：若二维随机变量：若二维随机变量(X,Y)的密度函数为的密度函数为 则称则称(X,Y)服从参数为服从参数为 的二维正态分的二维正态分布布记为记为 。其中，。其中，2）二二维维正正态态分布分布18 4.n4.n维随机变量维随机变量n定义定义3.1.53.1.5：设：设 是定义在同一概率是定义在同一概率空间空间 上的上的n n个随机变量，则称个随机变量，则称是是n n维随机变量。维随机变量。nn n维随机变量维随机变量 的联合分布函数为的联合分布函数为 4.n维维随机随机变变量量19 n定义定义3.1.6 3.1.6 如果存在非负可积函数如果存在非负可积函数 ，使得使得,则称则称 是是n n维连续型随机变量维连续型随机变量.称为称为 的密度函数，或称为的密度函数，或称为 的联合的联合密度函数。密度函数。定定义义3.1.6 如果存在非如果存在非负负可可积积函数函数 20第二节第二节 边缘分布边缘分布 随机变量随机变量(X,Y)的两个分量的两个分量 X、Y 都是一维随机都是一维随机变量，它们变量，它们自身所具有的概率分布就称为是自身所具有的概率分布就称为是(X,Y)关关于于 X 与与Y 的边缘分布。的边缘分布。显然，边缘分布函数被联合分布函数唯一地确定显然，边缘分布函数被联合分布函数唯一地确定 FX(x)=F(x,+)，FY(y)=F(+,y)一一.边缘分布函数边缘分布函数第二第二节节 边缘边缘分布分布 随机随机变变量量(X,Y)的的21二二.二维离散随机变量的边缘分布二维离散随机变量的边缘分布 设设(X,Y)是二维离散型随机变量，其概率分布是二维离散型随机变量，其概率分布为：为：P X=ai,Y=bj =p i j ，i、j =1，2，.。1 X 的边缘分布律的边缘分布律 p i ，i 1 P X=ai=j 1 P X=ai,Y=bj =j 1 pi j =p i 2 Y 的边缘分布律的边缘分布律 p j，j 1 P Y=bj=i 1 P X=ai,Y=bj =i 1 pi j=p j二二.二二维维离散随机离散随机变变量的量的边缘边缘分布分布 设设(X22 例例3.2.1 对于例对于例3.1.2中的中的(X,Y)，求关于，求关于X和关于和关于Y的边缘分布律。的边缘分布律。例例3.2.1 对对于例于例3.1.2中的中的(X,Y)，求关于，求关于23三三.二维连续随机变量的边缘分布二维连续随机变量的边缘分布 设设(X,Y)是二维是二维连续随机变量，其连续随机变量，其联合密度函数为联合密度函数为 f(x,y)，x，y +1 X 的边缘密度函数的边缘密度函数 fX(x)2 Y 的边缘密度函数的边缘密度函数 fY(y)三三.二二维连续维连续随机随机变变量的量的边缘边缘分布分布 设设(X,Y24 例例3.2.2 设设(X,Y)是二维正态随机向量，求它的分是二维正态随机向量，求它的分量量X和和Y的边缘密度函数。的边缘密度函数。结论：结论：X的边缘密度函数为的边缘密度函数为 Y的边缘密度函数为的边缘密度函数为 例例3.2.2 设设(X,Y)是二是二维维正正态态随机向量，求它的分随机向量，求它的分25 定理定理3.2.2：设：设 ,则则X及及Y的边缘分布有的边缘分布有 ，该定理说明：随机向量该定理说明：随机向量(X,Y)的联合密度一的联合密度一般不能由其两个边缘密度唯一确定般不能由其两个边缘密度唯一确定.定理定理3.2.2：设设 26 第三节第三节 条件分布条件分布 两个随机变量之间的两个随机变量之间的随机相依关系随机相依关系 身高身高 X 与体重与体重 Y 的关系；的关系；条件分布主要用来研究随机变量的相依关系条件分布主要用来研究随机变量的相依关系 第三第三节节 条件分布条件分布 两个随两个随27 一一.离散型随机变量的条件分布离散型随机变量的条件分布n定义定义3.3.1 3.3.1 设设(X,Y)(X,Y)是二维离散型随机变量，其分布律为是二维离散型随机变量，其分布律为 P X=ai,Y=bj =p i j ，i、j =1，2，.。若对固定的若对固定的j(j=1,2,j(j=1,2,),),有边缘分布有边缘分布 ,称称为在为在 条件下条件下X X的条件分布律。的条件分布律。类似地类似地,若对固定的若对固定的i,(i=1,2,i,(i=1,2,),),有有 称称为在为在 条件下条件下Y Y的条件分布律。的条件分布律。一一.离散型随机离散型随机变变量的条件分布量的条件分布28 n条件分布的性质条件分布的性质1 1）非负性）非负性 2 2）规范性）规范性 即即联系第一章，联系第一章，随机事件随机事件 A、B:条件分布的性条件分布的性质联质联系第一章，系第一章，随机事件随机事件 A、B:29 例例3.3.1 一射手进行射击，击中目标的概率为一射手进行射击，击中目标的概率为p(0p1),射击进行到击中两次为止射击进行到击中两次为止.设设X为第一次为第一次击中目标时射击的次数，击中目标时射击的次数，Y表示总共射击的次数，表示总共射击的次数，即第二次击中目标时射击的次数。试求：即第二次击中目标时射击的次数。试求：(1)X,Y的联合分布律的联合分布律(2)关于关于X和和Y的边缘分布律的边缘分布律(3)X和和Y的条件分布律的条件分布律 例例3.3.1 一射手一射手进进行射行射击击，击击中目中目标标的概率的概率为为30 二二.连续随机变量的条件分布连续随机变量的条件分布n定义定义3.3.23.3.2：设：设(X,Y)(X,Y)是连续型的，对固定的是连续型的，对固定的y y存在存在，使得对所有的，使得对所有的 ，有，有 且对且对每个实数每个实数x,x,极限极限存在，则称此极限为存在，则称此极限为Y=yY=y条件下条件下X X的条件分布函数，记为的条件分布函数，记为 或或 .若存在若存在 ,使得使得则称则称 为在为在Y=yY=y条件下条件下X X的条件密度函数。的条件密度函数。二二.连续连续随机随机变变量的条件分布量的条件分布31 n定理定理3.3.13.3.1：设二维连续型随机变量：设二维连续型随机变量(X,Y)(X,Y)有联合密度有联合密度为为f(x,y),Yf(x,y),Y的边缘概率密度分别为的边缘概率密度分别为 .若若f(x,y)f(x,y)在点在点(x,y)(x,y)处连续，处连续，在在y y处连续，且处连续，且 则有则有同理，同理，X X的边缘概率密度分别为的边缘概率密度分别为 .若若f(x,y)f(x,y)在点在点(x,y)(x,y)处连续，处连续，在在x x处连续，且处连续，且 则有则有 定理定理3.3.1：设设二二维连续维连续型随机型随机变变量量(X,Y)有有联联合密度合密度32 于是两个条件分布函数分别表示为，于是两个条件分布函数分别表示为，于是两个条件分布函数分于是两个条件分布函数分别别表示表示为为，33 例例3.3.2 设设(X,Y)服从单位圆域服从单位圆域 上的均匀分布，上的均匀分布，求求X和和Y的条件密度函数。的条件密度函数。例例3.3.2 设设(X,Y)服从服从单单位位圆圆域域 34 35.Y 关于关于(X=x)的条件分布仍然是正态分布的条件分布仍然是正态分布 N(2+(x 1),22(1 2)，例例3.3.3 试计算试计算二维正态分布二维正态分布 (X,Y)(1,2;12,22;)的条件概率密度函数的条件概率密度函数 。2 1.X 关于关于(Y=y)的条件分布仍然是正态分布的条件分布仍然是正态分布 N(1+(y 2),12(1 2)。1 2解：已知有解：已知有 X N(1,12)，Y N(2,22)。.Y 关于关于(X=x)的条件分布仍然是正的条件分布仍然是正态态分布分布36三三.联合分布、边缘分布与条件分布的关系联合分布、边缘分布与条件分布的关系 与概率乘法公式相比较：与概率乘法公式相比较：P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)1.对于二维离散随机变量对于二维离散随机变量 pi j =pi p j|i =p jp i|j对于二维连续随机变量对于二维连续随机变量 三三.联联合分布、合分布、边缘边缘分布与条件分布的关系分布与条件分布的关系 与概率乘法公与概率乘法公37 联合分布与边缘分布的关系如同联合分布与边缘分布的关系如同“整体整体”与与“部部分分”的关系：整体能够决定部分；但是各个部分的的关系：整体能够决定部分；但是各个部分的简单叠加并不一定能构成一个有机的整体。简单叠加并不一定能构成一个有机的整体。2.联合分布能够唯一地决定边缘分布，联合分布能够唯一地决定边缘分布，反之一般情况下从边缘分布得不出联合分布。反之一般情况下从边缘分布得不出联合分布。当分量相互独立时，边缘分布就可以决定联合分布当分量相互独立时，边缘分布就可以决定联合分布3.边缘分布与条件分布本身也是一个分布边缘分布与条件分布本身也是一个分布 联联合分布与合分布与边缘边缘分布的关系如同分布的关系如同“整体整体”与与“部分部分”的关系：整的关系：整38混合偏导混合偏导二重积分二重积分一阶偏导一阶偏导一重积分一重积分定积分定积分极限极限？FX(x)或或 FY(y)fX(x)或或 fY(y)F(x,y)f(x,y)混合偏混合偏导导二重二重积积分一分一阶阶偏偏导导一重一重积积分定分定积积分极限？分极限？FX(x)39 定义定义3.4.13.4.1：设：设X,YX,Y是两个随机变量，若对任意实是两个随机变量，若对任意实数数x,yx,y有，事件有，事件 相互独立，即相互独立，即则称随机变量则称随机变量X X与与Y Y相互独立相互独立.(independent,缩写缩写为：为：ind)第四节第四节 随机变量的独立性随机变量的独立性 定定义义3.4.1：设设X,Y是两个随机是两个随机变变量，若量，若对对任意任意实实 40 定理定理3.4.13.4.1：设随机变量：设随机变量X,YX,Y的联合分布函数为的联合分布函数为F(x,y),XF(x,y),X和和Y Y的边缘分布函数分别为的边缘分布函数分别为 ，随机变量随机变量X X与与Y Y相互独立的充要条件是，对任意实相互独立的充要条件是，对任意实数数x,yx,y有有 定理定理3.4.1：设设随机随机变变量量X,Y的的联联合分布函数合分布函数为为41注意注意 要判断两个离散随机变量不独立，只需要找到要判断两个离散随机变量不独立，只需要找到 某一对整数某一对整数 i0、j0，使得：使得：pi j pi p j 0 0 0 0联合分布律等于边缘分布律的乘积联合分布律等于边缘分布律的乘积.即，即，pi j =pi p j 对全部对全部 i、j 成立成立 两个离散随机变量的独立两个离散随机变量的独立注意注意 0 0 0 42 例例3.4.1 求求X和和Y的独立性。的独立性。解解:(X,Y)的分布律为的分布律为 因为因为 从而从而X和和Y不相互独立。不相互独立。例例3.4.1 求求X和和Y的独立性。的独立性。43 例例3.4.2 3.4.2 设随机变量设随机变量X X与与Y Y独立，下表列出随机变量独立，下表列出随机变量(X,Y)(X,Y)的联合分布律及边缘分布律中部分数值，将其余数值的联合分布律及边缘分布律中部分数值，将其余数值填入空白处填入空白处 例例3.4.2 设设随机随机变变量量X与与Y独立，下表列出随机独立，下表列出随机变变量量(X,44两个连续随机变量的独立两个连续随机变量的独立联合密度函数等于边缘密度函数的乘积联合密度函数等于边缘密度函数的乘积。即，。即，对全部对全部 x、y 成立成立 注：注：连续随机变量连续随机变量 X、Y 相互独立，当且仅当：相互独立，当且仅当：对所有实数对所有实数 x、y，联合密度函数能够分解成：联合密度函数能够分解成：f(x,y)=g(x)h(y)的形式的形式。并且，边缘密度函数可以直接写出：并且，边缘密度函数可以直接写出：=C1 g(x)，=C2 h(y)这里这里C1、C2 是常数因子。是常数因子。两个两个连续连续随机随机变变量的独立量的独立联联合密度函数等于合密度函数等于边缘边缘密度函数的乘密度函数的乘积积。即。即45 例例3.4.3 设设(X,Y)服从单位圆域服从单位圆域 上的均匀分布，上的均匀分布，讨论讨论X和和Y的独立性。的独立性。例例3.4.3 设设(X,Y)服从服从单单位位圆圆域域 46 47例例3.4.4 设设X和和Y都服从参数都服从参数 的指数分布，且的指数分布，且相互独立，试求相互独立，试求 例例3.4.4 设设X和和Y都服从参数都服从参数 的指数分布的指数分布48例例3.4.5 X、Y 服从服从二维正态分布二维正态分布 (X,Y)N(1,2;12,22;)证明证明 X、Y 相互独立的充分必要条件是相互独立的充分必要条件是 =0。证明证明.(充分性充分性)已知已知 =0，因此因此 X、Y 相互独立；相互独立；(必要性必要性)已知已知X、Y 独立独立，特别取，特别取 x=1、y=2 ，根据根据 例例3.4.5 X、Y 服从二服从二维维正正态态分布分布证证明明.(充充49 50注：注：条件分布等于无条件分布蕴涵了独立性条件分布等于无条件分布蕴涵了独立性 离散型：离散型：联系第一章，联系第一章，随机事件随机事件 A、B 相互的独立。相互的独立。P(A|B)=P(A),P(B|A)=P(B).连续型：连续型：或者或者注：注：条件分布等于无条件分布条件分布等于无条件分布蕴蕴涵了独立性涵了独立性 离散型：离散型：联联系第系第51如何应用随机变量的独立如何应用随机变量的独立 两个随机变量的独立可以理解成：两个随机变量的独立可以理解成：与这两个随机变量有关的所有随机事件都是独立的与这两个随机变量有关的所有随机事件都是独立的(1)大多数的情况下，随机变量的独立性是用于：大多数的情况下，随机变量的独立性是用于：从各自的从各自的(边缘边缘)分布得到联合分布。分布得到联合分布。(2)可以证明，如果可以证明，如果 X,Y 相互独立，相互独立，g()与与 h()都是连续都是连续(或者单调或者单调)函数，那么函数，那么 g(X)与与h(Y)也是相互独立的随机变量。也是相互独立的随机变量。如何如何应应用随机用随机变变量的独立量的独立 两个随机两个随机变变量的独立可以理量的独立可以理52 第五节第五节 两个随机变量函数的分布两个随机变量函数的分布 如果如果(X,Y)的联合分布是的联合分布是已知，对于给定的已知，对于给定的 一个二元函数一个二元函数 g(,)，如何去计算新的随机变量如何去计算新的随机变量Z=g(X,Y)的分布？的分布？第五第五节节 两个随机两个随机变变量函数的分布量函数的分布 如果如果(X53 一一.二维离散型随机变量函数的分布二维离散型随机变量函数的分布n 设设(X,Y)(X,Y)是二维离散型随机变量，有联合分布律是二维离散型随机变量，有联合分布律设设 Z=g(X,Y)Z=g(X,Y)是是(X,Y)(X,Y)的函数，则的函数，则Z Z也是离散型的，其可能也是离散型的，其可能的取值是的取值是 。其分布律为。其分布律为若有若干若有若干 的值相等，应将它们合为一项，把的值相等，应将它们合为一项，把相应的概率相加。相应的概率相加。一一.二二维维离散型随机离散型随机变变量函数的分布量函数的分布54 例例3.5.13.5.1：已知随机变量：已知随机变量(X,Y)(X,Y)的联合分布律为的联合分布律为求：求：(1)Z=XY (2)W=X+Y(1)Z=XY (2)W=X+Y的概率分布的概率分布 例例3.5.1：已知随机：已知随机变变量量(X,Y)的的联联合分布律合分布律为为55 解：联合分布律可写成以下形式：解：联合分布律可写成以下形式：(I)显然显然Z可能的取值为可能的取值为0,1,2.由此可得分布律为由此可得分布律为 解：解：联联合分布律可写成以下形式：合分布律可写成以下形式：56(II)W可能的取值为可能的取值为0,1,2,3.由此可得分布律为由此可得分布律为(II)W可能的取可能的取值为值为0,1,2,3.由此可得分布律由此可得分布律为为57例例3.5.2：泊松分布的可加性泊松分布的可加性 设设X和和Y是相互独立的随机变量，分别服从参是相互独立的随机变量，分别服从参数为数为 的泊松分布，则随机变量的泊松分布，则随机变量Z=X+Y服服从参数为从参数为 的泊松分布。的泊松分布。例例3.5.2：泊松分布的可加性泊松分布的可加性58 二二.二维连续型随机变量函数的分布二维连续型随机变量函数的分布1.1.一般方法一般方法例例3.5.3:3.5.3:大炮打靶时大炮打靶时,炮弹弹着点炮弹弹着点(X,Y)(X,Y)(以靶心为以靶心为原点原点)服从正态分布服从正态分布 ，求弹着点到靶心距，求弹着点到靶心距离离 的密度函数的密度函数.二二.二二维连续维连续型随机型随机变变量函数的分布量函数的分布59 60 n设设Z=g(X,Y)Z=g(X,Y)是是(X,Y)(X,Y)的函数，求的函数，求Z Z的密度函数的密度函数 的一般方法：的一般方法：(1)(1)确定确定Z Z的值域的值域R(Z)R(Z)(2)(2)对任意对任意 ，求出，求出Z Z的分布函数的分布函数 此处此处 由不等式由不等式 解出。解出。(3)(3)求导，求导，(4)(4)对对 加以总结，当加以总结，当 时时,取取 设设Z=g(X,Y)是是(X,Y)的函数，求的函数，求Z的密度函数的密度函数61 计算两个随机变量函数分布的关键问题：计算两个随机变量函数分布的关键问题：这个二重积分能够被计算出来，或者是能够这个二重积分能够被计算出来，或者是能够被转化为二次积分的形式。被转化为二次积分的形式。计计算两个随机算两个随机变变量函数分布的关量函数分布的关键问题键问题：62 2.2.连续型连续型卷积公式卷积公式及随机变量的可加性及随机变量的可加性(1)(1)卷积公式卷积公式定理定理3.5.1 3.5.1 设二维随机变量设二维随机变量(X,Y)(X,Y)的联合密度为的联合密度为f(x,y),Z=X+Y,f(x,y),Z=X+Y,则则Z Z的密度函数为的密度函数为特别地，当特别地，当X X与与Y Y独立时，则独立时，则 2.连续连续型卷型卷积积公式及随机公式及随机变变量的可加性量的可加性63(2)(2)可加性可加性n定理定理3.5.2(3.5.2(正态分布的可加性正态分布的可加性)设设 ,且且X X与与Y Y独立，则独立，则n定理定理3.5.3 3.5.3 设随机变量设随机变量 相互独立，且都服相互独立，且都服从正态分布：从正态分布：,则它们的线性则它们的线性组合也是正态的，即组合也是正态的，即 其中，其中，为常数。为常数。(2)可加性可加性64 3.3.两个随机变量之商的分布两个随机变量之商的分布n定理定理3.5.4:3.5.4:设二维随机变量设二维随机变量(X,Y)(X,Y)的联合密度为的联合密度为f(x,y)f(x,y)，Z=X/YZ=X/Y，则，则Z Z的密度函数的密度函数 若若X X与与Y Y独立，则独立，则 3.两个随机两个随机变变量之商的分布量之商的分布65 4.Max4.Max、MinMin型随机变量的分布型随机变量的分布 设设X,YX,Y是两个相互独立的随机变量，其分布函数分别是两个相互独立的随机变量，其分布函数分别为为 ,又设，又设，,则则M,NM,N也是随机变量。也是随机变量。n定理定理3.5.5 3.5.5 在上述条件下，在上述条件下，M,NM,N的分布函数为的分布函数为 4.Max、Min型随机型随机变变量的分布量的分布66 例例3.5.4：设系统：设系统L有两个相互独立的子系统有两个相互独立的子系统 联接联接而而成，联接的方式分别为成，联接的方式分别为(1)串联，串联，(2)并联，并联，(3)备用。设备用。设 的寿命分别为的寿命分别为X、Y,其概率密度函数分别为其概率密度函数分别为其中其中 ，且，且 .分别对以上三种联接方式写分别对以上三种联接方式写出出L的寿命的寿命Z的概率密度函数。的概率密度函数。例例3.5.4：设设系系统统L有两个相互独立的子系有两个相互独立的子系统统 67 68 69 n定理定理3.5.6 3.5.6 设随机变量设随机变量 相互独立，且相互独立，且 的分布函数为的分布函数为 ，记，记 ,则则n推论：设推论：设 是是n n个相互独立的随机变量，且个相互独立的随机变量，且有相同的分布函数有相同的分布函数F(x),F(x),则则 定理定理3.5.6 设设随机随机变变量量 相互独立相互独立70 特别地，如果上述随机变量是连续型的，有相同的密度特别地，如果上述随机变量是连续型的，有相同的密度函数函数f(x),f(x),则则M,NM,N的密度函数为的密度函数为 特特别别地，如果上述随机地，如果上述随机变变量是量是连续连续型的，有相同的密度型的，有相同的密度71