初中数学作业变式分层的探究与设计

初中数学作业变式分层的探究与设计杨海燕【专题名称】初中数学教与学【专题号】G352【复印期号】2011年07期【原文出处】上海中学数学2011年3期第29,31页【作者简介】杨海燕，上海市五四中学(200040)。【关键词】EEUU新课改要求:“人人学有用的数学，人人学习必需的数学，不同的人在数学的领域内得到不同的发展。”在静安精品教育的背景下，教育局承担了“十一五”教育部重点课题提高中小学生学业效能:“轻负担、高质量”的实证研究，“作业”作为教学过程中的重要环节，是提升学生学业效能的重要抓手。怎样使得作业从学生的“负担”变为学生的需要，从学生被动去做，变为学生乐意去做，怎样在减轻学生课业负担的同时又能提高学生的数学能力，这是笔者从教以来一直思考的问题。在教学实践中，笔者尝试改变以往作业的形式，以变式题的形式组织作业，因材施教，实施分层。一、作业变式分层的实践1.变换条件，组合显难易案例1原题八年级上(06版)九61工8(2)如图1,在中M5=4C,H=30，/U)J_4C.求证Ki条件分析:在丝C中y二AC.可知R4c=120%LDAC=90；ep=ADBDyCD.以Jm-其中两项为条件，另两项为结论共可组成6个命就这6个命即可分为三个层次.第一层次;巩固性练习不用添辅助线.3)由出发/得出原题八年级上(06版)匕.】9.8(2)例鹿3.(2)由出发，得出K原题八年级上(06版)P抽19.8(2)练习L(3)由(3)出发，得出这三道题能使学生初步理解掌握课堂教学内容，重在基本知识的巩固和数学基本技能的训练，目的在于夯实基础，提高基本技能，促使学优生和学良生巩固已学知识，适宜学困生形成达标，是学困生表现自我的舞台。第二层次：应用性练习，要添一条辅助线。(4)由？?出发，得出？(5)由？?出发，得出？h仙三即二-CD如图2,过DC的中点E,彳DC边上的中线AE,通过？ABD?ACE至U;进而可证明？DAC=90?图2这两道题使学生较熟练地应用所学知识解决问题，重在对知识的理解和简单的运用。第三层次：拓展性练习，要添三条辅助线。(6)由？?出发，得出？如图3.作DC边上的中线再作AF1BC,垂足为尸，作力上他,垂足为乩先由48。自ACE得AD三4%再由D尸士;D,MJ=得Jmm从而得上国U)=乙用的=30,进而推出结论.图3这道题能使学优生运用所学知识解决较复杂问题，题型灵活多样，是对学优生思维的一种拓展和延伸，促使学优生创新思维。以上对课本上一道普通例题的条件和结论进行了分解和组合，形成了一个问题系列，该系列围绕着直角三角形的性质展开，使问题得以拓展和深化，随着问题的逐步解决，使不同程度的学生都能有所收益。这是从条件的角度对作业进行变式分层。2 .猜想结论，探究有深浅案例2已知：如图4,菱形ABCDfr,?B=60?,点E,F分别在边BC和CD上,且？EAF=60?图4(1)找一找图中有哪些相等的线段，并说明理由，由菱形的边长相等，可得AB=BC=CD=DA;由全等三角形的性质，可得BE=CFEC=DF,AE=AF(2)将？EAF绕顶点A进行旋转，使点E,F仍然在边BCffi边CD上，问结论是否仍然成立，可发现用同样的方法可以验证结论仍然成立，抓住问题本质，感受运动变化过程中？ABE与?ACF的全等关系始终保持不变。本题是课本上的例题，题目没有改变，但将问题：求证AE=AFfc成了一个开放式的问题，尽量挖掘已知条件下始终保持相等的线段。变式1已知：如图5,菱形ABCLfr,?EAF=?B点E,F分别在边BC,CD上，找一找图中有哪些相等的线段，并说明理由。(菱形的边长除外)图5可发现只有线段AE和AF有可能相等。要证明AE=AF需要重新构造全等三角形，利用菱形的性质2:菱形的每一条对角线平分一组对角。比较容易想到过点A作两边的垂线AG和AH通过证明？AGE?AH得至ijAE=AF同样在旋转？EAF的过程中这两个三角形的全等关系始终保持不变。本题改变了部分条件，此时已不能再用前面的方法，需要利用菱形的另一个性质，重新构造全等三角形加以解决，通过问题的变式让学生掌握教学重点，同时引发学生层层深入的去探讨变式2已知：如图6,菱形ABCDfr,?EAF=?ABC点E,F分别在直线BGCD上，AE与AF是否相等，并说明理由。/1C本题与变式2本质没有改变，只是将旋转角顶点的位置由锐角顶点换到了钝角顶点，所以可以化归到前面一种问题的证法，是对学优生思维的一种拓展和延伸，促使学优生创新思维。案例3如图7,?ABCt,AD是中线，G是重心。(】)过点。作EF/SC分别交边AB.AC于E,E计算崂+得碱+冬的他|(2)如图8过点G作EF分别交ABAC于点E、F,且EF与BC不平行，则第小题中的数值是否随着EF位置的变化而变化，如有变化，请予以说明，如果不变，请予以证明。图7图8(3)如果过点G的直线EF分别交直线ABAC于点E、F。试问第小题中确定的两式中不变的结果是否仍然成立，如不成立，请对该算式作些修改，使其仍然成立。以上通过对课本上一道普通例题的条件进行一点改变，同时把结论变成了一个开放性的问题，使学生从已知条件入手，通过合理的猜想、寻找、探索，逐步发现结论，并进行证明。在证明过程中，运用了菱形的性质，等边三角形的性质以及全等三角形的性质等重要的几何基础知识，使不同程度的学生在思考和解决问题的过程中都能有所收获。这是从结论的角度对作业进行变式分层。3 .灵活过程，解法呈多样对同一问题，要求学生根据自己对已学知识的掌握情况，用尽可能多的方法解决，每位同学至少用两种方法解决。通过灵活多样的解题方法，培养学生从多个角度思考问题和解决问题的能力。CD=案例4在AABCfr,AB=ACCD是AB边上的中线，延长AB至UE,使得BE=AB联结EC求证:证法1（全等三角形，七年级所学知识）如图9,延长CD到F.使得0F=CD,连接由4成尸金MC.得AF=BC,乙FAD二乙CBD,从而可得心8c，进而得上R4C=18O。-4ECA,又由补角的定义得乙EBC=180-乙出BC,从而得上抬C=乙ESC.进而得ZUCFgEC,得FC=EC又由CD=JCF,得CD=；EC证法2（中位线定理，八年级所学知识）如图10,过AC的中点G.作肥边上的中线6G,由得CDBG.又由3Gg氏,得CD=EC.2证法3（相似三角形.九年级所学知识）如图11.由黑二器二/,及乙I是公共角,福ADCs4CE,从而得等彳用=4得CD=；ECCfiAC22有的问题在不同的知识范畴里有不同的解决方法，一般来说，知识层次越高，解决方法就越简洁，后学的知识融汇了前面所学的知识，提供的方法自然就更加有效。从图形上看，七年级的解法是构造全等三角形，八年级是添一条中线，九年级是利用图中已存在的相似关系，不必添线。这是从过程的角度对作业进行变式分层。二、作业变式分层的效果1 .作业变式分层能促使学生整体优化对作业变式分层，使得教师的着眼点面向全体学生，重视各层次学生的发展,使各类学生都有所学、有所得、有所提高，有效缩小了学生间的差距，促使学生的整体优化。2 .作业变式分层能促进学生个性发展对作业变式分层，给学生创设了一个自主学习、自主钻研的舞台，促进学生个性的发展。使学困生在学习中也能得到学习的满足感和成就感，从而增强自信心和学习的动力，促使学困生向学良生转换，从而使整个班级产生一种协作竞争、奋发向上的氛围，使学良生变优，学优生更优。3 .作业变式分层能有效提高学习效率对作业变式分层，既检查了教师教学的效果，又了解了学生，有利于改进教学工作。既检查了学习的成果，又促进了学生的学习，同时使教学首尾相接，有秩序地进行，及时进行查漏补缺。实施作业变式分层，对教师在课前设计作业时提出了更高的要求。一定要做好作业批改后的分层评价及个别辅导的工作，及时答疑解惑，巩固所学知识。对作业变式分层是因材施教的一种模式，体现了“绝不放弃任何一个学生”和“不同的人在数学学习上得到不同的发展”的教育思想，也是创建和谐校园的需要。ANU1DA20110908