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初中数学作业变式分层的探究与设计杨海燕【专题名称】初中数学教与学【专题号】G352【复印期号】2011年07期【原文出处】上海中学数学2011年3期第29,31页【作者简介】杨海燕,上海市五四中学(200040)。【关键词】EEUU新课改要求:“人人学有用的数学,人人学习必需的数学,不同的人在数学的领域内得到不同的发展。”在静安精品教育的背景下,教育局承担了“十一五”教育部重点课题提高中小学生学业效能:“轻负担、高质量”的实证研究,“作业”作为教学过程中的重要环节,是提升学生学业效能的重要抓手。怎样使得作业从学生的“负担”变为学生的需要,从学生被动去做,变为学生乐意去做,怎样在减轻学生课业负担的同时又能提高学生的数学能力,这是笔者从教以来一直思考的问题。在教学实践中,笔者尝试改变以往作业的形式,以变式题的形式组织作业,因材施教,实施分层。一、作业变式分层的实践1.变换条件,组合显难易案例1原题八年级上(06版)九61工8(2)如图1,在中M5=4C,H=30,/U)J_4C.求证Ki条件分析:在丝C中y二AC.可知R4c=120%LDAC=90;ep=ADBDyCD.以Jm-其中两项为条件,另两项为结论共可组成6个命就这6个命即可分为三个层次.第一层次;巩固性练习不用添辅助线.3)由出发/得出原题八年级上(06版)匕.】9.8(2)例鹿3.(2)由出发,得出K原题八年级上(06版)P抽19.8(2)练习L(3)由(3)出发,得出这三道题能使学生初步理解掌握课堂教学内容,重在基本知识的巩固和数学基本技能的训练,目的在于夯实基础,提高基本技能,促使学优生和学良生巩固已学知识,适宜学困生形成达标,是学困生表现自我的舞台。第二层次:应用性练习,要添一条辅助线。(4)由??出发,得出?(5)由??出发,得出?h仙三即二-CD如图2,过DC的中点E,彳DC边上的中线AE,通过?ABD?ACE至U;进而可证明?DAC=90?图2这两道题使学生较熟练地应用所学知识解决问题,重在对知识的理解和简单的运用。第三层次:拓展性练习,要添三条辅助线。(6)由??出发,得出?如图3.作DC边上的中线再作AF1BC,垂足为尸,作力上他,垂足为乩先由48。自ACE得AD三4%再由D尸士;D,MJ=得Jmm从而得上国U)=乙用的=30,进而推出结论.图3这道题能使学优生运用所学知识解决较复杂问题,题型灵活多样,是对学优生思维的一种拓展和延伸,促使学优生创新思维。以上对课本上一道普通例题的条件和结论进行了分解和组合,形成了一个问题系列,该系列围绕着直角三角形的性质展开,使问题得以拓展和深化,随着问题的逐步解决,使不同程度的学生都能有所收益。这是从条件的角度对作业进行变式分层。2 .猜想结论,探究有深浅案例2已知:如图4,菱形ABCDfr,?B=60?,点E,F分别在边BC和CD上,且?EAF=60?图4(1)找一找图中有哪些相等的线段,并说明理由,由菱形的边长相等,可得AB=BC=CD=DA;由全等三角形的性质,可得BE=CFEC=DF,AE=AF(2)将?EAF绕顶点A进行旋转,使点E,F仍然在边BCffi边CD上,问结论是否仍然成立,可发现用同样的方法可以验证结论仍然成立,抓住问题本质,感受运动变化过程中?ABE与?ACF的全等关系始终保持不变。本题是课本上的例题,题目没有改变,但将问题:求证AE=AFfc成了一个开放式的问题,尽量挖掘已知条件下始终保持相等的线段。变式1已知:如图5,菱形ABCLfr,?EAF=?B点E,F分别在边BC,CD上,找一找图中有哪些相等的线段,并说明理由。(菱形的边长除外)图5可发现只有线段AE和AF有可能相等。要证明AE=AF需要重新构造全等三角形,利用菱形的性质2:菱形的每一条对角线平分一组对角。比较容易想到过点A作两边的垂线AG和AH通过证明?AGE?AH得至ijAE=AF同样在旋转?EAF的过程中这两个三角形的全等关系始终保持不变。本题改变了部分条件,此时已不能再用前面的方法,需要利用菱形的另一个性质,重新构造全等三角形加以解决,通过问题的变式让学生掌握教学重点,同时引发学生层层深入的去探讨变式2已知:如图6,菱形ABCDfr,?EAF=?ABC点E,F分别在直线BGCD上,AE与AF是否相等,并说明理由。/1C本题与变式2本质没有改变,只是将旋转角顶点的位置由锐角顶点换到了钝角顶点,所以可以化归到前面一种问题的证法,是对学优生思维的一种拓展和延伸,促使学优生创新思维。案例3如图7,?ABCt,AD是中线,G是重心。(】)过点。作EF/SC分别交边AB.AC于E,E计算崂+得碱+冬的他|(2)如图8过点G作EF分别交ABAC于点E、F,且EF与BC不平行,则第小题中的数值是否随着EF位置的变化而变化,如有变化,请予以说明,如果不变,请予以证明。图7图8(3)如果过点G的直线EF分别交直线ABAC于点E、F。试问第小题中确定的两式中不变的结果是否仍然成立,如不成立,请对该算式作些修改,使其仍然成立。以上通过对课本上一道普通例题的条件进行一点改变,同时把结论变成了一个开放性的问题,使学生从已知条件入手,通过合理的猜想、寻找、探索,逐步发现结论,并进行证明。在证明过程中,运用了菱形的性质,等边三角形的性质以及全等三角形的性质等重要的几何基础知识,使不同程度的学生在思考和解决问题的过程中都能有所收获。这是从结论的角度对作业进行变式分层。3 .灵活过程,解法呈多样对同一问题,要求学生根据自己对已学知识的掌握情况,用尽可能多的方法解决,每位同学至少用两种方法解决。通过灵活多样的解题方法,培养学生从多个角度思考问题和解决问题的能力。CD=案例4在AABCfr,AB=ACCD是AB边上的中线,延长AB至UE,使得BE=AB联结EC求证:证法1(全等三角形,七年级所学知识)如图9,延长CD到F.使得0F=CD,连接由4成尸金MC.得AF=BC,乙FAD二乙CBD,从而可得心8c,进而得上R4C=18O。-4ECA,又由补角的定义得乙EBC=180-乙出BC,从而得上抬C=乙ESC.进而得ZUCFgEC,得FC=EC又由CD=JCF,得CD=;EC证法2(中位线定理,八年级所学知识)如图10,过AC的中点G.作肥边上的中线6G,由得CDBG.又由3Gg氏,得CD=EC.2证法3(相似三角形.九年级所学知识)如图11.由黑二器二/,及乙I是公共角,福ADCs4CE,从而得等彳用=4得CD=;ECCfiAC22有的问题在不同的知识范畴里有不同的解决方法,一般来说,知识层次越高,解决方法就越简洁,后学的知识融汇了前面所学的知识,提供的方法自然就更加有效。从图形上看,七年级的解法是构造全等三角形,八年级是添一条中线,九年级是利用图中已存在的相似关系,不必添线。这是从过程的角度对作业进行变式分层。二、作业变式分层的效果1 .作业变式分层能促使学生整体优化对作业变式分层,使得教师的着眼点面向全体学生,重视各层次学生的发展,使各类学生都有所学、有所得、有所提高,有效缩小了学生间的差距,促使学生的整体优化。2 .作业变式分层能促进学生个性发展对作业变式分层,给学生创设了一个自主学习、自主钻研的舞台,促进学生个性的发展。使学困生在学习中也能得到学习的满足感和成就感,从而增强自信心和学习的动力,促使学困生向学良生转换,从而使整个班级产生一种协作竞争、奋发向上的氛围,使学良生变优,学优生更优。3 .作业变式分层能有效提高学习效率对作业变式分层,既检查了教师教学的效果,又了解了学生,有利于改进教学工作。既检查了学习的成果,又促进了学生的学习,同时使教学首尾相接,有秩序地进行,及时进行查漏补缺。实施作业变式分层,对教师在课前设计作业时提出了更高的要求。一定要做好作业批改后的分层评价及个别辅导的工作,及时答疑解惑,巩固所学知识。对作业变式分层是因材施教的一种模式,体现了“绝不放弃任何一个学生”和“不同的人在数学学习上得到不同的发展”的教育思想,也是创建和谐校园的需要。ANU1DA20110908
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