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第四节一、对面积的曲面积分的概念与性质一、对面积的曲面积分的概念与性质 二、对面积的曲面积分的计算法二、对面积的曲面积分的计算法机动 目录 上页 下页 返回 结束 对面积的曲面积分 第十一章 oxyz一、对面积的曲面积分的概念与性质一、对面积的曲面积分的概念与性质引例引例: 设曲面形构件具有连续面密度),(zyx类似求平面薄板质量的思想, 采用kkkkS),(可得nk 10limM),(kkk求质 “大化小, 常代变, 近似和, 求极限” 的方法,量 M.其中, 表示 n 小块曲面的直径的最大值 (曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者). 机动 目录 上页 下页 返回 结束 SzyxMd),(定义定义: 设 为光滑曲面,“乘积和式极限” kkkkSf),(nk 10lim都存在,的曲面积分Szyxfd),(其中 f (x, y, z) 叫做被积据此定义, 曲面形构件的质量为曲面面积为SSdf (x, y, z) 是定义在 上的一 个有界函数,记作或第一类曲面积分.若对 做任意分割和局部区域任意取点, 则称此极限为函数 f (x, y, z) 在曲面 上对面积函数, 叫做积分曲面.机动 目录 上页 下页 返回 结束 则对面积的曲面积分存在. 对积分域的可加性.,21则有Szyxfd),(1d),(Szyxf2d),(SzyxfSzyxgkzyxfkd),(),(21 线性性质.则为常数设,21kkSzyxgkSzyxfkd),(d),(21),(zyxf若在光滑曲面 上连续, 对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似. 积分的存在性. 若 是分片光滑的,例如分成两片光滑曲面机动 目录 上页 下页 返回 结束 oxyz定理定理: 设有光滑曲面yxDyxyxzz),(),(:f (x, y, z) 在 上连续,存在, 且有Szyxfd),(yxDyxf),(Szyxfd),(),(yxzyxyxzyxzyxdd),(),(122二、对面积的曲面积分的计算法二、对面积的曲面积分的计算法 则曲面积分证明证明: 由定义知Szyxfd),(kkkkSf),(nk 10limyxD),(kkkyxk)(机动 目录 上页 下页 返回 结束 kSyxyxzyxzyxkyxdd),(),(1)(22yxkkkykkxzz)(),(),(1220limnk 1yxkkkykkxzz)(),(),(1220limnk 1yxkkkykkxzz)(),(),(122yxyxzyxzyxfyxDyxdd),(),(1),(22),(yxz),(,(kkkkzf),(,(kkkkzfSzyxfd),(而(光滑)机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明:zyDzyzyxx),(),(zxDzxzxyy),(),(或可有类似的公式.1) 如果曲面方程为2) 若曲面为参数方程, 只要求出在参数意义下dS 的表达式 , 也可将对面积的曲面积分转化为对参数的二重积分. (见本节后面的例4, 例5) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 yxD例例1. 计算曲面积分,dzS其中是球面222zyx被平面)0(ahhz截出的顶部.解解: :yxDyxyxaz),( ,:2222222:hayxDyx221yxzz 222yxaazSd20da0)ln(2122222haraahaaln2yxDyxayxa222dd22022dhararr2aoxzyha机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考思考:若 是球面2222azyx被平行平面 z =h 截出的上下两部分,) (dzS) (dzS0hln4aa则hhoxzy机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 计算,dSzyx其中 是由平面坐标面所围成的四面体的表面. ozyx111解解: 设上的部分, 则4321,4dSzyx,1:4yxz1010:),(xxyDyxyxxyyxy10d)1 (12031zyx与, 0, 0, 0zyx10d3xx1zyx4321Szyxd 原式 = 分别表示 在平面 机动 目录 上页 下页 返回 结束 xozy例例3. 设2222:azyx),(zyxf计算.d),(SzyxfI解解: 锥面22yxz的222yxaz.,2122122azayx1设,),(22122ayxyxDyx,22yx ，022yxz当22yxz当与上半球面交线为为上半球面夹于锥面间的部分, 它在 xoy 面上的投影域为1yxD则 1d)(22SyxI机动 目录 上页 下页 返回 结束 1d)(22SyxIyxDyx)(22rrraraadd202222021)258(614a222yxaayxddxozy1yxD机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考思考: 若例3 中被积函数改为),(zyxf,22yx ，022yxz当22yxz当计算结果如何 ? 例例4. 求半径为R 的均匀半球壳 的重心.解解: 设 的方程为yxDyxyxRz),( ,222利用对称性可知重心的坐标,0 yx而 z 223RRR用球坐标cosRz ddsind2RS SdSzd20032dcossindR2002dsindR思考题思考题: 例 3 是否可用球面坐标计算 ?例3 目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 计算),(dRzSI.:2222Rzyx解解: 取球面坐标系, 则,cos:Rz I0cos)cosd(2RRRRRRln2ddsind2RS 02dcossinRR20d机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6. 计算,d)(22SyxI其中 是球面22yx 利用对称性可知SzSySxddd222SzSySxdddSzyxId)(32222Szyxd)(34Sxd4Sxd448)3(4142解解: 显然球心为, ) 1 , 1 , 1 (半径为3x利用重心公式SxdSd).(22zyxz机动 目录 上页 下页 返回 结束 zzd例例7. 计算,d222zyxSI其中 是介于平面之间的圆柱面.222Ryx分析分析: 若将曲面分为前后(或左右)zRSd2d则HzRzRI022d2RHarctan2Hzz,0oHxyz解解: 取曲面面积元素两片, 则计算较繁. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 oyxzL例例8. 求椭圆柱面19522yx位于 xoy 面上方及平面 z = y 下方那部分柱面 的侧面积 S . 解解: )0(sin3,cos5:ttytxL取SSdszLdtt cosdcos45302sd5ln4159zszSddttttdcos9sin5sin3220syLd机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例9. 设有一颗地球同步轨道通讯卫星, 距地面高度 h = 36000 km,机动 目录 上页 下页 返回 结束 运行的角速度与地球自转角速度相同, 试计算该通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比. (地球半径 R = 6400 km )解解: yzxohR R建立坐标系如图, 覆盖曲面 的半顶角为 , 利用球坐标系, 则ddsind2RS 卫星覆盖面积为SAd0202ddsinR)cos1 (22RhRRcoshRhR22机动 目录 上页 下页 返回 结束 故通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比为24 RA)(2hRh6610)4 . 636(21036%5 .40由以上结果可知, 卫星覆盖了地球 31以上的面积, 故使用三颗相隔32角度的通讯卫星就几乎可以覆盖地球全表面. 说明说明: 此题也可用二重积分求 A (见下册P109 例2) . yzxohR R内容小结内容小结1. 定义:Szyxfd),(iiiiSf),(ni 10lim2. 计算: 设,),( , ),(:yxDyxyxzz则Szyxfd),(yxDyxf,(),(yxz)221yxzz yxdd(曲面的其他两种情况类似) 注意利用球面坐标、柱面坐标、对称性、重心公式简化计算的技巧. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习P158 题1；3；4(1) ; 7 解答提示解答提示:P158 题1.SzyxzyIxd),()(22P158 题3. ,),( ,0:yxDyxzyxDyxyxfSzyxfdd),(d),(设则0P184 题2机动 目录 上页 下页 返回 结束 P158 题4(1).oyxz2 在 xoy 面上的投影域为2:22 yxDyxyxzzSyxdd1d22yxyxdd)(4122yxDSyxyxSdd)(41d22rrrd41d20220313这是 的面积 !2xyD)(2:22yxz机动 目录 上页 下页 返回 结束 P159 题7. 如图所示, 有yxyxyxSzyxDdd1)(21d2222rrrd1d21202320354tttd) 1(302221rt令o21yxDzyx机动 目录 上页 下页 返回 结束 P184 题2. 设),0(:2222zazyx在第为1一卦限中的部分, 则有( ).;d4d)(1SxSxA;d4d)(1SxSyB;d4d)(1SxSzC.d4d)(1SzyxSzyxDC( 2000 考研 )机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业 P158 4(3); 5(2); 6(1), (3), (4); 8第五节 目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题 1. 已知曲面壳)(322yxz,22zyx求此曲面壳在平面 z1以上部分 的的面密度质量 M . 解解: 在 xoy 面上的投影为 ,2:22 yxDyx故SMdrrrd41d322020)41d(418162202rryxyxyxDdd)(4132213机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 设 是四面体的表0,0,0,1zyxzyx面, 计算.d)1 (12SyxI解解: 在四面体的四个面上yxz1yxdd3xyxDyx10,10:1zyx11o0zyxdd0yxzddzxzDxz10,10:0 xzyddzyzDzy10,10:同上平面方程Sd投影域机动 目录 上页 下页 返回 结束 yyzzd)1 (1d10210 xxzzd)1 (1d102102ln) 13(233yyxxIxd)1 (1d)13(10210机动 目录 上页 下页 返回 结束
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