量子力学复习题答案与题解

量子力学复习题P12导致量子论产生的物理现象主要有哪些 p2 量子的概念是如何引进的 p5 为什么说爱因斯坦是量子论的主要创始人之一 p6 写出德布罗意公式并说明其中各量的含义和该公式的意义什么是波函数的几率解释 p18 态的迭加原理。 P22 动量算符的定义。 P27 写出单粒子薛定谔方程。 P27 写出多粒子薛定谔方程。 P28 写出单粒子哈密顿算符及其本征值方程。 P33 什么条件下可以得到定态薛定谔方程 p32 什么是束缚态 p37 什么情况下量子系统具有分立能级 p37 什么是基态 p37 写出线性谐振子的定态薛定谔方程。 P39 写出线性谐振子的能级表达式。 P40 写出波函数应满足的三个基本条件。 P51写出算符的本征值方程并说明其中各量的含义。 P54 量子力学中的力学量算符如何由经典力学中相应的力学量得出 p55 写出厄米算符的定义， 并解释为什么量子力学中的力学量要用厄米算 符来表示。 P56写出轨道角动量算符的各分量表达式。 P60 什么是角量子数、磁量子数写出相应的本征值表达式及其数值关系。 P63解： L?2Ylm ( , ) l(l 1) 2Ylm( , )L?zYlm ( , ) m Ylm ( , )其中I表征角动量的大小，称为角量子数，m称为磁量子数。对应于一个I的值, m可以取(2I +1)个值，从-I到+I。写出波尔半径的值和氢原子的电离能，可见光能否导致氢原子电离 oa0 0.52A ( 3 分) E1 13.6eV ( 3 分) 可见光的能量不超过 , 这个值小于氢原子的电离能，所以不能引起氢原子电离。( 4 分 ) 写出类氢原子体系的定态薛定谔方程。 P65 写出氢原子能级的表达式及其简并度。 P68s, p, d, f 态粒子是什么含义 p63 关于力学量与算符的关系的基本假定。 P83 写出力学量平均值的积分表达式。 P84 两个算符可对易的充要条件是什么 p89 写出 X 方向坐标与动量的不确定关系。 P92什么是Q表象p108久期方程带来的好处是什么 p113写出两个表象中的力学量和态矢量之间的变换公式。P117写出幺正变换的两个重要性质。P118应用微扰法的限制条件是什么 p135写出用非简并微扰法解题的基本步骤。P136写出用变分法求解体系基态能量的基本步骤。P145写出黄金规则公式，并解释其含义。P154什么是量子力学中的共振现象 p157自旋角动量与其它力学量的根本差别是什么p197电子自旋的取值有何特点 p196写出泡利矩阵。P202写出电子自旋算符各分量之间的对易关系（矢量形式和分量形式）P198C-G系数是如何定义的其中各参数的含义是什么p209p210P223在角动量耦合问题中，jl和j2给定后，j的取值范围是什么写出全同性原理。P217什么是费米子什么是玻色子 P220写出全同玻色子体系的波函数表达式， 并说明其中各量的含义。什么是自旋单态和三重态 P223根据能量算符和动量算符的定义及经典的能量一动量关系,导”单粒子薛定谔方程。P27推导定态薛定谔方程。P32一个质量为m的粒子置于宽度为a的无限深势阱中:V(x) 00 x a其它OO求该系统的能量本征值。P34OO解：设系统波函数为 (X)当0 X a时，薛定谔方程可以写为2m x2(x) E (x)(1)当x 0, x a时，薛定谔方程可以写为2m x2(x) V(x) (x) E (x)由波函数的连续性可得(x)0。当V(x)时，根据系统波函数的有限性及系统能量的有限性，可得令k2警，可将式化为h22(x) k (x)0 (2)x则方程(2)的解可以写为(x) Asin kx B coskx(a)(0) 0卄 Asin ka Bcoska 0 Asinka 0即，得(3)B 0B 0由于当A 0 , B 0时，系统波函数（x） 0，与粒子的存在相矛盾，所以A, B不能同时为0，所以 式的解为B= 0， sin ka= 0，由此有 ka n （ n = 0， 1， 2， 3，）因为n= 0对应 （x） 0,故舍去，n取负整数与取正整数的情况，系统状态完全一样，故只取正整数即可,因此k牛，再结合k2響得,2mEh2即系统能量本征值为2 2h nE厂(n=1, 2, 3,)。2ma证明厄米算符的本征值是实数。P56证明厄米算符属于不同本征值的两个本征函数彼此正交。 P78 根据坐标算符和动量算符的定义证明：在 X方向上两算符满足X, ?x ih。P87证明：在Q表象中，Q算符本身的表示矩阵是对角的。P110试推导非简并定态微扰理论中一级修正项所满足的方程。P131一电荷为e的线性谐振子受恒定弱电场 ？作用，电场沿正x 方向。用微扰法求体系定态能量的一级修正，用变量替换法求 能量修正。P137用变分法解氦原子基态问题时，哈密顿算符如何给出其中各量是何含义尝试波函数如何选取 p146写出乌伦贝克和哥德斯密特关于电子自旋的假设。P196(1) 每个电子具有自旋角动量S，它在空间任何方向上的投影只能取两个数值：hSz2 ；(2) 每个电子具有自旋磁矩Ms,它和自旋角动量S的关系是Ms -S，式中-e是电子的电荷，卩是电子的质量。在两个角动量耦合的问题中，什么是无耦合表象什么是耦合表象写出两种表象基矢的关系式。P208写出全同费米子体系的波函数表达式，并由此给出泡利不相容原理。P223写出坐标表象下，产生、湮灭算符的表达式，并证明a,? 1P125由坐标表象下的薛定谔方程推导 Q表象下的薛定谔方程(分量形式和矩阵形式)。P113证明自旋算符满足：【sz o,其中s2 ?x sy sz。P198对泡利矩阵证明：(1) ?x,?y2i ?z； (2)?z的本征值为1,并求出相应的归一化本征矢;(3)?x在?z的两个本征态中的平均值皆为0P202答：泡利矩阵：001,(3 分)(1) x,y12i001 2i z2(3分)(2)ab，由此得久期方程:2 10解得1(4 分)设平面波具有如下一般形式:(r,t) Aei(kr t)其中A为常数，k和？?满足hk2/2m。(1)试验证平面波满足自由粒子薛定谔方程。(2)解释为什么说平面波不能严格代表个自由粒子。h2(1) ih (r,t)( t2m左边=2)(r,t)ih Aei(kr t) ihA(t右边=(2)Aei(kr t)2m左边=右边i )ei(kr t) hA ei(kr(帥2日尹t)t)2 2hkt)2m吐(“2m(2)平面波不满足平方可积条件*(r,t) (r,t)d所以平面波不能严格上述积分的涵义是粒子存在的总几率， 应当是有限值。 代表一个自由粒子。 (a) Write the postulate for the relati on ship betwee n an observable and the resultof its measurement. (b) Supposea system isat thesuperpositionstateof two energy eigenstates:| c! | 1c212 . Whatresult would be obta ined whe n measuri ng the en ergy of the system (10marks)解：(a) 一个可观察量可以用一个厄米算符表示，它的本征函数组成完备系，对 它进行测量的结果，只可能是它的本征值之一。若体系处于本征态，则测量值即 为本征值。(6分)(b)当系统处于由I ) G 1C2 2)所描述的态时，对系统能量的测量结果只可能是态| 1)和| 2所对应的能量本征值1，2之一。并且测得i的概率为Ci(其中 i =1, 2) (4 分)