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立体几何复习学案（三）平行与垂直的判定和性质一、平行关系1.线面平行判定定理：2.线面平行性质定理：3.面面平行判定定理：4.面面平行性质定理：例1、（2009浙江卷文）如图， ， 分别为的中点（I）证明：平面； 例2、 正方体，且，求证：EF/平面ABCD例3、 如图，已知棱锥P-ABCD，且ABCD为平行四边形，M、N分别是AB，PC的中点推荐精选（1）求证：CD/平面PAB（2） 求证：MN/平面PADAEBCFSD练习：1、如图，在四棱锥中，底面为正方形，分别为的中点证明：平面； _N_M_A_B_D_C_O2、如图，在四棱锥中，底面四边长为菱形， 为的中点，为的中点证明：直线；例4、如图，在底面 是菱形的四棱锥PABC中，点E是PD的中点.推荐精选DEPBAC证明：PB平面EAC；练习：如图, 在三棱柱ABCA1B1C1中，点D是AB的中点， 求证：AC 1/平面CDB1；例5正方体求证： 推荐精选练习：已知三棱柱，且分别为的中点. 求证：平面平面；二、垂直关系1.线面垂直判定定理：推荐精选2线面垂直性质定理：3.面面垂直判定定理：4.面面垂直性质定理：例1、如图，在底面 是菱形的四棱锥PABC中，ABC=600，PA=AC=a,PB=PD=,点E是PD的中点.DEPBAC证明：PA平面ABCD，PB平面EAC；练习：1、直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=5，AC=4，BC=3，AA1=4，D是AB的中点AA1BCDB1C1（）求证：ACB1C； （）求证：AC1平面B1CD；2、如图所示，垂直矩形所在的平面，分别为的中点.() 求证；推荐精选PDCBAEF（）求证.3、如图，在直三棱柱中，分别为，的中点，四边形是正方形（）求证：平面；（）求证：平面4、如图，在底面为平行四边形的四棱锥 PABCD 中，ABAC，PA平面 ABCD，点 E 是 PD 的中点. （）求证：ACPB； 推荐精选（）求证：PB/平面 AEC； 5、如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，且，侧面底面，. 若.（）求证：平面；ABPCDE（）设侧棱的中点是，求证：平面.例2、.（2009北京卷文）（本小题共14分）如图，四棱锥的底面是正方形，点推荐精选E在棱PB上.（）求证：平面； 练习：1、已知四棱锥的底面是菱形，为的中点（）求证：平面；（）求证：平面平面2、如图，在直三棱柱中，平面推荐精选侧面.（）求证：；3、如图，在直三棱柱中，、分别是、的中点，点在上，。 求证：（1）EF平面ABC； （2）平面平面.4、已知直四棱柱的底面是菱形，且,F为棱的中点， M为线段的中点。推荐精选 求证：直线平面 求证：直线平面(3)求证：平面平面5、在四面体ABCD 中，CB= CD, ADBD，且E ,F分别是AB,BD 的中点，求证：（）直线EF 面ACD ；（）面EFC面BCD 6、如图，在四棱锥中, 底面是的中点.推荐精选APEBCD(I)证明；(II)证明平面；7、如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直， AB=，AF=1，M是线段EF的中点。（）求证AM平面BDE；（）求证AM平面BDF；8、如图，四棱锥中，底面， 底面为梯形，.，点在棱上，且推荐精选（）求证：平面平面；（）求证：平面；例3、如图，在三棱锥中，是等边三角形，PAC=PBC=90 （）证明：ABPC（）若，且平面平面， 求三棱锥体积。练习：推荐精选1.（2011西城一模文16）. （本小题满分13分）ABCDFE如图所示，正方形与直角梯形所在平面互相垂直，.()求证：平面；()求证：平面；（）求四面体的体积.2、在棱长为的正方体中，分别为棱，和的中点（）求证：平面；（）求三棱锥的体积；（）试在棱上求一点，使平面3、（2011朝阳二模文17）（本小题满分13分）推荐精选在长方形中，分别是，的中点（如左图）.将此长方形沿对折，使平面平面（如右图），已知，分别是，的中点.C1BACAAA1B12ABACAADAEAA1B12AC1（）求证：平面；（）求证：平面平面； （）求三棱锥的体积.4（2012年高考（北京文）如图1,在RtABC中,C=90,D,E分别是AC,AB上的中点,点F为线段CD上的一点.将ADE沿DE折起到A1DE的位置,使A1FCD,如图2. 推荐精选(1)求证:DE平面A1CB;(2)求证:A1FBE;(3)线段A1B上是否存在点Q,使A1C平面DEQ?说明理由. 5（2011北京文）（17）（本小题共14分） 如图，在四面体中，点分别是棱推荐精选的中点。（）求证：平面；（）求证：四边形为矩形；（ ）是否存在点，到四面体六条棱的中点的距离相等？说明理由。【解析】：证明：（）因为D，E分别为AP，AC的中点，所以DE/PC。又因为DE平面BCP，所以DE/平面BCP。（）因为D，E，F，G分别为AP，AC，BC，PB的中点，所以DE/PC/FG，DG/AB/EF。所以四边形DEFG为平行四边形，又因为PCAB，所以DEDG，所以四边形DEFG为矩形。（）存在点Q满足条件，理由如下：连接DF，EG，设Q为EG的中点由（）知，DFEG=Q，且QD=QE=QF=QG=EG.分别取PC，AB的中点M，N，连接ME，EN，NG，MG，MN。与（）同理，可证四边形MENG为矩形，其对角线点为EG的中点Q，且QM=QN=EG，所以Q为满足条件的点.6. 在直三棱柱中，.点分别是，的中点，是棱上的动点.推荐精选（）求证：平面；（）若/平面，试确定点的位置，并给出证明.(I) 证明：在直三棱柱中，点是的中点， 1分, 平面 3分平面，即 5分又平面 6分 （II）当是棱的中点时，/平面.7分证明如下:连结,取的中点H，连接, 则为的中位线 ，8分由已知条件，为正方形，为的中点，11分，且四边形为平行四边形 12分又推荐精选/平面 14分7. 如图所示，在正方体中，是棱的中点EABCDB1A1D1C1 （）证明：平面平面；（）在棱上是否存在一点，使/平面？证明你的结论解： （）证明: 因为多面体为正方体，所以；因为，所以 2分 又因为，所以.4分 因为,所以平面平面. 6分（）当点F为中点时，可使/平面. 7分 以下证明之： 易知：/，且， 9分设，则/且, 所以/且， 所以四边形为平行四边形. 所以/. 11分 又因为， 所以/面 （注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!） 推荐精选
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