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立体几何复习学案(三)平行与垂直的判定和性质一、平行关系1.线面平行判定定理:2.线面平行性质定理:3.面面平行判定定理:4.面面平行性质定理:例1、(2009浙江卷文)如图, , 分别为的中点(I)证明:平面; 例2、 正方体,且,求证:EF/平面ABCD例3、 如图,已知棱锥P-ABCD,且ABCD为平行四边形,M、N分别是AB,PC的中点推荐精选(1)求证:CD/平面PAB(2) 求证:MN/平面PADAEBCFSD练习:1、如图,在四棱锥中,底面为正方形,分别为的中点证明:平面; _N_M_A_B_D_C_O2、如图,在四棱锥中,底面四边长为菱形, 为的中点,为的中点证明:直线;例4、如图,在底面 是菱形的四棱锥PABC中,点E是PD的中点.推荐精选DEPBAC证明:PB平面EAC;练习:如图, 在三棱柱ABCA1B1C1中,点D是AB的中点, 求证:AC 1/平面CDB1;例5正方体求证: 推荐精选练习:已知三棱柱,且分别为的中点. 求证:平面平面;二、垂直关系1.线面垂直判定定理:推荐精选2线面垂直性质定理:3.面面垂直判定定理:4.面面垂直性质定理:例1、如图,在底面 是菱形的四棱锥PABC中,ABC=600,PA=AC=a,PB=PD=,点E是PD的中点.DEPBAC证明:PA平面ABCD,PB平面EAC;练习:1、直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=5,AC=4,BC=3,AA1=4,D是AB的中点AA1BCDB1C1()求证:ACB1C; ()求证:AC1平面B1CD;2、如图所示,垂直矩形所在的平面,分别为的中点.() 求证;推荐精选PDCBAEF()求证.3、如图,在直三棱柱中,分别为,的中点,四边形是正方形()求证:平面;()求证:平面4、如图,在底面为平行四边形的四棱锥 PABCD 中,ABAC,PA平面 ABCD,点 E 是 PD 的中点. ()求证:ACPB; 推荐精选()求证:PB/平面 AEC; 5、如图,在四棱锥中,底面为直角梯形,且,侧面底面,. 若.()求证:平面;ABPCDE()设侧棱的中点是,求证:平面.例2、.(2009北京卷文)(本小题共14分)如图,四棱锥的底面是正方形,点推荐精选E在棱PB上.()求证:平面; 练习:1、已知四棱锥的底面是菱形,为的中点()求证:平面;()求证:平面平面2、如图,在直三棱柱中,平面推荐精选侧面.()求证:;3、如图,在直三棱柱中,、分别是、的中点,点在上,。 求证:(1)EF平面ABC; (2)平面平面.4、已知直四棱柱的底面是菱形,且,F为棱的中点, M为线段的中点。推荐精选 求证:直线平面 求证:直线平面(3)求证:平面平面5、在四面体ABCD 中,CB= CD, ADBD,且E ,F分别是AB,BD 的中点,求证:()直线EF 面ACD ;()面EFC面BCD 6、如图,在四棱锥中, 底面是的中点.推荐精选APEBCD(I)证明;(II)证明平面;7、如图,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直, AB=,AF=1,M是线段EF的中点。()求证AM平面BDE;()求证AM平面BDF;8、如图,四棱锥中,底面, 底面为梯形,.,点在棱上,且推荐精选()求证:平面平面;()求证:平面;例3、如图,在三棱锥中,是等边三角形,PAC=PBC=90 ()证明:ABPC()若,且平面平面, 求三棱锥体积。练习:推荐精选1.(2011西城一模文16). (本小题满分13分)ABCDFE如图所示,正方形与直角梯形所在平面互相垂直,.()求证:平面;()求证:平面;()求四面体的体积.2、在棱长为的正方体中,分别为棱,和的中点()求证:平面;()求三棱锥的体积;()试在棱上求一点,使平面3、(2011朝阳二模文17)(本小题满分13分)推荐精选在长方形中,分别是,的中点(如左图).将此长方形沿对折,使平面平面(如右图),已知,分别是,的中点.C1BACAAA1B12ABACAADAEAA1B12AC1()求证:平面;()求证:平面平面; ()求三棱锥的体积.4(2012年高考(北京文)如图1,在RtABC中,C=90,D,E分别是AC,AB上的中点,点F为线段CD上的一点.将ADE沿DE折起到A1DE的位置,使A1FCD,如图2. 推荐精选(1)求证:DE平面A1CB;(2)求证:A1FBE;(3)线段A1B上是否存在点Q,使A1C平面DEQ?说明理由. 5(2011北京文)(17)(本小题共14分) 如图,在四面体中,点分别是棱推荐精选的中点。()求证:平面;()求证:四边形为矩形;( )是否存在点,到四面体六条棱的中点的距离相等?说明理由。【解析】:证明:()因为D,E分别为AP,AC的中点,所以DE/PC。又因为DE平面BCP,所以DE/平面BCP。()因为D,E,F,G分别为AP,AC,BC,PB的中点,所以DE/PC/FG,DG/AB/EF。所以四边形DEFG为平行四边形,又因为PCAB,所以DEDG,所以四边形DEFG为矩形。()存在点Q满足条件,理由如下:连接DF,EG,设Q为EG的中点由()知,DFEG=Q,且QD=QE=QF=QG=EG.分别取PC,AB的中点M,N,连接ME,EN,NG,MG,MN。与()同理,可证四边形MENG为矩形,其对角线点为EG的中点Q,且QM=QN=EG,所以Q为满足条件的点.6. 在直三棱柱中,.点分别是,的中点,是棱上的动点.推荐精选()求证:平面;()若/平面,试确定点的位置,并给出证明.(I) 证明:在直三棱柱中,点是的中点, 1分, 平面 3分平面,即 5分又平面 6分 (II)当是棱的中点时,/平面.7分证明如下:连结,取的中点H,连接, 则为的中位线 ,8分由已知条件,为正方形,为的中点,11分,且四边形为平行四边形 12分又推荐精选/平面 14分7. 如图所示,在正方体中,是棱的中点EABCDB1A1D1C1 ()证明:平面平面;()在棱上是否存在一点,使/平面?证明你的结论解: ()证明: 因为多面体为正方体,所以;因为,所以 2分 又因为,所以.4分 因为,所以平面平面. 6分()当点F为中点时,可使/平面. 7分 以下证明之: 易知:/,且, 9分设,则/且, 所以/且, 所以四边形为平行四边形. 所以/. 11分 又因为, 所以/面 (注:可编辑下载,若有不当之处,请指正,谢谢!) 推荐精选
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