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第四节 函数y=Asin(x+)的图象及三角函数模型的简单应用 三年三年1212考考 高考指数高考指数: :1.1.了解函数了解函数y=Asin(x+y=Asin(x+) )的物理意义，能画出的物理意义，能画出y=Asin(x+y=Asin(x+) )的图象，了解参数的图象，了解参数A A、对函数图象变化的影响对函数图象变化的影响. .2.2.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单的实际问题角函数解决一些简单的实际问题. .1.1.图象的变换规律：平移和伸缩变换在主、客观题中均有考查，图象的变换规律：平移和伸缩变换在主、客观题中均有考查，是高考中考查的重点和热点是高考中考查的重点和热点. .2.2.结合三角恒等变换考查结合三角恒等变换考查y=Asin(x+y=Asin(x+) )的性质及简单应用是的性质及简单应用是考查的热点考查的热点. .1.1.用用“五点法五点法”作函数作函数y=Asin(x+y=Asin(x+)(A0,0)(A0,0)的图象的图象“五点法五点法”作图的五点是在一个周期内的最高点、最低点及与作图的五点是在一个周期内的最高点、最低点及与x x轴相交的三个交点轴相交的三个交点, ,作图时的一般步骤为作图时的一般步骤为: :(1)(1)定点：先确定五点定点：先确定五点. .即令即令x+x+分别等于分别等于得对应的五点为：得对应的五点为：_, _, _，_,_,_._,_,_.(2)(2)作图：在坐标系中描出这五个关键点，用平滑的曲线顺次连作图：在坐标系中描出这五个关键点，用平滑的曲线顺次连接得到接得到y=Asin(x+y=Asin(x+) )在一个周期内的图象在一个周期内的图象. .(3)(3)扩展：将所得图象扩展：将所得图象, ,按周期向两侧扩展可得按周期向两侧扩展可得y=Asin(x+y=Asin(x+) )在在R R上的图象上的图象. .30,222，(,0)2(,A)(,0)32(, A)2(,0)【即时应用即时应用】用五点法作函数用五点法作函数y= y= 在一个周期内的图象时，主要确定在一个周期内的图象时，主要确定的五个点是的五个点是_、_、_、_、_._.sin(x)6【解析解析】分别令分别令可求出可求出x x的值分别为的值分别为又因为又因为A=1,A=1,所以需要确定的五个点为：所以需要确定的五个点为：答案：答案：3x0, ,2 ,62227513,.6363627513(,0),(,1),(,0),(, 1),(,0).6363627513(,0)(,1)(,0)(, 1)(,0).636362.2.三角函数图象的变化规律三角函数图象的变化规律( (其中其中A A0 0，0)0)(1)(1)先平移后伸缩先平移后伸缩y=sinxy=sinx的图象的图象 y=sin(x+y=sin(x+) )的图象的图象 y=sin(x+y=sin(x+) )的图象的图象 y=Asin(x+y=Asin(x+) )的图象的图象 y=Asin(x+y=Asin(x+)+k)+k的图象的图象00_ 向左或向右平移个单位长度011_() 横坐标伸长()或缩短()到原来的纵坐标不变A 10 A 1_() 纵坐标伸长()或缩短()为原来的倍 横坐标不变k 0k 0k 向上()或向下()平移| |个单位长度 1A A (2)(2)先伸缩后平移先伸缩后平移y=sinxy=sinx的图象的图象 y=Asinxy=Asinx的图象的图象 y=Asinxy=Asinx的图象的图象 y=Asin(x+y=Asin(x+) )的图象的图象y=Asin(x+y=Asin(x+)+k)+k的图象的图象A 10 A 1_ 纵坐标伸长()或缩短()为原来的倍(横坐标不变)011_() 横坐标伸长()或缩短()到原来的纵坐标不变00_ 向左()或向右()平移个单位k 0k 0k 向上()或向下()平移| |个单位长度A A 1|【即时应用即时应用】(1)y(1)y 的图象是由的图象是由y ysinxsinx的图象向的图象向_平移平移_个个单位得到的单位得到的. .(2)y(2)y 的图象是由的图象是由y ysinxsinx的图象向的图象向_平移平移_个个单位得到的单位得到的. .(3)y(3)y 的图象是由的图象是由y y 的图象向的图象向_平移平移_个单位得到的个单位得到的. .(4)y= (4)y= 图象是由图象是由y=sin2xy=sin2x的图象向的图象向_平移平移_个单个单位得到的位得到的. .sin(x)4sin(x)4sin(x)4sin(x)4sin(2x)3【解析解析】(1)(2)(3)(1)(2)(3)根据图象变化规律易求根据图象变化规律易求. .(4)y=(4)y=将将y=sin2xy=sin2x的图象向左平移的图象向左平移 个单位长度就得到个单位长度就得到 的图象的图象. .答案：答案：(1)(1)左左 (2)(2)右右 (3)(3)右右 (4)(4)左左sin(2x)sin2(x),36ysin(2x)3442663.3.函数函数y=Asin(x+y=Asin(x+) )的物理意义的物理意义在物理学上，当函数在物理学上，当函数y=Asin(x+y=Asin(x+)(A0,0),x)(A0,0),x0,+)0,+)表示简谐运动时，则表示简谐运动时，则A A叫做叫做_，T= T= 叫做叫做_， 叫做叫做_，x+x+叫做叫做_，x=0 x=0时的相位时的相位叫做叫做_._.振幅振幅周期周期1fT频率频率相位相位初相初相2【即时应用即时应用】如图，它表示电流如图，它表示电流I=Asin(t+I=Asin(t+)(A0,0,|)(A0,0,| | ) )在一在一个周期内的图象个周期内的图象. .试根据图象写出试根据图象写出I=Asin(t+I=Asin(t+) )的解析式：的解析式：_，其频率，其频率f=_.f=_.2【解析解析】由图象知由图象知所以所以 所以所以由由 得得 (kZ),(kZ), 所以所以I= T= I= T= 即即f=f=答案：答案：I=I=1113A3T22050100，63T,100502100T3；10012k350 2k3 |,23 ；1003sin(t)33，350，50.3100503sin(t)333 函数函数y=Asin(x+y=Asin(x+)(A)(A0,0,0)0)的图象的图象 及其图象变换及其图象变换 【方法点睛方法点睛】函数函数y=Asin(x+y=Asin(x+)(A)(A0,0,0)0)的图象的作法的图象的作法(1)(1)五点法五点法: :用用“五点法五点法”作作y=Asin(x+y=Asin(x+) )的简图，主要是通的简图，主要是通过变量代换，设过变量代换，设z=x+z=x+，由，由z z取取 来求出相应的来求出相应的x x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象. .30222， ， (2) (2)图象变换法：由函数图象变换法：由函数y=sinxy=sinx的图象通过变换得到的图象通过变换得到y=Asin(x+y=Asin(x+) )的图象，有两种主要途径：的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩先平移后伸缩”与与“先伸缩后平移先伸缩后平移”. .【提醒提醒】五点作图取值要准确，一般取一个周期之内的；函数五点作图取值要准确，一般取一个周期之内的；函数图象变换要注意顺序，平移时两种平移的单位长度不同图象变换要注意顺序，平移时两种平移的单位长度不同. .【例例1 1】画出函数画出函数y y xRxR的简图的简图. .【解题指南解题指南】作函数作函数y y 的图象可用五点作图或图的图象可用五点作图或图象变换法象变换法. .3sin(2x)3，3sin(2x)3【规范解答规范解答】方法一：五点法方法一：五点法由由T T 得得T T，列表：，列表：x x0 03 30 0-3-30 075612312632x023223sin(2x)322，描点画图：描点画图：将所得图象按周期向两侧扩展可得将所得图象按周期向两侧扩展可得y= y= 在在R R上的图象上的图象. .3sin(2x)3方法二：图象变换法方法二：图象变换法y ysinx ysinx y 将所得图象按周期向两侧扩展可得将所得图象按周期向两侧扩展可得 在在R R上的图象上的图象. .3 左移 个单位sin(x)312ysin(2x)3 纵坐标不变横坐标变为原来的3y3sin(2x)3 纵坐标变为 倍横坐标不变y3sin(2x)3【反思反思感悟感悟】1.1.五点法作图的关键是正确确定五个点五点法作图的关键是正确确定五个点, ,而后而后列表、描点、连线即可列表、描点、连线即可. .要注意在作出一个周期上的简图后，要注意在作出一个周期上的简图后，应向两侧伸展，以表示整个定义域上的图象应向两侧伸展，以表示整个定义域上的图象. .2.2.用图象变换法作图仅能作出简图用图象变换法作图仅能作出简图. .【变式训练变式训练】试述如何由试述如何由y= y= 的图象得到的图象得到y=sinxy=sinx的图的图象象. .【解析解析】方法一：方法一： y=sinxy=sinx1sin(2x)331ysin(2x)33231ysin(x)331ysinx3 横坐标扩大为原来的 倍纵坐标不变图象向右平移 个单位纵坐标不变3 坐大到原的 倍坐不纵标扩来横标变方法二：方法二：(1)(1)先将先将 的图象向右平移的图象向右平移 个单位，得到个单位，得到 的图象；的图象；(2)(2)再将再将 图象上各点的横坐标扩大为原来的图象上各点的横坐标扩大为原来的2 2倍倍( (纵坐纵坐标不变标不变) )，得到，得到 的图象；的图象；(3)(3)再将再将 图象上各点的纵坐标扩大为原来的图象上各点的纵坐标扩大为原来的3 3倍倍( (横坐横坐标不变标不变) )，即可得到，即可得到y=sinxy=sinx的图象的图象. .1ysin(2x)3361ysin2x31ysin2x31ysinx31ysinx3 由图象求解析式由图象求解析式【方法点睛方法点睛】确定确定y=Asin(x+y=Asin(x+)+b(A)+b(A0,0,0)0)的步骤和方法的步骤和方法(1)(1)求求A A，b b，确定函数的最大值，确定函数的最大值M M和最小值和最小值m,m,则则A=A=(2)(2)求求，确定函数的周期，确定函数的周期T T，则可得，则可得=MmMm,b.222.T(3)(3)求求，常用的方法有：，常用的方法有：代入法：把图象上的一个已知点代入代入法：把图象上的一个已知点代入( (此时此时A A，,b,b已知已知) )或或代入图象与直线代入图象与直线y=by=b的交点求解的交点求解( (此时要注意交点在上升区间上此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上还是在下降区间上).).五点法：确定五点法：确定值时，往往以寻找值时，往往以寻找“五点法五点法”中的第中的第一个点为突破口一个点为突破口. .具体如下：具体如下：“第一点第一点”( (即图象上升时与即图象上升时与x x轴的交点轴的交点) )时时x+x+=0;“=0;“第二第二点点”( (即图象的即图象的“峰点峰点”) )时时x+x+= ;“= ;“第三点第三点”( (即图象下即图象下降时与降时与x x轴的交点轴的交点) )时时x+x+=;“=;“第四点第四点”( (即图象的即图象的“谷谷点点”) )时时x+x+= = ；“第五点第五点”时时x+x+=2.=2.【提醒提醒】在求在求时要注意已知中所给的时要注意已知中所给的的范围的范围. .232【例例2 2】(1)(1)如图是函数如图是函数y yAsin(xAsin(x) )2(A2(A0,0,0)0)的的图象的一部分，它的振幅、周期、初相各是图象的一部分，它的振幅、周期、初相各是( )( )4(A)A33643(B)A 13443(C)A 1344(D)A 136 ， ， ， ， (2)(2)如图是函数如图是函数y yAsin(xAsin(x)(A)(A0,0,0)0)的图象的一段，的图象的一段，它的解析式为它的解析式为( )( )2(A)ysin(2x)332x(B)ysin()3242(C)ysin(x)3322(D)ysin(2x)33(3)(3)如图是如图是f(x)f(x)Asin(xAsin(x) )，A A0 0，0,0, 的的一段图象，则函数一段图象，则函数f(x)f(x)的解析式为的解析式为_._.2【解题指南解题指南】由图象确定三角函数由图象确定三角函数y yAsin(xAsin(x) )的解析式，的解析式，首先确定首先确定A A的值，其次根据图象求周期的值，其次根据图象求周期T T，根据周期求，根据周期求；最后；最后根据所给的数据求根据所给的数据求. .【规范解答规范解答】(1)(1)选选C.C.由图象知，由图象知，所以所以 由由 得得当当k=-1k=-1时，时，= =3 1T52A122663， ，43T32， ；332k62252k ,kZ4 ，3.4(2)(2)选选D.D.由图象知由图象知 所以所以T=T=，所以所以=2=2；又由；又由 kZkZ，所以当所以当k=-1k=-1时，时，= =所以所以y=y=2 1AT3 22， ，7322k,12223；22sin(2x).33(3)(3)由图象得由图象得A=2A=2，当，当x=0 x=0时，时，因为因为所以所以= = ，所以由题图可知，所以由题图可知=3.=3.所以所以y=y=答案：答案：y=y=3sin2，2| | ，3293 ，2sin(3x).32sin(3x)3【互动探究互动探究】把本例中把本例中(3)(3)的图象改为如图，其他不变，如何求解？的图象改为如图，其他不变，如何求解？【解析解析】由图象知由图象知 所以所以T=16T=16，则，则= ;= ;由由 kZ,|kZ,| | , ,得得 . .所以函数的表达式所以函数的表达式为：为：1A2T44， ，862k ,8 24y2sin(x).84【反思反思感悟感悟】1 1振幅振幅A A与最值有关；与最值有关；与周期与周期T T有关；初相有关；初相用待定系数法求解用待定系数法求解; ;2 2利用待定系数法解题的过程中选择的点要慎重利用待定系数法解题的过程中选择的点要慎重; ;3 3要善于观察图象，抓住图象的特征要善于观察图象，抓住图象的特征. .【变式训练变式训练】函数函数f(x)=Asin(x+f(x)=Asin(x+)(A)(A0,0,0,|0,| | ) )的部分图象如图所示的部分图象如图所示. .(1)(1)求求，. .(2)(2)求函数的图象的对称轴和对称中心求函数的图象的对称轴和对称中心. .2【解析解析】(1)(1)由图象知由图象知A=1A=1，T=,T=,由由得得| | | ,= =3113T,4126422,T22k,62 2kkZ ,6 2.6(2)(2)由由(1)(1)得得y= y= 由由 得得 , ,函数函数f(x)f(x)的对称轴为的对称轴为 (kZ).(kZ).又由又由 得得x= (kZ),x= (kZ),故对称中心为故对称中心为 (kZ).(kZ).sin(2x),62xk62 kx(kZ)26kx262xk6 k212k(,0)212 三角函数性质的应用三角函数性质的应用【方法点睛方法点睛】函数函数y=Asin(x+y=Asin(x+)(A)(A0,0,0)0)的性质的性质(1)(1)奇偶性奇偶性=k(kZ)=k(kZ)时，函数时，函数y=Asin(x+y=Asin(x+) )为奇函数；为奇函数；= (kZ)= (kZ)时，函数时，函数y=Asin(x+y=Asin(x+) )为偶函数为偶函数. .(2)(2)周期性周期性y=Asin(x+y=Asin(x+) )存在周期性，其最小正周期为存在周期性，其最小正周期为T=T=k22.(3)(3)单调性单调性根据根据y=sinty=sint和和t=x+t=x+的单调性来研究，由的单调性来研究，由x+x+ ,kZ ,kZ得单调增区间；由得单调增区间；由 x+x+ kZ kZ得单调减区间得单调减区间. .2k2 2k22k232k ,2(4)(4)对称性对称性利用利用y ysinxsinx的对称中心为的对称中心为(k(k，0)(kZ)0)(kZ)求解，令求解，令x+x+= =k(kZ),k(kZ),求得求得x.x.利用利用y=sinxy=sinx的对称轴为的对称轴为x= (kZ)x= (kZ)求解求解, ,令令x+x+= = (kZ), (kZ),得其对称轴得其对称轴. .k2k2【例例3 3】已知函数已知函数f(x)=Asin(x+f(x)=Asin(x+)(A0,0,|)(A0,0,| )| )的图的图象与象与y y轴的交点为轴的交点为(0,1)(0,1)，它在，它在y y轴右侧的第一个最高点和第一个轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为最低点的坐标分别为(x(x0 0,2),2)和和(x(x0 0+2,-2)+2,-2)2(1)(1)求求f(x)f(x)的解析式及的解析式及x x0 0的值；的值；(2)(2)求求f(x)f(x)的增区间；的增区间；(3)(3)若若x-,x-,，求，求f(x)f(x)的值域的值域. .【解题指南解题指南】根据已知条件结合图象先求出解析式，再根据解根据已知条件结合图象先求出解析式，再根据解析式求出单调区间和值域析式求出单调区间和值域. .【规范解答规范解答】(1)(1)由图象知由图象知A=2A=2，由，由 得得T=4T=4，所以所以f(0)=2sinf(0)=2sin=1=1，又，又| | |0,0,A0,0,00 )0,-0,-0)f(x)=sinx(0)在区间在区间上单调递增，在区间上单调递增，在区间 上单调递减，则上单调递减，则=( )=( )【解析解析】选选C.C.由由f(x)=sinx(f(x)=sinx(0)0)知其图象过原点，所以知其图象过原点，所以 解得解得0,3,3 2 32(A)3(B)2(C)(D)23T4T433，243，3.22.(20112.(2011安徽高考安徽高考) )已知函数已知函数f(x)=sin(2x+f(x)=sin(2x+) )，其中，其中为实为实数，若数，若f(x) f(x) 对对xRxR恒成立，且恒成立，且 f()f()，则，则f(x)f(x)的的单调递增区间是单调递增区间是( )( )|f( )|6f( )2(A)k,k(kZ)36(B)k ,k(kZ)22(C)k,k(kZ)63(D)k,k (kZ)2【解析解析】选选C.C.由由f(x) f(x) 对对xRxR恒成立知，恒成立知， (kZ)(kZ)，得到，得到 或或 (kZ)(kZ)，代入代入f(x)f(x)并由并由 f()f()检验得，检验得，的取值为的取值为 (kZ)(kZ)，不妨取不妨取 所以所以 计算得单调递增区计算得单调递增区间是间是 (kZ).(kZ).|f( )|622k62 2k6 52k6 f( )252k656，52k2x2k262，2k,k633.(20113.(2011江苏高考江苏高考) )函数函数f(x)=f(x)=Asin(x+Asin(x+)(A,)(A,为常数为常数,A,A0 0，0)0)的部分图象如图所示，则的部分图象如图所示，则f(0)f(0)的值是的值是_._.【解析解析】根据图象可知根据图象可知A= A= ，四分之一周期为，四分之一周期为 所以周期为所以周期为，由，由 根据五点作图法可知根据五点作图法可知 (kZ)(kZ)，解得解得= (kZ),= (kZ),令令k=0k=0得得= = ，所以解析式为所以解析式为 所以所以f(0)=f(0)=答案：答案：214，22T ，7322k122 12k33y2sin(2x)3，6.2624.(20124.(2012佛山模拟佛山模拟) )若函数若函数f(x)= f(x)= 在区间在区间 上的最大值为上的最大值为6,6,(1)(1)求常数求常数m m的值及的值及f(x)f(x)的对称中心的对称中心; ;(2)(2)作函数作函数f(x)f(x)关于关于y y轴的对称图象得函数轴的对称图象得函数f f1 1(x)(x)的图象的图象, ,再把再把f f1 1(x)(x)的图象向右平移的图象向右平移 个单位得个单位得f f2 2(x)(x)的图象的图象, ,求函数求函数f f2 2(x)(x)的单调递的单调递减区间减区间. .23sin2x2cos xm0,24【解析解析】(1)f(x)=(1)f(x)=mf(x)3+m,3+m=6.mf(x)3+m,3+m=6.m=3,f(x)=m=3,f(x)=f(x)f(x)的对称中心为的对称中心为3sin2xcos2x1m 2sin(2x)1m6 712x,sin(2x)1,666262sin(2x)4,6k(,4),kZ.212(2)(2)f f2 2(x)(x)的单调递减区间是的单调递减区间是f(x)2sin(2x)4,612f (x)2sin( 2x)4,62f (x)2sin( 2(x)42sin(2x)4,46322k2x2k,kZ,232 7k ,k,kZ.1212
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