泰州初中数学专业家教供参考

文档供参考，可复制、编制，期待您的好评与关注！ 1.1 等腰三角形的性质和判定第1课时 总 16 课时教学目标：1、经历探索发现猜想证明等腰三角形的性质和判定的过程，初步文字命题的证明方法、基本步骤和书写格式。2、会运用等腰三角形的性质和判定进行有关的计算与简单的证明。3、逐步学会分析几何证明题的方法及用规范的数学语言表述证明过程。教学重点等腰三角形的性质与判定定理的证明教学难点证明过程的书写格式教学过程一、知识回顾1、什么叫证明？什么叫定理？2、证明与图形有关的命题，一般步骤有哪些？3、我们初中数学中，选用了哪些真命题作为基本事实？此外，还有什么被看作是基本事实？设计说明：教师提出问题，回顾旧知识，达到温故而知新的目的，学生以小组为单位讨论交流二、情景创设1、什么叫做等腰三角形？（等腰三角形的定义）你能用刻度尺画一个等腰三角形吗？2、你能画出它的顶角平分线吗？等腰三角形有哪些性质？3、上述性质你是怎么得到的？（不妨动手操作做一做）4、这些性质都是真命题吗？能否用从基本事实出发，对它们进行证明？三、探索活动1、合作与讨论：说明你所画的三角形是等腰三角形。证明：等腰三角形的两个底角相等。2、思考与讨论：说明你所画的是顶角的平分线。怎样证明：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。3、通过上面两个问题的证明，我们得到了等腰三角形的性质定理。定理：等腰三角形的两个底角相等，（简称：“等边对等角”）定理：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，（简称：“三线合一” 设计说明：引导如何证明“等腰三角形的两个底角相学生动手操作，让学生真正成为学习的主人，教师是数学学习的引导者，教师引导学生思考探究，逐步尝试运用说理的方式进行说明，教师引导学生，文字语言，图形语言和几何语言间的互相转换。4、如右图，你能写出上面两个定理的符号语言吗？5、思考与探索等”的逆命题是正确的？要求：（1）写出它的逆命题：_。（2）画出图形，写出已知、求证，并进行证明。6、通过上面的证明，我们又得到了等腰三角形的判定定理：如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，（简称“等角对等边”）。 设计说明：对于三线合一的定理教师完全放手交给学生，在上面定理的基础上，学生自己去分析讨论，成为课堂的主体，还可以锻炼学生的语言表达能力和用规范语言表述证明过程的能力，教师作出适当点评。四、例题讲解已知：如图，EAC是ABC的外角，AD平分EAC，且ADBC.求证：AB=AC分析：要证AB=AC，只需证B=C，由已知EAD=DAC，只需证EAD=B，DAC=C。证明（略）在例题中，如果AB=AC，ADBC，那么AD平分EAC吗？如果结论成立，你能证明吗？你还能得出其他结论吗？设计说明：学生小组间进行活动，交流，然后让学生起来大胆尝试说明，其他同学给予适当补充与说明，最后教师再给予强调与说明，教师适当给学生鼓励，逐步对学生渗透将文字语言转化为图形语言和符号语言。五、随堂练习1、如果等腰三角形的周长为12，一边长为5，那么另两边长分别为_。2、如果等腰三角形有两边长为2和5，那么周长为_。3、如果等腰三角形有一个角等于50，那么另两个_。4、如果等腰三角形有一个角等于120，那么另两个角_。5、在ABC中，A40，当B等于多少度数时，ABC是等腰三角形？设计说明：教师引导学生分析，然后让学生写出证明过程，学生上台板演，小组派代表上台讲解，然后教师针对学生的讲解作出适当点评。针对课堂练习，采取小组间比赛的形式进行，单数组做1，3，5题，双数组做2，4题，学生做，学生讲，教师点评说明。六、小结思考小结1、在本节课中，我们用基本事实又证明了哪些定理。2、在等腰三角形中，底边上的中线，底边上的高，顶角的平分线是常用的辅助线，能通过画辅助线，把一个等腰三角形分成一对全等的三角形。思考实际上，我们以前曾学习过很多图形的知识，（如：直角三角形全等，平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形等）。对于这些图形，我们通过动手操作也得到了它们的性质和判定，在今后的学习中，我们将进一步证明它们的正确性。设计说明：注意教师的总结和理化论。七、板书设计课题 1、等腰三角形的定义 证明1 练习2、等腰三角形的性质 证明2 3、等腰三角形的判定 证明3 教学笔记八、教学反思等腰三角形的性质与判定是本节课重点，通过教学，发现学生对于用符号语言来表述证明过程感到困难，在教学时，应重点强调如何用符号语言来说理，引导点评学生的说理过程，让学生感受符号语言的好处。采用合作探究的方法教学有利于培养学生积极的情感体验和学习动机，有利于激励学生的学习兴趣，点燃学习的热情，变被动学习为自主探究学习，还有利于锻炼学生的学习毅力和意志品格。同时，在此过程中，学生独立思考的学习习惯、合作意识和团队精神均能得到很好的培养。尽量让全体学生学有所获。本节课从总体上看，学生基本掌握了等腰三角形等边对等角及三线合一的性质，学会了等边对等角的运用，较好的完成了教学目的。但我总觉得，这样上课，学习基础较好的学生不能满足，会有吃不饱的感觉。若在课堂教学过程中，尝试分组练习，整体效果可能会好些。1.2 直角三角形全等的判定（1）第2课时 总 16 课时教学目标1、能证明直角三角形全等的“HL”判定定理，进一步理解证明的必要性。2、利用直角三角形全等的“HL”定理解决有关的计算和证明问题。3、初步学会从数学的角度提出问题、理解问题、解决问题。教学重点能证明直角三角形全等的“HL”判定定理；教学难点发展演绎推理的能力教学过程一、情境创设1、三角形全等的条件有哪些？(SAS, ASA, AAS, SSS)2、你认为具备这样条件的两个直角三角形全等吗？为什么？3、还有其它条件能证明两个直角三角形全等吗？(HL)二、探索活动证明：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（ 简写为“HL” ）问题一：你能从基本的事实出发，证明斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等吗？问题二：证明这个结论你有没有困难？说说你准备如何解决这个问题？问题三：如果用“把斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形拼合”的方法来证明“HL”定理，那么：如何拼合？可以拼合成一个什么图形？为什么可以拼合成一个等腰三角形？说说你的证明思路。三、例题教学例1、如下左图：如果C=90，BAC= 30，那么BC = AB，你能证明这个结论吗？分析：可用上题图形，利用等边三角形，也可以取斜边上的中线。还可以作BCD=B 如上右图：用文字表示为：直角三角形中，30所对的直角边等于斜边的一半。证明（略）说明不能作为判定定理, 可作为结论,用于填空和选择例2、如右图，在ABC中，已知D是BC中点，DEAB，DFAC，垂足分别是E、F，DEDF. 求证：AB=AC四、随堂练习1.ABC中，C=90，AD为角平分线，BC=32，BDDC=9 7, 则点D到AB的距离为( ) A.18cm B.16cm C.14cm D.12cm2在ABC内部取一点P使得点P到ABC的三边距离相等，则点P应是ABC的哪三条线交点 （ ）ABCDEF12（A）高 （B）角平分线 （C）中线 （D）边的垂直平分线4已知：如图，AC平分BAD，CEAB于E，CFAD于F，且BCDC.你能说明BE与DF相等吗？5已知：如图，在ABC中，ACB=90，CDAB于D，A=30.求证:BD=AB五、小结思考1、图形的“拆（把一个等腰三角形拆成两个全等的直角三角形）”和“拼（把两个直角三角形拼成一个等腰三角形）”两种方法体现了同一种思想转化思想，即可把待证的问题转化为可证的问题；2、本节课我们证明了一般三角形所不具有的直角三角形的特殊的判定定理、特殊的直角三角形的特殊性质，你还能列举一些关于特殊与一般的例子吗？1.2 直角三角形全等的判定（2）第3课时 总 16 课时教学目标1、学会对角平分线性质定理与判定定理的证明，进一步发展推理证明的意识和能力2、初步掌握用角平分线性质定理与判定定理解决有关问题3、结合具体问题，提高将文字语言转化为符号语言、图形语言的能力教学重点从简单的数学例子中体会反证法的含义教学难点逐步学会分析的思考方法，发展演绎推理能力教学过程一、情境创设证明：角平分线上的点到角的两边的距离相等1、你能用折纸的方法说明“角平分线上的点到角的两边的距离相等“吗？2、你还能用什么方法说明这个结论是正确的？引导学生通过“角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴，折叠得到的折痕（垂线段）重合”来说明二、探索活动证明：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上问题一、“角平分线上的点到角的两边的距离相等”的逆命题是什么？问题二、你人为这个命题是真命题吗？如果正确，如何证明？注意：关注学生能否与角平分线的性质定理有区别的画出图形，并根据图形写出已知和求证。问题三：如果某点到角的两边的距离不相等，那么这个点会在这个角的平分线上吗？为什么？设计说明：不断感受合情推理道贺演绎推理都是人们正确认识事物的重要途径，并且这也是每个学生都能参与的学习活动。会构造一个命题的逆命题，也是获得数学结论的一个途径三、例题教学例1、已知：OC是AOB的平分线，点P在OC上PDOA，PEOB，垂足分别为D、E，求证：PD=PE例2、已知：如图，点P是AOB内部的一点，PDOA于D，PEOB于E，且PD=PE，求证：点P在AOB的平分线上。DOEBPAA例3 如图，ABC的角平分线AD、BE相交与点O。点O到ABC各边的距离相等吗？点O在C的平分线上吗？定理：三角形的3条角平分线交于一点。设计说明：引导学生进一步认识图形的我位置关系与数量关系之间的内在联系，为问题三的思考做铺垫初步渗透反证法四、随堂练习1、如图在ABC中，C=90度，点D在BC上，DE垂直平分AB，且DE=DC求B的度数。3、如图，已知ABC的外角CBD和BCE的平分线相交于点F，求证：点F在DAE的平分线上 4、如图所示， ABC中，AB=AC，M为BC中点，MDAB于D，MEAC于E。求证：MD=ME。6、如图，在ABC中，已知AC=BC，C=900，AD是ABC的角平分线,DEAB,垂足为E，(1)求：如果CD4cm，AC的长。(2)求证:ABACCD。五、小结思考1、本节课我们证明了角平分线的性质定理和逆定理，从中我们可以发现图形有位置关系与数量关系的内在联系。你能说明这种内在的联系吗？2、你认为“在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等。”这个结论成立吗？如果成文，你能证明吗？1.3 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定（1）（平行四边形的性质）第4课时 总 16 课时教学目标1、会证明平行四边形的性质定理及其相关结论2、能运用平行四边形的性质定理进行计算与证明3、在进行探索、猜想、证明的过程中，进一步发展推理论证的能力教学重点平行四边形的性质证明 表达格式的逻辑性 完整性 精炼性教学难点分析 综合 思考的方法教学过程一、情境创设1、根据我们曾经探索得到的平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质，请分别从边、角、对角线等方面进行回忆，在下表相应的空格内打“”平行四边形矩形菱形正方形对边平行对边相等四边相等对角相等4个角是直角对角线互相平分对角线相等对角线互相垂直两条对角线平分两组对角从上面的几种特殊四边形的性质中，你能说说它们之间有什么联系与区别吗？2、如图，图中有_个平行四边形。二、探索活动1、上表中平行四边形的性质中，你能证明哪些性质？2、你认为平行四边形性质中，可以先证明哪一个？为什么?3、证明定理“平行四边形对角线互相平分”。已知，如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，思考与表达怎样想 怎样写要证AO=CO，BO=DO只需证AOBCOD只需证AB=CD只需证ABCCDA求证：AO=CO，BO=DO证明（略）由此证明过程，同时也证明了定理“平行四边形对边相等”、“平行四边形对角相等”，这样我们可得平行四边形的三条性质定理：平行四边形对边相等。平行四边形对角相等。平行四边形对角线互相平分。三、例题教学例1、证明“夹在两条平行线之间的平行线段相等”分析：根据命题先画出相应图形，再由命题与所画图形写出已知、求证，最后根据已知条件写出证明过程。证明（略）例2、已知：如图， ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点。求证：BE=DF分析：可根据证明ABECDF得到结论。证明（略）若将例2中的“E、F分别是AD、BC的中点”改为“AE=AD，CF=BC”，是否还能得到同样的结论？四、随堂练习1ABCD的周长为50cm，且AB: BC = 3:2，则AB=_cm，BC=_cm.；2已知ABCD中，AB=8，BC=10，B=45, ABCD的面积为_.3.在中,AB=AC=5,D是BC上的点,DEAB交AC于点E,DFAC交AB于点F,那么四边形AFDE的周长是 （ ）A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 4.延长平形四边形ABCD的一边AB到E，使BEBD，连结DE交BC于F，若DAB120，CFE135，AB1，则AC 的长为（ ）（A）1（B）1.2（C）（D）1.55.平行四边形ABCD的两条对角线AC与BD相交于O，已知AB=8， BC=6，AOB的周长为18，求AOD的周长。6.已知：如图，ABCD中，BD是对角线，AEBD于E，CFBD于F. 求证：BE=DF.五、小结思考引导学生自我归纳总结：1、平行四边形对边相等，对角相等，邻角互补，对角线互相平分。2、是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心。3、平行线之间的距离处处相等。1.3 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定（2）（矩形的性质）第5课时 总 16 课时教学目标1、认识几种特殊的四边形的性质的联系与区别2、会证明矩形的性质定理及直角三角形斜边上中线的有关性质定理3、能运用矩形的性质定理或有关定理进行简单的计算与证明4、在进行探索、猜想、证明的过程中，能将命题由文字语言转化为图形与符号语言，进一步发展推理论证的能力教学重点矩形的本质属性教学难点矩形性质定理的综合应用教学过程一、情境创设矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质。结合下图说说矩形有哪些平行四边形不具有的特殊性质？你能证明这些性质吗？二、探索活动问题一、观察平行四边形和矩形的对角线把它们所分成的三角形，你有何发现？（引导学生不断地学会从多个角度观察、认识图形，主动地发现和获得新的数学结论，不断地积累数学活动的经验）问题二、证明：矩形的4个角都是直角。 图形：画在下面已知：如图 求证：_ 证明：证明： 矩形的对角线相等。 图形：画在下面已知：如图 求证： 证明：DAOBC问题三、如图， 矩形ABCD，对角线相交于O，图中全等三角形有哪些？ 将目光锁定在RtABC中，你能看到并想到它有什么特殊的性质吗？ 结论： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半你能证明此结论吗？问题四、你对上面的结论还有更多的思考和猜想吗？（引导学生不断学会思考和猜想：由结论进一步能得到什么结论？这个结论的逆命题是否正确。不断发展学生数学思考的能力）三、例题教学例1、已知：如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，且AC=2AB.，求证：AOB是等边三角形分析：利用矩形的性质：矩形的对角线相等且互相平分，结合“AC=2AB”即可证得。证明（略）思考：本题若将“AC=2AB”改为“BOC=120”，你能获得有关这个矩形的哪些结论？四、随堂练习3、已知，在矩形ABCD中，AEBD，E是垂足，DAEEAB=21，求CAE的度数。（1） （2） （3）4、如图2，周长为68的矩形ABCD被分成7个全等的矩形，则矩形ABCD的面积为（ ）（A）98 （B）196 （C）280 （D）2845、如图3，根据实际需要，要在矩形实验田里修一条公路（小路任何地方水平宽度都相等），则剩余实验田的面积为_ _6.已知，如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是OA，OB的中点（1）求证：ADEBCF；（2）若AD=4cm，AB=8cm，求OF的长五、小结思考从位置、形状、大小等不同的角度，观察和比较平行四边形、矩形的对角线把它们分成的三角形的异同，发现并应用直角三角形的判定证明矩形的特殊性质；反过来，我们又利用矩形的性质证明“直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半”。1.3平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定（3）（菱形的性质）第6课时 总 16 课时教学目标1、会归纳菱形的特性并进行证明，能运用菱形的性质定理进行简单的计算与证明2、在进行探索、猜想、证明的过程中，进一步发展推理论证的能力，进一步体会证明的必要性教学重点菱形的性质定理证明教学难点性质定理的运用 生活数学与理论数学的相互转化教学过程一、情境创设1将一张矩形的纸对折再对折，然后沿着图中的虚线剪下，打开，你发现这是一个什么样的图形? 2探索。请你作该菱形的对角线，探索菱形有哪些特征，并填空。(1)边：都相等； (2)对角线：互相垂直。 问题：你怎样发现的?又是怎样验证的? 3概括。特征1：菱形的四条边都相等。特征2：菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角。 4请你折折，观察并填空。 (1)菱形是不是中心对称图形？对称中心是_。 (2)是不是轴对称图形？对称轴有几条？_。学生通过自己的操作、观察、猜想，完全可以得出菱形的特征，这对学生来说是富有意义的活动，学生对此也很感兴趣。从边、对角线入手。可以指名学生到讲台上讲解一下他的结果。引导学生剖析矩形与菱形的区别。二、探索活动问题一、观察平行四边形和菱形的对角线把它们所分成的三角形，你有何发现？ 问题二、证明：菱形的4条边都相等。 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。分析：第一条定理可先用“两组对边分别相等”证明平行四边形，再利用一组邻边相等得证；第二条定理可利用“三线合一”证得。问题三、已知菱形的两条对角线长分别为6和8，由此你能获得有关这个菱形的哪些结论？（可得到边长为5；面积为24）你认为菱形的面积与菱形的两条对角线的长有关吗？如果有关，怎样根据菱形的对角线的计算它的面积？由此可得：菱形的面积等于它的两条对角线长的积的面积。（引导学生不断地学会从多个角度观察、认识图形，主动地发现和获得新的数学结论，不断地积累数学活动的经验）三、例题教学例1、如图3个全等的菱形构成的活动衣帽架，顶点A、E、F、C、G、H是上、下两排挂钩，根据需要可以改变挂钩之间 的距离(比如AC两点可以自由上下活动)，若菱形的边长为13厘米，要使两排挂钩之间 的距离为24厘米，并在点B、M处固定，则B、M之间的距离是多少？分析：可将问题归结到菱形ABCD中研究，求出BD的长即可。可根据菱形的对角线互相垂直平分利用勾股定理求出BD。例2 已知：如图，四边形ABCD是菱形，G是AB上任一点，DF交AC于点E 求证：AGD=CBE分析：结合“全等三角形对应角相等”和“两直线平行，内错角相等”即可得证。四、随堂练习1、如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，如果EF=2，那么ABCD的周长是（ ）A4 B8 C12 D162已知四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，AC=8cm，DB=6cm，菱形的边长是_cm3已知菱形的边长是5cm，一条对角线长为8cm，则另一条对角线长为_cm4菱形ABCD的周长为40cm，两条对角线AC：BD=4：3，那么对角线AC=_cm，BD=_cm五、小结思考引导学生自我归纳总结菱形的性质：1边： 2角： 3对角线： 4有关菱形的计算问题可以化为特殊三角形（直角三角形、等腰三角形），利用它们的性质来计算。教师补充：菱形的对角线把菱形分成等腰三角形和直角三角形，所以解决菱形问题，常常可以转化为等腰三角形或直角三角形问题。1.3 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定（4）（正方形的性质）第7课时 总 16 课时教学目标1、会归纳正方形的特性并进行证明2、能运用正方形的性质定理进行简单的计算与证明3、在进行探索、猜想、证明的过程中，进一步体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用4、在比较、归纳、总结的过程中，进一步体会特殊与一般之间的辩证关系教学重点经历观察、实验、猜想、证明等活动，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力教学难点有条理地、清晰地阐述自己的观点教学过程一、情境创设矩形和菱形都是特殊的平行四边形，那么更加特殊的平行四边形是什么图形？它又有什么特殊性质呢？二、探索活动1、正方形的定义有一组邻边相等，有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 （正方形是在什么前提下定义的？包括哪两层意思？）2、正方形的性质正方形是平行四边形、矩形、菱形这些图形性质的综合，因此正方形有以下性质正方形性质定理1：正方形的对边平行，四条边相等，四个角都是直角。正方形性质定理2：正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。三、例题教学例1、已知：如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O；正方形ABCD的顶点A与点O重合，AB交BC于点E，AD交CD于点F，E是BC的中点。（1）求证：F是CD的中点（2）若正方形ABCD绕点O旋转某个角度后，OE=OF吗？思考：由（1）、（2）可以得到什么结论？（无论正方形ABCD绕点O旋转并与正方形ABCD分别交BC、CD于点E、F，总有OE=OF，BE=CF，EC=FD，两个正方形的重叠部分的面积始终等于正方形ABCD面积的四分之一等等）（第18题）A1A2A3A4四、随堂练习1、如图，将n个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放，点A1、A2、An分别是正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分的面积和为（ ）Acm2 Bcm2 Ccm2 D cm23、已知正方形ABCD。（1）如图1，E是AD上一点，过BE上一点O作BE的垂线，交AB于点G，交CD于点H，求证：BEGH；（2）如图2，过正方形ABCD内任意一点作两条互相垂直的直线，分别交AD、BC于点E、F，交AB、CD于点G、H，EF与GH相等吗？请写出你的结论；（3）当点O在正方形ABCD的边上或外部时，过点O作两条互相垂直的直线，被正方形相对的两边（或它们的延长线）截得的两条线段还相等吗？其中一种情形如图3所示，过正方形ABCD外一点O作互相垂直的两条直线m、n，m与AD、BC的延长线分别交于点E、F，n与AB、DC的延长线分别交于点G、H，试就该图对你的结论加以证明。五、小结思考（1）正方形的性质：（2）本节课我们把探索和解决问题的思路、方法、结论，从特殊情形逐步推广到一般的情形，从而得到一般的结论，这也是我们获得数学结论的一种重要的思想方法。19 / 19