用不动点法求数列通项

用不动点法求数列的通项定义：方程f(x) x的根称为函数f(x)的不动点.利用递推数列f(x)的不动点，可将某些递推关系anf (an 1)所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数列，这种方法称为不动点法定理1 ：若f (x) ax b(a 0,a 1), p是f (x)的不动点，an满足递推关系anf(an 1),(n 1),则 anp a(an 1 p)证明：因为p是f(x)的不动点b p ap 由 an a an 1 b 得 an p a所以anp是公比为a的等比数列.、一 一 ax bte理 2：设 f(x) (c 0,ad bc 0),cx d初值条件a1f(a1 )a(1)：右f (x)有两个相异白不动点 p, q,则 一1(2):若f (x)只有唯一不动点 p ,则 an p证 明 ： 由 f (x) x 得，即anp是公比为a的等比数列an 1 b p a(an 1 p)an满足递推关系anf (an 1), n 1,p. an 1papc、k (这里 k )q an 1qaqc1.2ck (这里k )an 1 pa dax bf(x) x , 所 以cx d2cx (d a)x b 0(1)因为p,q是不动点，所以2cp2cq(d(da)p b a)q ban panaan 1 b can 1 d aan 1 b(apc)anb pdpc(2)can 1更qc(a qc)an 1 b qda qcankOan 1 q因为p是方程cx2(da)x b 。的唯一解,所以cp2所以b2pd cpapa d所以2canaan 1can 1(acp)an 1 b pd(a cp)an 1所以ancpcan 1an 12ca dan p设an满足 a11,an1例2:数列an满足下列关系:3:设函数f(x)2 axa cpananc(an 1ap)2-,na1 2a, anex fbx c /(af(un)确定着数列un,那么当且仅当Xk是f (x)的两个不动点2axkxk exkbxk cpd ba pc,所以qd bqcpd ba pcqd b1a qc(d a)p2cp apcan 1 dd cp22a ana cpa pc an 1 pa qc an 1 q(a cp)(an 1 p)can 1cpa cpan 1 pan 1 p2ca dan的通项公式,a 0,求数列an的通项公式0,e 0)有两个不同的不动点x1，x2，且由b 0,e,un 1 x12a时,上1un 1*2(unxi )2un*22即 c xk f (e a)xkbXk (k 1,2)Un 1XiUn 1X222.aun(bex)un(ea)x1bx1-2-丁；7；2aun(bex?)un(ea)x2bx22aunbun c x1 (eun f)2aunbun c X2(eun f)2aun(b ex)un c x f2-aun(b ex?)un c x2 f于是,xix2方程组有唯一解b 0,e 2a2an2例3：已知数列an中，a1 2,an 1 ,n N，求数列an的通项.2an其实不动点法除了解决上面所考虑的求数列通项的几种情形，还可以解决如下问题42例4：已知a10, a11且an 1，求数列an的通项.an6an 1"2 T-4an (an 1)解：作函数为f (x)42/x 6x 14x(x2 1)，解方程f (x)x得f (x)的不动点为x11, x21,x3逐次迭代后相：an.3. 3 _/i,x4i .取p 1,q1,作如下代换：33n 1n144 1)3 1)4n 14n 122已知曲线Cn:x2 2nx y2(a1 1)4(a1 1)4 0(n 12K ).从点P( 1,0)向曲线Cn弓倒率为kn(kn 0)的切线ln,切点为R(xn,yn).(1)求数列4与丫。的通项公式；(2)证明： x1 x3 x5 L x2n 1j- a/2sin-n,1, 1 xnyn设p, q为实数， 是方程x2 px q 0的两个实根，数列xn满足x1p,2x2 p q , xn pxn 1 qxn 2 ( n 3,4,).(1)证明：p , q ； (2)求1 一数列xn的通项公式；(3)右p 1, q 一，求xn的刖n项和Sn .4已知函数f(x) x2 x 1, 是方程f(x) 0的两个根()，£仪)是£仁)的导数，设4 1, an1 an -fIan1(n 1,2,L ). 1II II I f 1 / / f (an)的值;(1)求（2）证明：对任意的正整数 n ,都有ana（3）记bn ln（n 1,2,L ）,求数列 bn的前n项和Sn an13 陕西文 21 .（本小题满分 12分）已知数列an满足，a1= 1 a22,an+ 2= an an 1 ,n N*.2令bn an 1 an,证明："n是等比数列；（由求an的通项公式。山东文20.（本小题满分12分）等比数列 an的前n项和为Sn,已知对任意的n N ,点（n,Sn）,均在函数y bx r（b 0且b 1,b,r均为常数）的图像上.（1）求r的值；（11）n 1当b=2时，记 bn （n N ） 求数列bn的前n项和Tn 4an