答案控制系统的状态空间描述习题解答

第2章“控制系统的状态空间描述”习题解答系统的结构如图所示。以图中所标记的Xi、x2、X3作为状态变量，推导其状态空间表达式。其中，u、y分别为系统的输入、输出， 1、 2、 3均为标量。u11/S厂rX3+ JL1/S* 1/sX2+ jiXi图系统结构图解图给出了由积分器、放大器及加法器所描述的系统结构图，且图中每个积分 器的输出即为状态变量，这种图形称为系统状态变量图。状态变量图即描述了系统状 态变量之间的关系，又说明了状态变量的物理意义。由状态变量图可直接求得系统的 状态空间表达式。着眼于求和点、，则有：X11X1X2：X22 X2X3:X33X3u输出y为y x1 du，得&a110X10X20a21X20uX00a3X31X1y 100 X2duX3已知系统的微分方程(1)y y4y5y 3u ； (2)2y 3y u u ；(3) y 2y 3y 5y 5u 7u。试列写出它们的状态空间表达式。(1)解选择状态变量y Xi， & X2， y& X3，则有:xX2XX3X5为4x2X33uyXX010X10XX001X20 u状态空间表达式为：X541X33X1y1 00 X2X3(2)解采用拉氏变换法求取状态空间表达式。对微分方程 F取拉氏变换得：2s3Y(s)3sY(s)s2U (s) U(s)Y(s)s2 1l| CXICXI -(/)L| CMU(s)2s3 3s33ss2由公式、可直接求得系统状态空间表达式为&001x2X3X1X2X3(3)解采用拉氏变换法求取状态空间表达式。对微分方程(2)在零初试条件(3)在零初试条件F取拉氏变换得:s3Y(s) 2s2Y(s) 3sY(s) 5Y(s) 5s3U (s) 7U (s)Y(s)5s3 7U (s) s3 2s2 3s 5在用传递函数求系统的状态空间表达式时，一定要注意传递函数是否为严格真有 理分式，即m是否小于n，若m n需作如下处理Y(s)5s3 7510s2 15s 18U(s) s3 2s2 3s 5s3 2s2 3s 5再由公式、可直接求得系统状态空间表达式为&010X10x&001X20 ux&532X31X1y1 00X25uX3已知下列传递函数，试用直接分解法建立其状态空间表达式，并画出状态变量 图。(1)g(s)3s s 132s 6s 11s 6 g(s)s2 2s 3c 2s 2s 3s 131(1)解首先将传函(1)化为严格真有理式即:g(s)Y(s)U(s)26s 10s 5 s3 6s2 11s 61 g (s)令 g (s)即:Y(s)E(s)1 26s 10s5s(s)1 6s 111s2 6s 3(s)16s 111s 26s 3E(s) U(s) 6s1E(s) 11s2E(s) 6s 3E(s)Y (s) 6s 1E(s) 10s 2E(s) 5s 3E(s)由上式可得状态变量图如下：由状态变量图或公式、直接求得能控标准型状态空间表达式&010X10&001X20 u&6116X31X1y=-6-11-6X2uX3解由已知得：2s2 3s31U(s)汽si 3s2 s3Y(s)令：1E(s) U(s)123，1 2s 3s s得：E(s) U(s) 2s 1E(s) 3s2E(s) s 3E(s)Y(s) s1E(s) 2s2E(s) 3s3E(s)状态变量图如下:X&010X10X2001X20 uX3132X31X1y3 21X2X3列写图所示系统的状态空间表达式。图解设x1 (s)% (s)(7) ;X2(s)y2(s)(8)则由系统方框图 P2.10可得：xi(s)cUi(s) X2(s)s a(9)X2(S)U2(S)Xi(s)(10)对式710进行拉氏反变换得)&(t)a/t)CX2(t)CU1 (t)X2(t)dx1 (t)bx2(t)du2(t)%(t)xdt)y2(t)X2(t)则系统状态空间表达式为a cX1c 0u1X2d bX20 du2y110x1y201x2已知系统的状态空间表达式为x51312xu5y12 x4u求其对应的传递函数。解5 12AB，C 1 2，d 431 51g(s) C(sl A) B ds 51sl A3 s 1(slA) 11s 11(s 5)(s 1) 33 s 5g(s) C(sl A) 1B d1s 1121 24(s 2)(s 4)3 s 5 54s2 36s 91s2 6s 8