资源描述
新教材适用·北师大版数学第四章函数应用§1函数与方程11利用函数性质判定方程解的存在(教师用书独具)三维目标1知识与技能(1)了解函数零点的概念，领会方程的根与函数零点之间的关系(2)掌握函数零点存在的方法(3)能结合图像求解函数零点问题2过程与方法通过观察二次函数图像，并计算函数在区间端点上的函数值之积的特点，找到连续函数在某个区间上存在零点的判断方法3情感、态度与价值观在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值进一步拓展了学生的视野，使他们体会到数学当中不同内容之间的内在联系重点难点重点：连续函数在某区间上存在零点的判定方法难点：发现与理解方程的根与函数零点的关系通过对二次函数的图像的研究判断一元二次方程根的存在性以及根的个数建立一元二次方程的根与相应的二次函数的零点的联系，然后由特殊到一般，将其推广到一般方程与相应的函数的情形它既揭示了初中一元二次方程与相应的二次函数的内在联系，也引出对函数知识的总结拓展之后将函数零点与方程的根的关系在利用二分法解方程中加以应用，通过建立函数模型以及模型的求解更全面地体现函数与方程的关系，逐步建立起函数与方程的联系渗透“方程与函数” 思想(教师用书独具)教学建议 教材选取“探究具体的一元二次方程根与其对应二次函数的图像与x轴的交点的横坐标之间的关系”作为内容的入口，其意图是让学生从熟悉的环境中发现新知识，使新知识与原知识形成联系教学时尽量多给学生提供探究情景，让学生自己发现并归纳结论：一元二次方程ax2bxc0(a0)的根就是相应的二次函数yax2bxc(a0)的图像与x轴交点的横坐标值得注意的问题是：对于教材中给出了函数零点的判定定理，只要求学生理解并会用，而不要求学生证明教学流程通过实例分析：判断方程x2x60解的存在性，引出本节课课题抽象概括出函数的零点的定义，根据定义完成例1及其变式训练函数图像从x轴上方到下方或从x轴下方到上方都会穿过 x 轴，即图像连续且有使函数值为零的点的横坐标，那么对应方程一定有解导出函数零点的存在定理，并由此完成例2及其变式训练根据零点存在定理，解决二次函数根的分布问题，完成例3及其变式训练归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正(见学生用书第63页)课标解读1.了解函数零点的概念，领会方程的根与函数零点之间的关系(易混点)2掌握函数零点存在的判定方法(重点)3能结合图像求解零点问题(难点)函数的零点及判定定理【问题导思】给定的二次函数yx22x3，其图像如下：1方程x22x30的根是什么？【提示】方程的根为3,1.2函数的图像与x轴的交点是什么？【提示】交点为(3,0)，(1,0)3方程的根与交点的横坐标有什么关系？【提示】相等4通过观察图像，在每一个与x轴的交点附近，两侧函数值符号有什么特点？【提示】在每一点两侧函数值符号异号1函数的零点(1)定义：函数yf(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点(2)意义：函数yf(x)的零点就是方程f(x)0的解2函数零点的判定定理若函数yf(x)在闭区间a，b上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)<0，则在区间(a，b)内，函数yf(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)0在区间(a，b)内至少有一个实数解.(见学生用书第63页)求函数的零点判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出零点：(1)f(x)；(2)f(x)x22x4；(3)f(x)3x9；(4)f(x)1log3x.【思路探究】求函数yf(x)的零点，即求方程f(x)0的根因此令f(x)0转化为相应的方程，根据方程是否有实数解来确定函数是否有零点【自主解答】(1)因为方程0无实数解，所以函数f(x)无零点(2)令x22x40，由于224×4120，所以方程x22x40无实数解，所以函数f(x)x22x4不存在零点(3)令3x90，则3x9即3x32，则x2，所以函数f(x)3x9的零点是2.(4)令1log3x0，解得x3，所以函数f(x)1log3x的零点是3.1求函数yf(x)的零点，通常转化为解方程f(x)0，若方程f(x)0有实数解，则函数f(x)存在零点，该方程的实数解就是函数f(x)的零点，否则函数f(x)不存在零点2求函数yf(x)的零点通常有两种办法：其一是令f(x)0，根据解方程f(x)0的根求得函数的零点；其二是画出函数yf(x)的图像，图像与x轴的交点的横坐标即为函数的零点(1)函数f(x)4x16的零点为_(2)函数f(x)x的零点的个数是()A0B1C2D3【解析】(1)令4x160，则4x42，解得x2，所以函数的零点为x2.(2)令f(x)0，即x0，x±2，故有两个【答案】(1)x2(2)C判断零点所在区间在下列区间中，函数f(x)ex4x3的零点所在的区间为()A(，0)B(0，)C(，) D(，)【思路探究】依据“函数零点两侧函数值的符号相反”求解【自主解答】f()2<0，f()1>0，零点在(，)上【答案】C1确定函数零点、方程解所在的区间，通常利用函数零点的存在性定理，转化为确定区间两端点对应的函数值的符号是否相反2有时，需要考察函数在区间上是否连续，若要判断零点(或根)的个数，还需结合函数的单调性函数f(x)ln x的零点所在的大致区间是()A(1,2)B(2,3)C(3,4) D(e,3)【解析】f(2)ln 21<0，f(3)ln 3>0，f(2)·f(3)<0.f(x)在(2,3)内有零点【答案】B函数零点的应用当a取何值时，方程ax22x10一个根在(0,1)上，另一个根在(1,2)上【思路探究】分a0，a>0，a<0三种情况讨论列出关于a的不等式，最后求得结果【自主解答】(1)当a0时，方程即为2x10，只有一根，不符合题意(2)当a>0时，设f(x)ax22x1，方程的根分别在区间(0,1)，(1,2)上，即解得<a<1.(3)当a<0时，设方程的两根为x1，x2，则x1·x2<0，x1，x2一正一负不符合题意综上，a的取值范围为(，1)解决二次方程根的分布问题应注意以下几点：1首先画出符合题意的草图，转化为函数问题2结合草图考虑三个方面：(1)与0的大小；(2)对称轴与所给端点值的关系；(3)端点的函数值与零的关系3写出由题意得到的不等式4由得到的不等式去验证图像是否符合题意，这类问题充分体现了函数与方程的思想，也体现了方程的根就是函数的零点在写不等式时，就以上三个方面，要注意条件的完备性设函数f(x)ax3a1(a0)在2,1上存在一个零点，求实数a的取值范围【解】f(x)ax3a1(a0)在2,1上为单调函数，且存在一个零点，f(2)·f(1)0，即(a1)(4a1)0，即或1a.因此，实数a的取值范围是1，.函数与方程的思想在图像交点问题中的应用设函数yx3与y()x2图像的交点为(x0，y0)，则x0所在区间为()A(0,1)B(1,2)C(2,3) D(3,4)【思路点拨】首先构造函数f(x)x3()x2，然后可转化为判断函数的零点所在的区间【规范解答】令f(x)x3()x2，由基本初等函数单调性知f(x)在R上是增函数f(0)4，f(1)1()121，f(2)817，f(1)·f(2)<0，故函数f(x)的零点在区间(1,2)内，即函数yx3与y()x2图像的交点在区间(1,2)内【答案】B判断两函数h(x)，g(x)图像的交点所在的区间，常通过构造函数将问题转化为求函数f(x)h(x)g(x)的零点所在的区间1判断函数零点个数的方法有以下几种：(1)转化为求方程的根，能直接解出，如一次、二次函数零点问题；(2)画出函数的图像，由与x轴交点的个数判断出有几个零点；(3)利用零点存在性定理，但要注意条件，而结论是至少存在一个零点，个数有可能不确定；(4)利用函数与方程的思想，转化为两个简单函数的图像的交点2函数的零点的作用：(1)解决根的分布问题；(2)已知零点的存在，求字母参数的范围(见学生用书第65页)1函数yx22x3的零点和顶点的坐标为()A3,1；(1，4)B3，1；(1,4)C3,1；(1，4) D3,1；(1，4)【解析】令x22x30，得x3或1，将yx22x3配方可知顶点坐标为(1，4)【答案】D2若x0是函数f(x)ln x2x6的零点，则x0属于区间()A(1,2) B(2,3)C(3,4) D(4,5)【解析】由于f(2)ln 22<0，f(3)ln 3>0.且函数f(x)在2,3上连续，所以f(x)的零点x0所属区间是(2,3)【答案】B3函数y2x24x3的零点个数是()A0 B1C2 D不能确定【解析】由于方程2x24x30的162440>0，所以函数有两个零点【答案】C4若函数yax2x1只有一个零点，求实数a的值【解】(1)当a0时，函数为yx1，显然该函数的图像与x轴只有一个交点，即函数只有一个零点(2)当a0时，函数yax2x1是二次函数因为yax2x1只有一个零点，所以关于x的方程ax2x10有两个相等的实数根，所以0，即14a0，解得a.综上所述，a的值为0或.(见学生用书第121页)一、选择题1yx1的图像与x轴的交点坐标及其零点分别是()A1，(1,0)B(1,0)，0C(1,0)，1 D1,1【解析】由yx10，得x1，故交点坐标为(1,0)，零点是1.【答案】C2若函数f(x)x22xa没有零点，则实数a的取值范围是()Aa<1 Ba>1Ca1 Da1【解析】由题意知，44a<0，a>1.【答案】B3(2013·延安高一检测)函数f(x)ex的零点所在的区间是()A(0，) B(，1)C(1，) D(，2)【解析】f()e2<0，f(1)e1>0，f()·f(1)<0，f(x)ex的零点所在的区间是(，1)【答案】B4设f(x)在区间a，b上是连续的单调函数，且f(a)·f(b)<0，则方程f(x)0在闭区间a，b内()A至少有一实根 B至多有一实根C没有实根 D必有唯一实根【解析】由题意知，函数f(x)在a，b内与x轴只有一个交点，即方程f(x)0在a，b内只有一个实根【答案】D5已知函数yf(x)的图像是连续的，有如下的对应值表：x123456y123.5621.457.8211.4553.76128.88则函数yf(x)在区间1,6上的零点至少有()A2个B3个 C4个D5个【解析】f(2)·f(3)<0，f(3)·f(4)<0，f(4)·f(5)<0，f(x)在区间(2,3)，(3,4)，(4,5)内至少各有一个零点，故f(x)在区间1,6上的零点至少有3个【答案】B二、填空题6(原创题)函数f(x)kx2x在(0,1)上有零点，则实数k的取值范围是_【解析】f(0)1，f(1)k2，由于f(0)·f(1)<0，则(k2)<0.k>2.【答案】(2，)7若函数f(x)axb只有一个零点2，那么函数g(x)bx2ax的零点是_【解析】由题意知2ab0，b2a，g(x)2ax2axax(2x1)，令g(x)0得x0或x.【答案】0，8方程log2x2x2的实数解的个数为_【解析】方程log2x2x2可变形为log2xx22，构造函数f(x)log2x，g(x)x22，画这两个函数的图像，由交点个数可知方程解的个数为2.【答案】2三、解答题9求函数yax2(2a1)x2(aR)的零点【解】令y0并化为：(ax1)(x2)0.当a0时，函数为yx2，则其零点为x2.当a时，则由(x1)(x2)0，解得x1,22，则其零点为x2.当a0且a时，则由(ax1)(x2)0，解得x或x2，则其零点为x或x2.10函数f(x)ln xx2a有一个零点在(1,2)内，求a的取值范围 【解】函数f(x)ln xx2a在区间(1,2)上是单调递增的，由题意知f(1)·f(2)0，即(ln 11a)·(ln 24a)0，解得1a4ln 2.故a的取值范围为(1,4ln 2)11关于x的方程mx22(m3)x2m140有两实根，且一个大于4，一个小于4，求实数m的取值范围【解】令g(x)mx22(m3)x2m14.依题意得或即或解得<m<0.故实数m的取值范围为(，0).(教师用书独具)若函数f(x)x22ax2在区间0,4上至少有一个零点，求实数a的取值范围【思路探究】至少有一点零点包含有一个或有两个零点【自主解答】因为函数f(x)x22ax2在区间0,4上至少有一个零点，当函数在该区间内只有一个零点时，由右图知，f(0)·f(4)<0或4a280，即2(188a)<0或a22，解得a>或a；当函数在该区间内有两个不同零点时，必须满足即解得<a.综上所述，a的取值范围是a|a1本题易直接利用f(0)·f(4)<0，错解得a>.2连续函数f(x)在闭区间a，b上，若满足f(a)·f(b)<0，则在区间(a，b)内至少有一个零点，反之不一定成立已知二次函数f(x)满足：f(0)3；f(x1)f(x)2x.(1)求函数f(x)的解析式；(2)令g(x)f(|x|)m(mR)，若函数g(x)有4个零点，求实数m的范围【解】(1)设f(x)ax2bxc(a0)，f(0)3，c3，f(x)ax2bx3.f(x1)a(x1)2b(x1)3ax2(2ab)x(ab3)，f(x)2xax2(b2)x3，f(x1)f(x)2x，解得a1，b1，f(x)x2x3.(2)由(1)，得g(x)x2|x|3m，在平面直角坐标系中，画出函数g(x)的图像，如图所示，由于函数g(x)有4个零点，则函数g(x)的图像与x轴有4个交点由图像得解得3<m<，即实数m的范围是(3，)人物介绍阿贝尔阿贝尔1802年8月5日出生在挪威芬德的一个小村庄里阿贝尔的父亲是村子里的穷牧师，是一个有文化的人阿贝尔的小学教育基本上是由父亲来完成的，因为他们没有钱，请不起家庭教师霍姆伯厄是一个称职但决不是很有才气的数学家阿贝尔很喜欢这个教师，他发现数学并不像以前那样枯燥无味在短期内他学了大部分的初级数学，过了不久他自己读法国数学家泊松的作品，念德国数学家高斯的书，特别是拉格朗日的书他已经开始研究几门数学分支，包括高斯的(算术研究)在中学的最后一年，阿贝尔开始了他第一个抱负不凡的冒险试图解决一般的五次方程我们知道一元一次方程axb0(a0)的根是x，一元二次方程的两个根可以用公式表示，一元三次方程的根也可以用公式表示求一元四次方程的根的公式是十六世纪的热门话题，后来被意大利的数学家Ferro.Tartaglia.Cardeno和Ferrari解决了在以后的几百年里，数学家们摸索找寻一元五次或者更高次方程的根的一般方式阿贝尔考虑后不久，他觉得得到了答案，可是教师霍姆伯厄看不懂，便去大学找他的汉斯丁教授看，在挪威没有人能了解他的东西于是汉斯丁教授把他的手稿寄给丹麦最著名的数学家达根达根教授也看不出阿贝尔的论证有什么错误的地方，他要求阿贝尔用一些实际的例子来说明他的方法对阿贝尔来说，幸运的是这位数学家要求进一步的详细说明，而没有就解答是否正确提出自己的意见阿贝尔这时发现了他的推理中的缺陷这个想象的解答当然根本不是正确的解答这次失败给了他一个非常有益的打击，把他推上了正确的途径，使他怀疑一个代数解是否是可能的后来他证明了一元五次方程不可解那时他大约十九岁12利用二分法求方程的近似解(教师用书独具)三维目标1知识与技能(1)理解二分法求方程近似解的算法原理，进一步理解函数与方程的关系(2)掌握二分法求方程近似解的一般方法，能借助计算器求方程的近似解(3)培养学生探究问题的能力、合作交流的态度以及辩证思维的能力2过程与方法(1)通过对生产、生活实例的介绍使学生体验逼近的思想和二分法的思想(2)通过具体实例和具体的操作步骤体验算法的程序化思想3情感、态度与价值观(1)通过二分法的生活实例使学生体会到数学的应用价值，激发学生学习数学的兴趣(2)体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一重点难点重点：用“二分法”求方程的近似解难点：对二分法概念的理解，对精确度的理解求方程近似解一般步骤的概括和理解本课教学重点和难点都是结合函数的图像特征、借助计算器用二分法求方程的近似实数解，这是由本课教学的首要任务决定的突破难点的关键：明确要求，分散难点具体做法是：对计算器的使用要求仔细、认真；对用框图表示二分法处理问题的过程要强调清晰、可执行，准确把握终止条件. (教师用书独具)教学建议 教材以求具体方程的近似解为例介绍二分法并总结其实施步骤等，体现了从具体到一般的认知过程教学时，要注意让学生通过具体的实例来探究、归纳、概括所发现的结论和规律，并用准确的数学语言表述出来值得注意的是在利用二分法求方程近似解的过程中，由于数值计算较为复杂，因此对获得给定精确度的近似解增加了困难，要解决这一困难，需要恰当地使用信息技术工具教学流程以实际问题为背景，以学生感觉较简单的问题入手，激活学生的思维利用计算机演示用二分法思想解决实际问题，通过演示让学生初步体会二分法的算法思想与方法通过实例归纳出二分法的概念并完成例1及其变式训练师生互动，归纳总结用二分法求函数的零点近似值的步骤用二分法求方程的近似解，完成例2及其变式训练利用二分法解决实际问题中的应用，完成例3及其变式训练归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正(见学生用书第65页)课标解读1.根据具体函数的图像，借助计算器用二分法求相应方程的近似解(重点)2学习利用二分法求方程近似解的过程和方法(难点)二分法【问题导思】在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障这是一条10 km长的线路，如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多每查一点要爬一次电线杆子，10 km长，大约有200多根电线杆子(如图)：1维修线路的工人师傅怎样工作最合理？【提示】首先从AB的中点C查，随带话机向两端测试，若发现AC正常，断定故障在BC段，再取BC中点D，再测CD和BD.2在有限次重复相同的步骤下，能否最快地查出故障【提示】能1二分法对于图像在区间a，b上连续不断且满足f(a)·f(b)0的函数yf(x)，每次取区间的中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的方法称为二分法2用二分法求方程的近似解的过程在图中：“初始区间”是一个两端函数值反号的区间；“M”的含义是：取新区间，一个端点是原区间的中点，另一端是原区间两端点中的一个，新区间两端点的函数值反号；“N”的含义是：方程解满足要求的精度；“P”的含义是：选取区间内的任意一个数作为方程的近似解.(见学生用书第66页)二分法的理解下列函数图像与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是()【思路探究】解答本题可结合二分法的概念，判断是否具备使用二分法的条件【自主解答】利用二分法求函数零点必须满足零点两侧函数值异号在B中，不满足f(a)·f(b)<0，不能用二分法求零点，由于A、C、D中零点两侧函数值异号，故可采用二分法求零点故选B.【答案】B若函数yf(x)同时满足下列三个条件：1函数f(x)在闭区间a，b上的图像是一条连续曲线；2函数f(x)在区间(a，b)上有唯一的零点；3f(a)·f(b)<0.则用二分法一定能够求出函数yf(x)的零点下列函数中能用二分法求零点的是()【解析】选项A中，函数无零点，选项B、D不符合用二分法求函数的零点的条件，不能用二分法求零点，选项C可用二分法求函数的零点【答案】C用二分法求方程的近似解求方程lg x2x10的一个实数解(精度为0.1)【思路探究】先构造函数f(x)lg x2x1，确定一个恰当的区间作为计算的初始区间，再利用二分法求出方程的一个实数解【自主解答】令f(x)lg x2x1，函数f(x)的定义域为(0，)因为函数f(x)在(0，)上是增函数(证明略)，所以f(x)至多有一个零点又因为f(1)0.50，f(0.1)0.933 032 9910，所以方程在0.1,1内有唯一的一个实数解使用二分法求解，如下表：次数左端点左端点函数值右端点右端点函数值区间长度第1次0.10.933 032 99110.50.9第2次0.10.933 032 9910.550.057 342 5610.45第3次0.3250.286 415 0250.550.057 342 5610.225第4次0.437 50.097 435 0150.550.057 342 5610.1125第5次0.493 750.016 669 3240.550.057 342 5610.056 25至此，区间0.493 75,0.55的区间长度为0.056 25，它小于0.1，因此，我们可以选取这一区间的任意一个数作为方程lg x2x10的近似解例如选取0.5作为方程lg x2x10的近似解用二分法求函数零点(方程实数解)的近似值，首先要选好计算的初始区间，这个区间既要符合条件，又要使长度尽量小；其次，要依据题目给定的精度，及时检验计算所得到的区间是否满足这一精度，以决定是否停止计算求方程x3x10在区间1,1.5内的一个实数解(精度为0.1)【解】记f(x)x3x1，因为f(1)1<0，f(1.5)0.875>0，所以方程x3x10在区间1,1.5内有实数解利用二分法得到方程x3x10有解区间的表：次数左端点左端点函数值右端点右端点函数值区间长度第1次111.50.8750.5第2次1.250.296 8751.50.8750.25第3次1.250.296 8751.3750.224 609 3750.125第4次1.312 50.051 513 6711.3750.224 609 3750.062 5至此，我们得到，区间1.312 5,1.375的区间长度为0.062 5，它小于0.1.因此，我们可以选取这一区间内的任意一个数作为方程x3x10的一个近似解例如，选取1.33作为方程x3x10的一个近似解二分法的实际应用如图411，有一块边长为15 cm的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x cm的小正方形，然后折成一个无盖的盒子图411(1)求出盒子的体积y以x为自变量的函数解析式，并讨论这个函数的定义域；(2)如果要做成一个容积是150 cm3的无盖盒子，那么截去的小正方形的边长x是多少？(精确度为0.1)【思路探究】先求出体积y关于x的函数，再用二分法求近似解【自主解答】(1)盒子的体积y以x为自变量的函数解析式为y(152x)2x，其定义域为x|0<x<7.5；(2)如果要做成一个容积是150 cm3的无盖盒子，那么有方程(152x)2x150.令f(x)(152x)2x150，函数图像如图所示由图像可以看到，函数f(x)分别在区间0,1和4,5内各有一个零点，即方程(152x)2x150分别在区间0,1和4,5内各有一个解下面用二分法求方程在0,1上的近似解如下表：次数左端点左端点函数值右端点右端点函数值区间长度第1次01501191第2次0.5521190.5第3次0.7513.311190.25第4次0.7513.310.8753.620.125第5次0.812 54.650.8753.620.062 5至此，我们得到区间0.812 5,0.875的区间长度为0.062 5，它小于0.1，因此我们可以选取这一区间内的任意一个数作为方程的一个近似解，例如选取x00.82作为方程的近似解同理可得方程在区间(4,5)内精确度为0.1的近似解为4.72.答：如果要做成一个容积是150 cm3的无盖盒子，截去的小正方形的边长大约是0.82 cm或4.72 cm.二分法在实际生活中经常用到如在平时的线路故障、气管故障等检查中，可以利用二分法较快地得到结果还可用于实验设计、资料查询等方面在用二分法解决实际问题时，应考虑两个方面：一是转化为方程的根或函数的零点；二是逐步缩小范围，逼近问题的解电视台有一档节目是这样的：主持人让选手在限定时间内猜某一物品的售价，如果猜中，就把物品奖给选手某次猜一种品牌的手机，手机价格在5001 000元之间，选手开始报价：1 000元，主持人说：高了紧接着报价900元，高了；700元，低了；880元，高了；850元，低了；851元，恭喜你，猜中了表面上看猜价格具有很大的碰运气的感觉，实际上，游戏报价过程体现了“逐步逼近”的思想，你能设计出可行的猜价方案来帮助选手猜价吗？【解】取价格区间500,1 000的中间值750，如果主持人说低了，就再取750,1 000的中间值875，否则取另一个区间500,750的中间值；若遇到中间值为小数，则取整数部分，按照这种方案，游戏过程猜价如下：750,875,812,843,859,851，大约经过6次可以猜中价格.函数与方程的思想在二分法中的应用(12分)用二分法求的近似值(精确度0.1)【思路点拨】本题要求的近似值，可首先把确定为某方程的解，再用二分法求方程的解的近似值【规范解答】设x，则x25，即x250，令f(x)x25.因为f(2.2)0.16<0，2分f(2.4)0.76>0，所以f(2.2)·f(2.4)<0，说明这个函数在区间(2.2,2.4)内有零点x0.4分取区间(2.2,2.4)的中点x12.3，则f(2.3)0.29.6分因为f(2.2)·f(2.3)<0，x0(2.2,2.3)8分再取区间(2.2,2.3)的中点x22.25，f(2.25)0.062 5.因为f(2.2)·f(2.25)<0，所以x0(2.2,2.25).10分由于|2.252.2|0.05<0.1，所以的近似值可取为2.25.12分1对精确度的理解要正确，精确度满足的关系为|ab|<，而不是|ab|或|f(a)f(b)|<.2解此类问题时，要看清题目要求的精确度，它决定着二分法步骤的结束1二分就是平均分成两部分，二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点2能使用二分法求方程近似解的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用3求函数零点的近似值时，所要求的精度不同，得到的结果也不相同.(见学生用书第67页)1下列关于函数f(x)，xa，b的命题中，正确的是()A若x0a，b且满足f(x0)0，则x0是f(x)的一个零点B若x0是f(x)在a，b上的零点，则可以用二分法求x0近似值C函数f(x)的零点是方程f(x)0的根，但f(x)0的根不一定是函数f(x)的零点D用二分法求方程的根时，得到的都是近似解【解析】使用“二分法”必须满足“二分法”的使用条件B不正确；函数f(x)的零点f(x)0的根，C不正确；用二分法求方程的根时，得到的也可能是精确解，D不正确，只有A正确【答案】A2函数f(x)的图像是连续不断的曲线，在用二分法求方程f(x)0在(1,2)内近似解的过程中得f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的解所在区间为()A(1.25,1.5)B(1,1.25)C(1.5,2) D不能确定【解析】由于f(1.25)·f(1.5)<0，则方程的解所在区间为(1.25,1.5)【答案】A3求方程x32x50在区间(2,3)内的实根，取区间中点x02.5，那么下一个有根区间是_【解析】令f(x)x32x5，由于f(2)84510，f(3)276516，f(2.5)0，故下一个有根区间是(2,2.5)【答案】(2,2.5)4求方程ln xx30在(2,3)内的近似解(精度为0.1)【解】令f(x)ln xx3，即求函数f(x)在(2,3)内的零点因为f(2)ln 21<0，f(3)ln 3>0，即(2,3)作为初始区间，用二分法列表如下：次数左端点左端点函数值右端点右端点函数值第1次20.306 8531.098 61第2次20.306 852.50.416 29第3次20.306 852.250.060 93第4次2.1250.121 232.250.060 93第5次2.187 50.029 742.250.060 93至此，我们得到区间2.1875,2.25的区间长度为0.062 5，它小于0.1.因此，我们可以选取这一区间内的任意一个数作为方程ln xx30的一个近似解，例如，选取2.2作为方程ln xx30的一个近似解(见学生用书第123页)一、选择题1下列函数图像与x轴均有交点，但不宜用二分法求函数的零点的是()【解析】由二分法的定义可知，B项符合题意【答案】B2若函数f(x)x3x22x2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如表：f(1)2f(1.5)0.625f(1.25)0.984f(1.375)0.260f(1.438)0.165f(1.406 5)0.052那么方程x3x22x20的一个近似根(精确度0.1)为()A1.21B1.31C1.41D1.51【解析】由表知f(1.438)>0，f(1.406 5)<0，且区间1.4065,1.438的区间长度为0.031 5，它小于0.1，因此我们可以选取这个区间的任意一个数为方程的近似根【答案】C3在用二分法求函数f(x)在区间(a，b)上的唯一零点x0的过程中，取区间(a，b)上的中点c，若f(c)0，则函数f(x)在区间(a，b)上的唯一零点x0()A在区间(a，c)内 B在区间(c，b)内C在区间(a，c)或(c，b)内 D等于【解析】因为f(x)在区间(a，b)上的零点唯一，又f(c)0，故零点为c.【答案】D4用二分法可以求得方程x350的近似解(精度为0.1)为()A1.5 B1.8 C1.6 D1.7【解析】令f(x)x35，易知f(2)3<0，f(1)4>0，所以可取2，1为初始区间，用二分法逐次计算即得方程的近似解为1.7.【答案】D5函数y()x与函数ylg x的图像的交点的横坐标(精确度0.1)约是()A1.5 B1.6 C1.7 D1.8【解析】设f(x)lg x()x，经计算f(1)<0，f(2)lg 2>0，所以方程lg x()x0在1,2内有解应用二分法逐步缩小方程实数解所在的区间，可知选项D符合要求【答案】D二、填空题6(2013·包头高一检测)求方程x32x50在区间(2,3)内的实根，取区间中点x02.5，那么下一个有根区间是_【解析】f(x)x32x5，f(2)<0，f(3)>0，f(2.5)>0，则f(2)·f(2.5)<0，即下一个有根区间是(2,2.5)【答案】(2,2.5)7已知图像连续不断的函数yf(x)在区间(0,0.1)上有唯一零点，如果用二分法求这个零点(精确度为0.01)的近似值，则应将区间(0,0.1)等分的次数至少为_【解析】设等分的最少次数为n，则由<0.01，得2n>10，n的最小值为4.【答案】48若函数f(x)唯一的零点在区间(1,3)或(1,4)或(1,5)内，则函数f(x)的零点在(1,2)或(2,3)内；函数f(x)在(3,5)内无零点；函数f(x)在(2,5)内有零点；函数f(x)在(2,4)内不一定有零点；函数f(x)的零点必在(1,5)内以上说法错误的是_(将标号填在横线上)【解析】由于三个区间是包含关系，而(1,5)范围最大，零点位置可能在区间(1,5)的任何一个子区间内，错误【答案】三、解答题9求出函数F(x)x5x1的零点所在的大致区间【解】函数F(x)x5x1的零点即方程x5x10的根由方程x5x10，得x5x1，令f(x)x5，g(x)x1.在同一平面直角坐标系中，函数f(x)与g(x)的图像如图所示，显然它们只有1个交点两函数图像交点的横坐标就是方程的解又F(1)1<0，F(2)29>0，函数的零点在区间(1,2)内10求方程log3xx5的一个实数解(精度为0.1)【解】构造函数f(x)log3xx5，经计算，f(5)log35551.464 973 521>0，f(9)log39952<0，所以方程log3xx5在区间5,9内有解如此下去，得到方程log3xx5有解区间的表：次数左端点左端点函数值右端点右端点函数值区间长度第1次51.464 973 521924第2次51.464 973 52170.228 756 252第3次60.630 929 75370.228 756 251第4次6.50.203 787 76570.228 756 250.5第5次6.50.203 787 7656.750.011 859 5070.25第6次6.6250.096 126 186.750.011 859 5070.125第7次6.687 50.042 173 096.750.011 859 5070.062 5至此，我们得到区间6.687 5,6.75的区间长度为0.062 5，它小于0.1.因此，我们可以选取这一区间内的任意一个数作为方程log3xx5的一个近似解例如，选取6.7作为方程log3xx5的一个近似解11求函数f(x)2x33x1零点的个数【解】用计算器或计算机作出x，f(x)的对应值表(如下表)和图像(如下图).x1.510.500.511.5f(x)1.2522.2510.2503.25由上表和上图可知，f(1.5)<0，f(1)>0，即f(1.5)·f(1)<0，说明这个函数在区间(1.5，1)内有零点同理，它在区间(0,0.5)内也有零点另外，f(1)0，所以1也是它的零点，由于函数f(x)在定义域(，1.5)和(1，)内是增函数，在1.5,1内是减函数所以它共有3个零点.(教师用书独具)已知函数f(x)3ax22bxc，abc0，f(0)>0，f(1)>0.(1)求证：a>0；(2)利用二分法证明函数f(x)在0,1内有两个零点【思路探究】(1)利用已知abc0，且f(0)>0，f(1)>0可得a>0；(2)只需在0,1内找到一个点的函数值小于零即可【自主解答】(1)f(1)>0，3a2bc>0，即3(abc)b2c>0.abc0，b2c>0，则bc>c，即a>c.f(0)>0，c>0，则a>0.(2)在0,1内选取二等分点，则f()abca(a)a<0.f(0)>0，f(1)>0，f(x)在区间0，和，1内分别存在一个零点，又二次方程f(x)0最多有两个实根，f(x)在0,1内有两个零点1本题中，若f()<0不成立，可计算f()是否为负，若还不成立，再计算f()是否为负，总之，在区间0,1内找到一个分点，使相应函数值小于零即可2二分法采用“逐步逼近”的思想，是一种重要的计算方法，在求方程的根、函数的零点以及现实生活中都有十分重要的应用已知关于x的方程ax2bxc0，其中2a3b6c0.(1)当a0时，求方程的根；(2)当a>0时，求证：方程有一根在0和1之间【解】(1)当a0时，3b6c0，所以b2c，方程为bxc0，x，从而可得x.(2)证明当a>0时，b24ac(a2c)24aca2ac4c2(ac)23c2>0，方程ax2bxc0有两个根令f(x)ax2bxc，当c<0时，f(0)c<0，f(1)abc，由2a3b6c0，得ba2c.f(1)aa2ccac>0.f(0)·f(1)<0，故f(x)0有一根在(0,1)内；当c>0时，f()abc，ba2c，f()a(a2c)c，即f()aacca.由a>0知，f()<0，由c>0知f(0)c>0.f(0)·f()<0.故f(x)0有一根在(0，)内；当c0时，其根(0,1)由知，当a>0时，方程ax2bxc0有一根在(0,1)内探求新知迭代法求方程的近似解若函数yf(x)在区间a，b内的图像是一条连续的曲线，且在区间端点的函数值满足f(a)f(b)<0，则由零点存在定理可知在区间(a，b)内存在x0使f(x0)0，并且可用二分法求出x0的近似值另外，在求方程f(x)0在区间a，b内的解时，可将方程f(x)0转变为x(x)，在区间(a，b)内任取一值x1，由递推关系xn1(xn)可得一数列xn若所得数列随着n的增大 xn1逐渐地趋向于一定值x0，则数列(xn)随着n的增大(xn)逐渐地趋向于一定值(x0)，所以有x0(x0)，即x0为方程f(x)0的解则当n很大时可用xn近似地代替方程的解，像这种不断地通过递推关系式进行迭代求方程的近似解的方法称为迭代法例如：用迭代法求方程x3x10在区间1,2内的近似解(精确度为0.01)【解析】由方程x3x10，可得x，在区间1,2内取x11，由迭代公式xn1可得下表：x1x2x3x4x5x6x7x811.259 921.312 291.322 351.324 271.324 631.324 701.324 71从表可看出第五项起后几项前四位均一样，所以方程的解的近似值为x01.32.§2实际问题的函数建模21实际问题的函数刻画22用函数模型解决实际问题23函数建模案例(教师用书独具)三维目标1知识与技能(1)了解函数模型的应用，体会函数模型在解决实际问题中的应用(2)掌握求解函数应用题的基本步骤2过程与方法(1)对于理想状态下的数据特点，引导学生根据它的实际意义抽象出函数模型，并注意变量的变化范围(2)针对实际测量得到的数据利用计算器，画出散点图，比较抽象出函数模型，这里将学生分成几组，分别从不同的数据来计算出函数模型的参变量，通过比较以获得更精确的函数模型3情感、态度与价值观通过对函数模型在实际问题中的应用举例，有助于学生体验数学在解决实际问题中的价值和作用，体验数学与日常生活和其他学科的联系，有助于激发学生学习数学的兴趣，发展学生的创新思维和实践能力重点难点重点：建立函数模型，解决实际问题的基本方法难点：对抽象出的函数模型与根据实际数据画出的散点图进行比较，并加以修改用数学刻画实际问题是数学应用的第一步，这里要突出两个方面，一是读懂问题，二是根据实际问题特征和掌握的数学特征，建立实际问题与数学问题的联系读题是解决问题的起点，读题就像语文阅读一样，弄清楚整个题目有几层意思，每层意思是什么，要解决什么问题，与其相关的因素有哪些，等等长期以来，学生习惯于完全是已知、求解(证)式样的数学语言表述的数学问题，而实际问题是在讲一件事，读者从字里行间收集有用的信息，捕捉关键词语，从文字语言叙述中理解题意理解了题意还需要用数学去刻画它，换句话说，是用数学的眼光看实际问题，用数学的语言表达实际问题，也就是数学建模这时显露出的是数学功夫，能看出是不是真懂数学建模的过程，一方面将实际问题抽象化，揭露出数学本质，使实际问题归入到数学科学中；另一方面，使学习过的数学知识表现出应用价值从学习者角度来说，这都是很重要的(教师用书独具)教学建议 实际问题的函数建模主要包含三个方面：利用给定的函数模型解决实际问题、建立确定性函数模型解决问题和建立拟合函数模型解决实际问题. 这几种模型各有特点，在例题教学结束后，建议引导学生回顾例题特点、解决问题的过程和方法值得注意的是，尽量给学生提供更多的机会和创设更多的情景，从实际问题中发现或建立函数模型，并体会数学在实际问题中的应用价值教学流程创设情景，用函数刻画实际问题将实际问题抽象概括为常见的数学模型一次、二次函数模型的最值问题，完成例1及其变式训练分段函数模型在实际问题中的应用，完成例2及其变式训练指数、对数函数模型，完成例3及其变式训练形成建立函数模型的一般步骤归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正(见学生用书第68页)课标解读1.了解函数模型的应用，体会函数模型在解决实际问题中的应用(重点)2掌握求解函数应用题的基本步骤(难点)常见的函数模型【问题导思】
展开阅读全文