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引言 扩频通信系统中,扩频序列的相关特性是扩频系统性能的重要特性,很大程度上决定了整个扩频系统的性能优劣,序列的数量也在一定程度上限制了系统的容量。CDMA 系统中用作扩频之用的伪随机序列则一直是研究的关键技术之一。在实际系统中,互相关特性较好的正交码作为系统的扩频序列,利用伪随机序列良好的自相关特性完成基站和用户的识别。最常用的伪随机序列是m 序列和Gold序列,Gold码序列具有较好的自相关和互相关特性,且序列数目比 m 序列增加了许多,它以其优良的性能在码分多址技术中得到了广泛的应用。WCDMA 扩频通信系统采用 Gold 序列作为扩频操作中的扰码,用以区分用户或基站。 1 . 移位寄存器序列 移位寄存器序列是指由移位寄存器输出的“0”和“1”构成的序列。移位寄存器由时钟控制的n 个串接的存储器、移位脉冲发生器、反馈函数和模2 加法器组成。对线性移位寄存器的数学描述是移位寄存器的特征多项式: 其中 ,系数为零的不参加反馈运算。移位寄存器的状态为各级寄存器存数(“0”或“1”)从右至左的顺序排列而成的序列。移位寄存器由外部时钟控制,来一个时钟脉冲移位一次,同时相加反馈一次。以特征多项式 为例 ,其反馈移位寄存器连接如图 所示: 假设初始状态(a0a1a2a3a4)=10000,时钟脉冲到来时,各级移位寄存器状态自左至右移到下一位,a0 的“1”输出,并送给模二相加器,与a1a2a3 送来的存数模二相加为“1”,反馈送入a4 ,寄存器状态由 10000 变为 00001。当下一个时钟脉冲到来时,重复以上过程。最终输出序列 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 一般来说,移位寄存器可以有不同的初始状态和不同的反馈逻辑函数,产生不同的序列,即移位寄存器序列是由它的初始状态和反馈逻辑函数确定的。对 n 级寄存器总共有 个状态,但当初始状态为 0 状态时,寄存器输出的都是 0 序列,所以应避免这种状态的出现。随着寄存器末级的不断输出,可知输出为一周期序列,所以除去0 状态输出序列外,能产生的序列的最大可能周期为 。对级数为n 的线性移位寄存器,当周期为 时,这样的序列就称为最大长度序列或 m 序列。m 序列在扩展频谱及码分多址技术中有着广泛的应用,并且还是研究和构造其他扩频序列的基础。因此无论从 m 序列直接应用还是从掌握伪随机序列基本理论而言,必须熟悉 m序列的产生及其主要特性。 2 . m 序列的产生及其主要特性的仿真分析 n 级线性反馈移位寄存器能产生 m 序列的充要条件是其特征多项式为本原多项式。本原特征多项式与 m 序列一一对应,寄存器不同的初始状态只改变序列初相值。本原多项式系数一般由八进制数表示,八进制数对应的二进制序列便是对应的多项式系数,其中x 的次数从左到右按从高到低的顺序排列。运行自行编制的 m 序列产生函数m _ seq (prim _poly)直接读取八进制表示数即可产生对应 m 序列,其中prim _poly为给出的八进制表示数。例如,155 对应的二进制序列、本原多项式和产生的 m 序列分别为1101101、 、1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 。序列周期为 ,除全零状态外,每个状态在序列一个周期中正好出现一次。m 序列具有平衡性、游程分布特性、移位相加特性和良好的自相关特性,本文主要对其相关性进行了研究。 在m 序列中,常常用“+1”表示“0”码元,“-1 ”表示“1”码元,对长度(周期)为P 的码序列x 的自相关函数 其中, 是周期长度为 P 的某一码序列,而 是 移位后的码序列 。对上式进行归一化,则自相关系数 (系数值最大不超过 1) 而两个序列x、y 的互相关特性函数如式 本文选取了六级本原多项式 103、147 和155 产生 m 序列并通过 MATLAB求得了103的m 序列自相关特性和103 与147、103 与155 的m 序列互相关特性,如2图 所示: 由图2 可见,m 序列具有良好的自相关特性,归一化满足双值特性,如式所示: 式中P 为序列周期,这里 P=63。出现负的相关幅度,表明这个级数中的直流分量,这是由于一个周期内“0”、“1”个数不相等所引起的。从它的归一化函数可以看出,对于两个不同相位的m 序列,当周期P 很大而且对P 取模不为 0 时,-1/P 是很小的,这两个序列几乎是正交的,从实际的角度来看是无关紧要的。 m 序列的互相关特性则不一致,图2 中103 与147 的m 序列互相关特性满足三值特性,而103 与155 的m 序列互相关值出现了较大的峰值,不满足三值特性。对大多数序列来说,互相关函数的峰值幅度是自相关函数峰值一个大的百分比。因此,m 序列对CDMA 通信系统来说不合适。 由于m 序列中有的互相关特性较好,有的较差。为此,提出了 m 序列优选对的概念。 m 序列优选对是指在m 序列集中,互相关函数最大值的绝对值|Rmax|最接近或达到互相关值下限(最小值) 的一对m 序列。对于两个由N 级本原多项式所产生的 m 序列A、B,若其互相关函数|Ra,b (k)| 满足: 则A,B 构成一对m 序列优选对。由m 序列组成的优选的序列集很小,不利于扩频多址通信系统的应用。 3 . Gold序列的产生及其主要特性的仿真分析 Gold 序列是于1967年由R. Gold 提出的一种基于m 序列优选对的码序列。Gold 序列虽然自相关特性不理性,但具有良好的互相关特性和较大的序列数目,使它被 WCDMA 标准选为扩频码,用于区分用户和小区。 并联结构产生的 Gold 码是由两个码长相等,码时钟速率相同的m 序列优选对经过模二和构成的。每改变两 m 序列的相对位移就可得到一个新的 Gold 序列,当相对位移为 比特时,就可得到一族 个Gold 序列,再加上构成Gold序列族的两个m 序列,共有 个Gold 序列。 由上文提到的m 序列的产生程序和Gold序列的产生原理可构造MATLAB程序gold_seq(prim_poly1, prim_poly2)来产生Gold 序列族。例如,选取 n=5 的m 序列优选对45和57,产生一族 Gold 序列,前两行序列为: 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 可证第一行为两 m 序列移位比特为0 时模二和所得序列。Gold序列由m 序列产生,但它已经不再是 m 序列,具有与m 序列优选对类似的相关特性。本文选取了 m 序列优选对103 与147、103 与133 来产生Gold 序列,对其自相关特性和同族及不同族间 Gold 序列的互相关特性进行了研究,仿真结果如图 3 所示: 由图3 可见,Gold 序列的自相关特性在位移比特=0时与m 序列相同,具有尖锐的自相关峰值,而为其它值时,与 m 序列有所差别,相关值不再是-1/P ,而是满足三值特性。同族Gold 序列归一化互相关特性是以一定概率出现的三值特性,为: -1/P 出现的概率在 n 为奇数时为50% ,在n 为偶数但非 4 的倍数时为 75% 。同族Gold序列的互相关函数取值已有理论结果,而不同族之间的 Gold 序列的互相关函数取值已不是三值而是多值,且互相关值大大超过优选对的互相关值,尚无理论结果。 4 序列平衡性的验证 平衡性是伪随机序列一个很重要的性能,码不平衡会降低系统的载波抑制度,增大系统的载波泄漏,破坏扩频通信系统的保密、抗干扰和抗侦破能力。我们定义伪随机序列的平衡性为序列中“1”的数目比“0”的数目多一个。 实际上,所有 m 序列都是平衡的。关于这一点,我们可以这样理解:m 序列的产生过程实际上就是寄存器末级内容的不断输出。移位寄存器的各个状态等价于给除全 0 外的长度为n 的所有可能的 二进制向量计数。如果全 0 向量包含在内,所有的 个二进制向量中,正好有一半是偶数(最后一位是 0),另一半是奇数(最后一位是 1),也就是产生序列中“0”、“1”个数相同,排除全 0 状态后,实际最终产生的 m 序列中,“0”的个数比 “1”少一个。Gold 序列平衡性的验证,可以把伪随机序列中“0”、“1”映射为“-1 ”、“1”,码片逐位累加结果为“1”则平衡。本文选取 m 序列优选对103 与147、103 与133 产生两族Gold 序列中第一个序列进行平衡性验证,如图 4 所示: 由图4 可见,Gold 序列的平衡性不一致,经过大量的对 Gold 序列族平衡性的验证即可发现,当n 是奇数时,一族中有约 50% 的序列平衡,其余则存在不同程度的偏差,当 n 是非4 的倍数的偶数时,平衡序列约占 75% 。 结论 由扩频通信原理可知,扩频地址码的数目直接影响着系统的容量。m 序列具有良好的随机性和平衡性,但在数量上有着很大的劣势。Gold序列具有优良的相关特性,而且两两互相关值小的序列数量较多,因此被广泛采用。平衡 Gold 序列的获取,我们可以通过确定基准序列、移位序列和寄存器初始状态来直接产生。这种充分条件的确定,需要我们进一步的深入研究。 参考文献1刘焕淋,向劲松, 代少生. 扩展频谱通信系统M. 北京:北京邮电大学出版社,2008 2 柴霖.基于MATLAB的扩频码设计J.全球定位系统,2007.1:20-25 3 邱恭安. 现代数字无线通信传输技术的研究D. 昆明理工大学,2003 4 杨晓,杨凯, 关礼安.CDMA 系统中扩频序列码性能仿真J.陕西师范大学学报,2005,6(33):198-200. 5 曾一凡, 李晖.扩频通信原理M. 北京:机械工业出版社,2005 6 张平,王卫东,陶小峰.WCDMA 移动通信系统M. 北京:人民邮电出版社 2004
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