7、一元二次方程

课程信息年级初三学科数学课型新授主题7、一元二次方程主备陈磊审核备课组基础知识知识点一、一元二次方程的概念只含有一个未知数（一元），且未知数的最高次数是2（二次），这样的整式方程叫一元二次方程.一元二次方程的三个特征：一个未知数；未知数的最高次数是2；整式方程.一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下一般形式ax2 +bx+c=00 (其中a、b、c为常数，a0), a是二次项系数，b是一次项系数，c为常数项. 知识点二、一元二次方程的解法1. 开平方法 形如的一元二次方程，用直接开平方法，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解2. 配方法 把一个一元二次方程通过配方成形如：的形式，当n0时，再使用直接开平方法求解配方的基本策略是：当二次项系数为1时，等式的两边同时加上一次项系数一半的平方.需要说明的是，配方只是一个将等式变形的过程，配方的目的是将方程转化为直接开平方法降次求解，3. 公式法 它是解一元二次方程的一般方法.一元二次方程（a0）的求根公式：.4. 因式分解法 因式分解法是将方程右边化为0，左边分解为两个一次因式的乘积的形式，根据AB=0，则A=0或B=0 ，将方程转化为两个一元一次方程求解.这种方法简便易行，是解一元二次方程的最常用的方法.5. 图像法 二次函数y = ax2 +bx + c(a0)的图像与x轴交点的横坐标即为方程ax2 +bx + c = 0 的解.知识点三、一元二次方程的根的判别式 1. 一元二次方程ax2 +bx+c = 0 (a0) b2 4ac 0 方程有两个不相等的实数根； b2 4ac = 0 方程有两个相等的实数根； b2 4ac 0 方程无实数根；使用判别式的几点说明：如果说方程有实数根，即应当包括有两个不等的实数根和有两个相等的实数根两种情况，此时0，切勿丢掉等号；如果方程不是一般形式，要化为一般形式，再确定a、b、c的值；使用判别式的前提是方程是一元二次方程，即二次项系数a0,当二次项系数含字母时，解题时要加以考虑.2. 一元二次方程根的判别式的应用主要有以下三种情况：（1）不解方程，判定根的情况.（2）根据方程根的情况，确定方程系数中字母的取值范围.（3）应用判别式证明方程根的情况.知识点四、 一元二元方程根与系数的关系 如果方程（a0）的两个实数根是、，那么，.知识点五、一元二次方程的应用1. 列一元二次方程解应用题的步骤：主要是审、设、列、解、检验（既要是方程的解，还要符合实际意义）、答.2. 几种常见的一元二次方程应用问题 平均变化率问题：变化率是指变化数与基数的比若基数为a，变化率为x，则一次变化后的值为a(1x) ，两次变化后的值为a(1x)2； 说明：增长用“+”，降低用“-”. 面积问题解决这类问题的关键是将不规则图形分割或补全成规则图形，找出各部分面积之间的关系，利用面积计算公式列出方程 利润问题单个利润 = 单个售价 单个进价 总利润 = 单个利润销售数量 典型例题解析例1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. x2 + 4x - 1 B. kx2 +4x 1 = 0 (k为常数)C. (x+1)2 = x2 D. (x-2)2 = 3(x+1)例2. （淄博）一元二次方程的根是（ ）A B， C， D ，例3. （内蒙古自治区）关于x的一元二次方程（a+1）x24x1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 （ ）Aa5 Ba5且a1 Ca5 Da5且a1例4. （南通）设、是一元二次方程x23x70的两个根，则24 例5. （北京）已知关于x的方程mx2(m2)x20（m0）.（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值.例6. （沈阳）某公司今年销售一种产品，1月份获得利润20万元，由于产品畅销，利润逐月增加，3月份的利润比2月份的利润增加4.8万元，假设该产品利润每月的增长率相同，求这个增长率.例7. （襄阳） 为响应市委市政府提出的建设“绿色襄阳”的号召，我市某单位准备将院内一块长30m，宽20m的长方形空地，建成一个矩形花园.要求在花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草，如图8所示，要使种植花草的面积为532m2，那么小道进出口的宽度应为多少米？（注：所有小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形）图8巩固训练1. 方程x（x+1）= x+1的解是（）A1 B0 C-1或0 D1或-12. （聊城）用配方法解一元二次方程式ax2+bx+c=0(a0)，此方程可变形为（ ）A BC D3（荆州）已知是一元二次方程x2x10较大的根，则下面对的估计正确的是( )A01 B11.5 C1.52 D234（攀枝花）若方程x2+x1=0的两实根为、，那么下列说法不正确的是（ ）A+=1 B=1 C2+2=3 D+=15. （天津）要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据时间和场地等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，设比赛组织者应邀请个队参赛，则满足的关系式为（ ）A B C D6. (抚州) 关于x的一元二次方程x25xk0有两个不相等的实数根，则k可能的最大整数为 .7. （内江）若关于x的一元二次方程(k1) x 22x20有不相等实数根，则k的取值范围是( )Ak Bk Ck且k1 Dk且k18. （丽水）如图，某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草要使每一块花草的面积都为78，那么通道的宽应设计成多少m？设通道的宽为xm，由题意列得方程_ 9. 用适当的方法解下列方程（1）3x（x 2）=2（2 x） （2） x2 6x+8=0 (3) 2x2 4x+1=0 (4) (x - 1) (x+2) = 1 10. （株洲）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（ac）=0，其中a、b、c分别为ABC三边的长（1）如果x=1是方程的根，试判断ABC的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断ABC的形状，并说明理由；（3）如果ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根11. (山西)某新建火车站站前广场需要绿化的面积为46000米2，施工队在绿化了22000米2后，将每天的工作量增加为原来的1.5倍，结果提前4天完成了该项绿化工程（1）该项绿化工程原计划每天完成多少米2？（2）该项绿化工程中有一块长为20米，宽为8米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为56米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），问人行通道的宽度是多少米？12.（朝阳）长城汽车销售公司5月份销售某型号汽车当月该型号汽车的进价为30万元/辆，若当月销售辆超过5辆时，每多售出1辆，所有售出的汽车进价均降低0.1万元/辆根据市场调查，月销售量不会突破30台（1）设当月该型号汽车的销售量为x辆（x30，且x正为整数），实际进价为y万元/辆，求y与x的函数关系式；（2）已知该型号汽车的销售价为32万元/辆，公司计划当月销售利润45万元，那么该月需要售出多少辆汽车？（注：销售利润销售价进价）教学反思：