资源描述
第五节利用导数解决不等式恒(能)成立问题考点 1恒成立问题分离参数法求范围若 f(x)a 或 g(x)a 恒成立，只需满足f(x)mina 或 g(x)max a 即可，利用导数方法求出f(x)的最小值或 g(x)的最大值，从而问题得解已知 f(x)xln x，g(x)x3 ax2 x 2.(1)求函数 f(x)的单调区间；(2)若对任意 x(0， )，2f(x) g (x)2 恒成立，求实数a 的取值范围解 (1)因为函数 f(x) xln x 的定义域为 (0， )，所以 f (x)ln x 1.令 f(x)0，得 ln x 10，解得 0x1，所以 f(x)的单调递减区间是 0， 1 令(x) ，得ee . f011ln x10，解得 x e，所以 f(x)的单调递增区间是e， .综上， f(x)的单调递减区间是 0，1，单调递增区间是1e， .e(2)因为 g (x)3x22ax1，由题意得 2xln x 3x2 2ax 1 恒成立因为 x 0，3131所以 aln x 2x2x在 x(0，)上恒成立设 h(x) ln x2x 2x(x0)，则 h(x)13 1x1 3x1121 x2 2x22x2.令 h(x)0，得 x1，x 3(舍)当 x 变化时， h(x)， h(x)的变化情况如下表：x(0,1)1(1， )h(x)0h(x)极大值所以当 x1 时，h(x)取得极大值，也是最大值，且 h(x)maxh(1) 2，所以若 ah(x) 在 x(0， )上恒成立，则 a h(x)max 2，即 a 2，故实数 a 的取值范围是 2， )利用分离参数法来确定不等式f(x，) 0(xD， 为实参数 )恒成立问题中参数取值范围的基本步骤：(1)将参数与变量分离，化为f1()f2 (x)或 f1()f2(x)的形式(2)求 f2(x)在 xD 时的最大值或最小值(3)解不等式 f1() f2(x)max 或 f1()f2 (x)min ，得到 的取值范围把参数看作常数利用分类讨论方法解决对于不适合分离参数的不等式， 常常将参数看作常数直接构造函数，常用分类讨论法，利用导数研究单调性、最值，从而得出参数范围已知函数 f(x)ln x ax， a R.(1)求函数 f(x)的单调区间；(2)若不等式 f(x)a0 在 x (1， )上恒成立，求 a 的取值范围1解 (1)函数 f(x)的定义域为 (0， )，f (x) x a.当 a0 时， f(x)0 恒成立，则 f(x)只有单调递增区间是 (0， )当 a0 时，由 f(x) 0，1得 0 x a；1由 f(x)0，得 x a；11所以 f(x)的单调递增区间是0，a ，单调递减区间是a， .(2)f(x) a 0 在 x(1， )上恒成立，即 ln xa(x1)0 在 x(1， )上恒成立1设 g(x)ln xa(x1)，x 0，则 g(x) xa，注意到 g(1) 0，当 a1 时， g (x)0 在 x(1， )上恒成立，则 g(x)在 x(1， )上单调递减，所以 g(x)g(1)0，即 a 1 时满足题意当 0a1 时，令 g(x)0，1得 1 x a；1令 g (x)0，得 xa.1则 g(x)在 1， a 上单调递增，1所以当 x 1， a 时， g(x)g(1)0，即 0 a 1 时不满足题意 (舍去 )1当 a0 时， g (x) xa0，则 g(x)在(1， )上单调递增，所以当 x(1， )时， g(x) g(1)0，即 a 0 时不满足题意 (舍去 )综上所述，实数a 的取值范围是 1 ， )已知 f(x)ax22ln x，aR.(1)讨论函数 f(x)的单调性；(2)若对任意的 x0,2f(x) 2(a 1)x 恒成立，求整数a 的最小值2ax2 2解 (1)由题意得 f(x)的定义域为 (0， )，且 f(x).x当 a0 时， f(x)0，f(x)在(0， )内单调递减当a0 时，令f(x) 0，得xaa 或 xaa (负值舍去 )当 x0，a a， f(x)0，f(x)单调递减；a当 xa ， ，f(x)0，f(x)单调递增(2)由题意得 2ax2 2ln x2(a1)x，整理得 2(ln x x 1)a(2x x2)因为 x0，所以原命题等价于 a2 ln xx1在区间 (0， )内恒成立2x x22 ln x x1令 g(x)，2x x22 x 12ln xx则 g (x)，2xx2 2令 h(x)2ln xx，易知 h(x)在(0， )内单调递增又 h(0.5) 2ln 2 0.50，h(1)10，故存在唯一的x0(0.5,1)，使得 h(x0)0.当 0 x x0 时，h(x)0，即 g(x)0，g(x)单调递增；当 xx0 时，h(x)0，即 g(x)0， g(x)单调递减故函数 g(x)的极大值为 g(x0)，也为最大值，且2ln x0x00，2 ln x0 x01x0 21所以 g(x)max，2x2x xxx 20000011所以 ax0.又 x0(1,2)，且 a 为整数，故整数 a 的最小值为 2.考点 2能成立问题存在 xa，b， f(x)a 成立 ? f(x)maxa.存在 xa，b， f(x) a 成立 ?f(x)mina.1a， b，对任意 x2 a，b，f(x1)g(x2)成立 ? f(x)min g(x)min.存在 x12已知函数 f(x)3ln x2x x， g(x)3x a.(1)若 f(x)与 g(x)的图像相切，求 a 的值；(2)若存在 x00，使 f(x0)g(x0)成立，求参数 a 的取值范围3 ，设切点为0，f(x0)，则 kf (x0)解 (1)由题意得， f(x) ， xx1 g (x)3(x310x013，解得 x0 1 或 x0 3(舍)，所以切点为1，2，代入 g(x) 3xa，得x5a2.1 2(2)设 h(x) 3ln x 2x 2x.存在 x00，使 f(x0) g(x0 )成立，1 2等价于存在 x0，使 h(x)3ln x 2x 2xa 成立，等价于 ah(x)max(x0)3x2 2x 3因为 h(x) xx 2xx1 x 3，xh x 0，h x 0，令得 0 x1；令得 x1.x0，x0，1 2所以函数 h(x)3ln x2x 2x 在(0,1)上单调递增，5在(1， )上单调递减，所以h(x)max h(1) 2，5即 a 2，因此参数5a 的取值范围为 ， 2 .(1)“恒成立 ”“ 存在性 ” 问题一定要正确理解其实质，深刻挖掘内含条件，进行等价转化(2)构造函数是求范围问题中的一种常用方法，解题过程中尽量采用分离参数的方法，转化为求函数的最值问题已知函数 f(x)axex(a R)，g(x)ln x.x(1)求函数 f(x)的单调区间；(2)存在 x0(0， )，使不等式 f(x)g(x)ex 成立，求 a 的取值范围解 (1)因为 f (x)aex， x R.当 a 0 时， f(x) 0， f(x)在 R 上单调递减；当 a 0 时，令 f (x) 0 得 xln a.由 f(x)0 得 x ln a，所以 f(x)的单调递增区间为 (， ln a)；由 f(x)0 得 x ln a，所以 f(x)的单调递减区间为 (ln a， )xln x，即 ln x(2)因为存在 x0 (0， )，使不等式 f(x)g(x)e ，则ax2 .xaxln x设 h(x) x2 ，则问题转化为a1 2ln x由 h (x) x3 ，令 h (x)0，则 x e.当 x 在区间 (0， )内变化时，ln xx2max，h (x)，h(x)的变化情况如下表：x(0， e)e(e， )h(x)0h(x)极大值12e由上表可知，当 x e时，函数 h(x)有极大值，即最大值为1 ，所以 a1 .2e2e
展开阅读全文