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习题精解解题方法与例题分析一、已知运动方程(位置矢量)，计算位移、速度和加速度。计算(瞬时)速度和加速度一般用求导的方法：位置矢量(运动方程)对时间求导即为速度，速度对时间求 导就是加速度。计算位移、平均速度、平均加速度可先由始末时刻确定始末位置，再由定义计算。例1 一质点在平面上运动，已知质点位置矢量的表达式为r =at2i - bt2j (其中 a、b 为常量)，则该质点作何种形式的运动？解 由质点的位置矢量r =at2 i bt2 j得运动方程轨道方程质点的速度质点的加速度=at2=bt2v = dr =2at i 2bt jdta = dV =2a i 2 b j dt1#质点的加速度为非零恒量，故该质点在xy平面内作匀变速直线运动，其轨道方程为 y 。a例2某质点的运动方程为 x =2t刁+3 (SI),则该质点作何种形式的运动？并确定加速度的方向。解 由质点的运动方程x =2t -t3+ 3得质点的速度dxv2 -21tdt质点的加速度a =色-421dt质点的加速度为时间的函数，故该质点作变加速直线运动；加速度为负，说明加速度方向沿x轴负方向。例3 一质点沿x轴作直线运动，t时刻的坐标为x =5t2 -3t3 (SI)。试求：(1) 在第2秒内的平均速度；(2) 第2秒末的瞬时速度；(3) 第2秒末的加速度。解(1)由平均速度的定义：v = . : x / A2323(5 2 -3 2 ) -(5 1 -3 1 )= = -6m/s2 -1(2)由定义 v =dx/dt =10t 9t2t =2s 时，有V2 - -16m/s(3)由定义 a =dv/dt =10 _18tt =2s 时，有a2 =-26口/例4在离船高度为h的岸边，绞车以恒定的速率 V。收绳(绳原长I。),使船靠岸，如图1 1所示，试描述 船的运动。2解 建立如图坐标系，显然船在x轴上作直线运动。t时刻绳长为I =1 -vot船的运动方程为速度为x - . （I。-vt）dxdt（I。-vt）v.（I。-vt）2 -h2方向沿x轴负向。加速度为a二巴dt2v h（l 7t）2h2 2v h3x方向沿x轴负向。可见，船作加速直线运动，离岸越近, 例5已知质点的运动方程 x=2t， 速度的大小。解由运动方程可求得质点速度的x越小，a越大。y=4-2 (SI)。试求任一时刻质点的速度、切向加速度、法向加速度、总加x、y分量dxdy丄2 , vy2tdtdt速度大小为2 2v =：.沁-vy= 2.1 t2同理:dv xx =0 ,dtaydvydtm/s23#所以加速度大小为a =ay =2 m/s2切向加速度:法向加速度:dvatdt2t1 t2#二、已知加速度及初始条件，计算速度和运动方程。此类问题是前一类问题的逆过程，加速度对时间的积分即为速度，速度对时间的积分就是运动方程。解决此类问题时应注意由初始条件确定积分上下限。例6 一质点沿x轴运动，其加速度a与位置坐标的关系为 a=3+6 x2 (SI )。如果质点在原点处的速度为零， 试求其在任意位置处的速度。解设质点在任意位置x处的速度为v，则=3 6xdv dv dx dv a = = - =v dt dx dt dx分离变量，两边积分:vx2vdv =（ 3 亠 6 x ） dxJoJo=6x 4x3例7 一艘正在行驶的汽船，当关闭发动机后，沿一直线运动，加速度与船速的平方成正比且反向，即a =kv2，其中常量k0。若关闭发动机时汽船的速度为 vo,求：(1) 关闭发动机后t时刻的汽船速度；(2) 关闭发动机后的t时间内，汽船行驶的距离。坐标原点选择解以汽船为研究对象，由于它做减速直线运动，所以取汽船运动方向为坐标轴x的正方向,在刚关闭发动机的位置处。(1)按直线运动的加速度公式有dva = dt由题意a - _kv 2，代入上式，有kv2 =巴dt分离变量kdtdv已知t=0时，v =v0，并设t时刻的速度为V,对上式取定积分kdtdv4#dxkvot -1(2)dt若dxv0有dt kv ot +1分离变量，两边取定积分，有xt vdx0 dt00 kv0t -1由此得汽船的运动方程为x =ln(kv0t亠1)k汽船在t时间内行驶的距离11is 斗 x - x0 | ln( kv0t 亠 1) - 0ln( kv0t 亠 1)kk例8 一质点从静止出发沿半径为R=3m的圆周运动，切向加速度为 at =3m s。求:(1) 经过多少时间它的总加速度a恰好与半径成450角？(2) 在上述时间内，质点所经过的路程和角位移各为多少？解已知at=3，即dv =3dtdt由初始条件：t =0时，v0 =0，得质点的瞬时速率vtv = dv 二 3dt =3t2 2质点的法向加速度的大小为 a-=3t2R 3这样总加速度为：a =at an =31 - 3t2 n其中n为沿半径指向圆心的单位矢量，t为切向单位矢量。(1) 设总加速度与半径夹角为a，贝V有：a cos=an， a sin=at当:.=450时，有岂，即要求3t 2 =3 , t =1s （另一负根舍去）所以t =1s时，总加速度a与半径成450角。(2)由dsv和初始条件:dtt =0 时，so=0，得:56t3 2s = vdt 3tdt t .o2将t =1s代入，求出这段时间内的路程:3 2 an =v / R =16 m / s=8 . 5m/sv=2i -8t j，已知t=0时它经过点（3，7），则该质点的运动方程为（2t 3 4t2 7 j C. -8 j D.不能确定 2 St = t t 丄=11.5m2 - 2由角位移与路程的关系 =丄R当 t =1s 时，二=江=兰=0.5radR 3三、利用角量与线量的关系解题。 =kt2例9质点P在水平面内沿一半径为 R =1m的圆轨道转动，转动的角速度 与时间t的函数关系为 （k为常量）。已知t =2s时质点P的速率为16m/s，试求t =1s时，质点P的速度与加速度的大小。解 首先确定k值：k = ./t2 =v/Rt216 2 =丁 = 4 rad/s1 2#1-1某质点的速度为A. 2ti -4t2j B.解：本题答案为B.因为所以-drv 士 dtdr = 2i -8tj dt所以有 .=4t $， v =R . = 4 Rt t =1s 时，v =4Rt2 =4m/s2at = dv / dt =8Rt =8m/s7#于是有即亦即dr = o 2i -8tj dtI-12r -r0 =2ti -4t j r - 3i 7 j i=2ti - 4t2 j1-2 一质点在平面上作曲线运动,匕时刻位置矢量为- _2i 6j , t2时刻的位置矢量为r2 =2i 4j ,求：（1） 在,：t二t2 -t,时间内质点的位移矢量式；（2）该段时间内位移的大小和方向；（3）在坐标图上画出r, ,r2及.汀。解 （1）在.t =t2 -t,时间内质点的位移矢量式为.：r 二2r, =?4i -2 j m（2 ）该段时间内位移的大小=打 + （2 $ =2烏（m ）该段时间内位移的方向与轴的夹角为? - tan 丄三二-26.6 14丿（3）坐标图上的表示如图1.1所示1-3某质点作直线运动，其运动方程为x=14t_t2，其中x以m 计，t以s计，求：（1）第3s末质点的位置；（2）头3s的位移大小；（3）头3s内经过的路程。解（1 ）第3s末质点的位置为, 2x（3） =143 -3 =4（ m）（2 ）头3s的位移大小为x（3） -x 0 =3（m）一dx（3）因为质点做反向运动是有v（t）二0 ,所以令0，即4 -2t =0, t =2s因此头3s内经过的路程为dtx（3） x（2） + x（2） x（0） = 4 一5 + 5-1 = 5（m）1-4已知某质点的运动方程为x =2t,y = 2 -t2，式中t以s计，x和y以m计。（1）计算并图示质点的运动轨迹；（2）求出t =1s到t =2s这段时间内质点的平均速度；（3）计算1s末2s末质点的速度；（4）计算1s末和2s末质点的加速度。解（1 ）由质点运动的参数方程 x=2t,y=2-t2消去时间参数t得质点的运动轨迹为2一x运动轨迹如图1.2y =2 x 04（2）根据题意可得到质点的位置矢量为2r =（ 2t ）i * （ 2- t ）j所以t =1s到t =2s这段时间内质点的平均速度为- -r r （2 ）- r （ 1 ）-丄v2i 3j m *s ）At21（3）由位置矢量求导可得质点的速度为 v = r =2 i 4 2 t） j所以 末和 末的质点速度分别为；(1)= 2_ 2 m*s 和)V(2) =2i _4j(m.s)(4) 由速度求导可得质点的加速度为a 二 v 二 2 j所以末和末质点的加速度为_1a( 1 )二 a ( 2 空一j2 m( s )1-5湖中有一小船，岸边有人用绳子跨过离河面高H的滑轮拉船靠岸，如图 1.3所示。设绳子的原长为I。，人以匀速v0拉绳，使描述小船的运动。解建立坐标系如图1.3所示。按题意，初始时刻(t=0)，滑轮至小船的绳长为|。，在此后某时刻t,绳长减小到l0_vt， 此刻船的位置为/2 TX= (|o - vot)H这就是小船的运动方程，将其对时间求导可得小船的速度为dxdt(I。-vt)v。r22.(lo-Vot) -HJcos :-9#将其对时间求导可得小船的加速度为dva = dtv：H 2(I。-vt)2 - H 2 3vH23X其中负号说明了小船沿 X轴的负向(即向岸靠拢的方向)做变加速直线运动，离岸越近( 对值越大。X越小)，加速度的绝1-6大马哈鱼总是逆流而上，游到乌苏里江上游去产卵，游程中有时要跃上瀑布。这种鱼跃出水面的速度可达32 km *h 。它最咼可跃上多咼的瀑布？和人的跳咼记录相比如何?解 鱼跃出水面的速度为 v =32km丄=8.89 ms,若竖直跃出水面，则跃出的高度2vh4 . 0 3r()2g此高度和人的跳高记录相比较，差不多是人跳高的两倍。1-7 一人站在山坡上，山坡鱼水平面成:角，他扔出一个初速度为v0的小石子，v0与水平面成二角，如图1.4所示。(1 )若忽略空气阻力，试证小石子落到了山坡上距离抛出点为S处，有S2 . .2v0 sin cos_ 2 g cos : #_ it ot此证明对于给定的V0和值时，S在时有最大值Smax42解(1 )建立如图1.4所示的坐标系，则小石子的运动方程为$ 1 y =Vo s i nt-2当小石子落在山坡上时，有x = Sc o sy = _S s in：联立以上四个方程，求解可得小石子在空中飞行的时间（即从抛出到落在山坡上是所经历的时间）t所满足的方程为2V0 sim tan cots解之得2v0sin t an cos但t =0时不可能的,因t =0时小石子刚刚抛出，所以小石子落在山坡的距离为2v0 cos v t2v0 sin v - ? cos vcos :-2g cos 乂(2)给定v0和：值时，有dSS = S v，求S的最大值，可令0，即d日亦即此时d2S22Vocos - z |=02geos打。所以S有最大值，且最大值为2 .y 二 vsi 中 t-1I.2gtv0 s in：:亠可得到石子的轨迹方程为2gx2 2 -2 v0 cos r假若石子在给定距离上能击中目标，可令10此时有gL22 2 2 Vo COSgL2y2 tan2vo2L tan 71gL22Vo以tan r为函数，令d tan V2有tan r -色，此时gLd2y:：:0，即在给定已知条件及给定距离上11#能够击中目标的最大高度为ymax =12.3 m，故在给定距离上能击中h = 13 m高度的目标。1-9如果把两个物体 A和B分别以速度vOA和vOB抛出去，vOA与水平面的夹角为:-，vOB与水平面的夹角为一：， 试证明在任意时刻物体B相对于物体A的速度为常矢量。解 两物体在忽略风力的影响之后，将在一竖直面内做上抛运动，如图1.6所示，则两个物体的速度分别为Va二 V。 o siV。aS i: n-g tjVbh Vo BC o siV。bS ir-g tj所以在任意时刻物体B相对于物体A的速度为Vb - Va 二 V。C o S： - V o AC o:s i L Vo bS k nV。a s i n j它是与时间无关的常矢量。1-10 如果已测得上抛物体两次从两个方向经过两个给定点的时间，即可测出该处的重力加速度。若物体沿两个方向经过水平线 A的时间间隔为.tA，而沿两个方向经过水平线 A上方h处的另一水平线 B的时间间隔为.-：tB， 设在物体运动的范围内重力加速度为常量，试求该重力加速度的大小。解 设抛出物体的初速度为 v0，抛射角为二，建立如图1.7所示的坐标系，则hA 二 w si n12g AhB 二 0 si n1B - 6$2所以2tA2v0 s in2g A二 0tATgg2tB2v0 s in2gB=0tBTgg于是有#.Ia2tA1 tA2 - 4tA1tA22 24v0 sin8hA此二式平方相减可得8 hBhA2tB1 tB 2- 4tB1tB 22 24v sin8hB8hg . 2；22.2匚坨-:tBi-t a - - :t B注意此方法也是实验测得重力加速度的一种方法。1-11以初速度v0将一物体斜上抛，抛射角为-，不计空气阻力，则物体在轨道最高点处的曲率半径为（v0 sin 0 A.2V。2 .V cos C.D.不能确定解本题正确答案为 C因为初速为v0将一物体斜向上抛,抛射角为71，不计空气阻力时，物体在轨道的最高点处的速率为V = v0 cos V ，而此时物体仅有法向加速度an，2且an = g =乞，所以物体在轨道最高点处的曲率半径为RgV。cos 二1-12 一质点从静止出发沿半径为的圆周运动，其角加速度随时间的变化规律是一：=12-6t（SI ），试求该质点的角速度和切线加速度解 因为-=1 2t2 -所以2d = (1 2t 6t )d t12#t 2d二(12t 6t)dt0故质点的角速度为32+： =4t -3t切线方向加速度为a = R-1 2 t - 6 t1-13 一质点做圆周运动方程为 v -2t-4t2（r以rad计，t以s计）。在t = 0时开始逆时针旋转，问：（1） t = 0.5 s时，质点以什么方向转动；（2）质点转动方向改变的瞬间，它的角位置v多大？解 （1）因质点做圆周运动角速度方向改变瞬时，d日0 =即 2 &= 0t = 0.5dt所以t =0.5 s时，质点将以顺时针方向转动。（2）质点转动方向改变的瞬间，它的角位置为#r2二(0.2乞)2 0.-2 54 ( 0 2 5 )r a d0 . 2 5 ()1-14质点从静止出发沿半径为R =3m的圆周做匀变速运动，切向加速度a =3s-，问：（1）经过多长时间13#后质点的总加速度恰好与半径45角？ （ 2）在上述时间内，质点所经历的角位移和路程各为多少?解因为 a3T dtvt所以d v =3 d t 即 o dv = j 3dt故质点做圆周运动的瞬间时速度为瞬时速率v =3t质点的法向加速度的大小为(3t)2二 3t#其方向恒指向圆心，于是总加速度为a=an - a = 3t? n 3 其中n为沿半径指向圆心的单位矢量，.为切向单位矢量。（1）设总加速度a与半径的夹角，如图1.8所示，则a s i n:= a ，当：.=45时有an =a 即3=3, t =1 （负根舍去），所以t =1s时，a与半径成45角。dss1（2）因为 v = 3t，所以 i ds 3t dt dtS0 fs 1 5故在这段时间内质点所经过的路程为s =1.5 m，角位移为 D - s =0.5（ rad ）。R 31-15汽车在半径为R =400 m的圆弧弯道上减速行驶，设某一时刻，汽车的速度为v =10m，切向加速度的大小为a書= 0.2 ms2。汽车的法向加速度和总加速度的大小和方向。解 已知条件如图1.9所示。汽车的法向加速度为10 /0.25( m *s )400汽车的总加速度为a = Ja： +a； = J(0.25+(0.2 j =0.32( m s)所以a = an a = 0.25 n -0.2 . (ms )，故加速度a和v的夹角为18 00.25 a r c t a n.0.2也an0=1 80 a r c t a n1、质点的运动方程为x =6t -12 （SI），则在t由0至4s的时间间隔内，质点的位移大小为多少？在 t由0到 4s的时间间隔内质点走过的路程为多少?解：本题质点在 x方向作直线运动(1)ti=o 时，Xt =0t2=4(s)时,x2= 64 _42 =8(m) 位移大小.lx =x2 - x1 =8 _0 =8 (m)dx(2 ) v6dt即t=3 (s )时，质点拐弯沿x轴负向运动，则-2t 令 v =6 _2t =0 得 t=3 (s )04 (s)内质点走过的路程:2S =2(63 _3 ) _8 =10 (m)2、质点在一直线上运动，其坐标与时间有如下关系:的加速度为多少？什么时刻质点的速度为零？二Asin . t (SI) (A为常数)，则在任意时刻 t质点解：(1) vdx=A 詁 cos 詁t dtdv2 .Ar* - sin r t(SI)dt(2)令 v = A , cos .t =0有 .t二(2K 1) 23、一质点沿(2K- 1)7：2- (SI) (K=0,1,2 )X方向运动，其加速度随时间变化关系为:a=3+2t (SI)，如果初始时质点的速度 v为5m/s ,14#则当t为3s时，质点的速度为多少?解：由 a =-dv-dtdv =adt =(3 2t)dtv3积分 dv 二 o(3 - 2t) dtV2v 5 dv =(3t +t )2v 5 =33 - 3=18v = 23 m / s4、某物体的运动规律为2dv / dt - - kv t ,式中的k为大于零的常数，当t=0时，初速为 vo。速度与时间的函数关系是怎样的？小dv=-kv 2t得2=-ktdtvv/ dvt11 2=山v20ktdt(_)v v0=kt2t0积分解：由空dt得1二丄丄珀2v v。25、质点沿半径为R的圆周运动，运动方程为v - 3 - 2t2 (SI)，则t时刻质点的法向加速度大小为多少？角加速度为多少？解：(1 )由=4tdt得 an 二R. ,2 二 R(4t)2 =16Rt 2(SI)(2 ):J 4dt(SI)6、飞轮作匀减速转动，在5s内角速度由40 n rad/s减到10 n rad/s，则飞轮在这5s内总共转过了多少圈?飞轮再经过多少时间才能停止转动?解：(1)飞轮作匀减速转动，所以有 =则- - 010 7：-40 2 二一6- (rad / s )t5又 ,2 7：.2 =2 詁2 2.(10 二)(40 二)=2(6 二戸/口3 75得(rad3飞轮总共转过 N37562 .5 (圈)2兀 2兀X 3(2)设飞轮再经过时间 t停止由.=-0l ：t得 0 =10亠(-6二)t则 t =1.67(s)7、在xy平面内有一运动质点，其运动学方程为：r =10 cos 51 i亠10 sin 51 j ( SI)则t时刻其速度为多少？其切向加速度的大小a为多少？该质点运动的轨迹是什么？解: dr_-(1) v50( _sin 5ticos 5t j)dt(2)速率:v = vx -vy2 =(50 sin5t)2 (50 cos 5t)2 = 50 , a0dt(3) x =10 cos 5t, y =10 sin 5t 两式平方后相加，2 2 2x 亠 y =10轨迹为一半径为 10m的圆。8、一条河在某一段直线岸边有 A、B两个码头，相距 1km ,甲、乙两人需要从码头 A到码头B，再立即由B 返回。甲划船前去，船相对河水的速度4km/h，而乙沿岸步行，步行速度也为4km/h，如河水流速为 2km/h ,方向从A到B，试推算甲比乙晚多少分钟回到码头 A？解：由A到B船对地的速度大小：v船地二v船水 v水地=4，2=6(km/h)由B到A船对地的速度大小：v船地=v船水v水地=4 -2 =2(km / h)112甲由A到B再回到A所需时间：t.r 二小时=40分钟6231 1 1乙由A到B再回到 A所需时间：t2二一-=-小时=30分钟442所以甲比乙晚十分钟回到码头 A。9、轮船在水上以相对于水的速度v1航行，水流速度为 v0，人相对于甲板以速度 v2行走。如人相对于岸静止,解:则v1、v2和v0的关系是怎样的?V人地 =V人甲 v甲地 =V人甲 V甲水v水地 =v2 - vi - v0 =即v1, v2, v0的关系为:v0 - v1 v2 = 016#1-1.已知质点位矢随时间变化的函数形式为r = R（cos wti亠sin wtj）其中为常量.求：（1）质点的轨道；（2）速度和速率。解：1）由 r = R （cos wti 亠 sin wtj）知x = R c o sw t消去t可得轨道方程d r2) v = =-wR sin wti - wRcos wtj dt2v = ( - wR s in wt) ( wR c o swt),2#1-2.已知质点位矢随时间变化的函数形式为 r =4t2 i （3 2t） j，式中r的单位为m , t的单位为s 求：（1）质 点的轨道；（2）从t =0到t =1秒的位移；（3） t = 0和t =1秒两时刻的速度。2解：1）由 r =4t i - （3 - 2t） j 可知y =3 - 2t消去t得轨道方程为:2x -(y -3)#1Arvdt*03) v(0) =2 jv (1) = 8 i 2 jd r2) v8ti2 jdt1(8ti 2 j)dt =4i 20#1-3.已知质点位矢随时间变化的函数形式为r = t2i - 2tj ,式中r的单位为m , t的单位为s .求：（1）任一时刻的速度和加速度；（2）任一时刻的切向加速度和法向加速度。”d rdt解：1） v2ti 2 j#d v a2 idt2) v =( 2t)2 4 2 = 2(t2 1) 2atdv2tdtan a 彳.a；_2_,t2 11-4. 一升降机以加速度a上升，在上升过程中有一螺钉从天花板上松落, 钉从天花板落到底板上所需的时间。解：以地面为参照系，坐标如图，升降机与螺丝的运动方程分别为升降机的天花板与底板相距为d，求螺1 2y1 =vtat2(1)1 2 yh vt - gt2(2)j、= y2(3)解之t 2dYg +ahn图1-41-5. 一质量为m的小球在咼度h处以初速度v0水平抛出，求:17#而落地所用时间v2x-v打2-(-gt)d vdt(1)小球的运动方程；(2)小球在洛地之前的轨迹方程;(3)d r落地前瞬时小球的一,-dvd vdtdtdt解：（(1)x 二 vt式（1）1 2 y = h - gt式（2）21r (t)二vt i (h - gt2) j22（2）联立式（1）、式（2 ）得y=h - 一2v 0d r(3) vi - gt j dt所以 dr 二 vi - . 2gh jdtdv 二 g2t 二 g 2gh dtV0 (gt)212(V0 2gh)121-6.路灯距地面的高度为 m，身高为h2的人在路灯下以匀速 W沿直线行走。试证明人影的顶端作匀速运动,并求其速度证明：设人从0点开始行走,t时刻人影中足的坐标为 x1 ，人影中头的坐标为 x2，由几何关系可得图1-6X2hiX2Xih2而Xi = Vot所以，人影中头的运动方程为h1 x1h1tX2Vom _h2 m _h2人影中头的速度dx2V2dth1Vo一h21-7. 一质点沿直线运动，其运动方程为2X =2 4t - 2t (m)，在t从0秒到3秒的时间间隔内，则质点走过的路程为多少？dx解：v4_4t 若 v=0 解的 t =1sdt.:X1 = X1 - x0 = (2 ：卜4 _ 2) - 2 = 2m2.：x3 = x3 - x = (243 _ 23 ) _ (24 _ 2) = _8m1-8. 一弹性球直落在一斜面上，下落高度 角二=30 ，问它第二次碰到斜面的位置距原来 斜面前后速度数值相等，碰撞时人射角等于反h = 20cm，斜面对水平的倾 的下落点多远(假设小球碰 射角)。图 1-8一建立直角坐标系，以小球解：小球落地时速度为 v0 = 2gh0vx0 = v0 cos 60X 二 v cos060 t10 2-g cos 60 t20vy0 二 v sin 60y 二 v sin 60t - 1 g sin 60 t22(1)第一次落地点为坐标原点如图18#第二次落地时所以1匸g cos 60 t 2?已知现在赤道上1-9.地球的自转角速度最大增加到若干倍时，赤道上的物体仍能保持在地球上而不致离开地球物体的向心加速度约为3.4cm /s2，设赤道上重力加速度为9.80 m/s解：赤道上的物体仍能保持在地球必须满足23.410 -9.83.410=1719#1-10.已知子弹的轨迹为抛物线，初速为v0，并且v0与水平面的夹角为d.试分别求出抛物线顶点及落地点的曲率半径。解：在顶点处子弹的速度V二v0 cos二，顶点处切向加速度为2因此有：P2(v0 cos )_ p在落地点速度为v024 v0 g c o sP2，亠geos1-11.飞机以v0 =100 m/s的速度沿水平直线飞行,在离地面高=98 m时，驾驶员要把物品投到前方某一地面目标上，问：投放物品时，驾驶员看目标的视线和竖直线应成什么角度士1x 有：x 二 vt h 二一gt2解：设此时飞机距目标水平距离为联立方程解得：x :- 447 mqX0r - a r c t an - 7 7.5h?此时目标距飞机下方地点多远1-12.设将两物体A和B分别以初速v A和V B抛掷出去.V A与水平面的夹角为:-；V B与水平面的夹角为，试证明在任何时刻物体 B相对物体A的速度是常矢量。解：两个物体在任意时刻的速度为Va =vocos，i (vo s i - gt) jvB 二 v0 c o s ： i (v0 s i n： - g t )jv BA =v B - v A = (v0 cos F v0 cos -) i (v0 si nF v0 sin - ) j与时间无关，故 B相对物体A的速度是常矢量。1-13. 一物体和探测气球从同一高度竖直向上运动，物体初速为v = 49.0m /s，而气球以速度v=19.6m/s匀速上升，问气球中的观察者在第二秒末、第三秒末、第四秒末测得物体的速度各多少？物体在任意时刻的速度表达式为vy二v 一 gt故气球中的观察者测得物体的速度二vy v#代入时间t可以得到第二秒末物体速度 .2=9.8m $第三秒末物体速度第四秒末物体速度Av = _9.8 %1-14.质点沿x在轴向运动，加速度 a = _kv，k为常数.设从原点出发时速度为v0，求运动方程xx(t).解:巴= _kvdtv 1 dvv0 vt-kd t_k tv 二 ve 一d x&tv ed tdx-0tk tve dt-0上t、-e )1-15.跳水运动员自10m跳台自由下落，入水后因受水的阻碍而减速，设加速度2a=-kv ， k=0.4m#员速度减为入水速度的 10%时的入水深度。解：取水面为坐标原点，竖直向下为x轴跳水运动员入水速度v0 = _ 2gh=142 dvdv-kvv dtdx10 dvv0 v1x In 10 = 5.76 m k1-16. 一飞行火箭的运动学方程为：x二ut u( _t) ln(1 bt)，其中b是与燃料燃烧速率有关的量, bu为燃气相对火箭的喷射速度。求：(1)火箭飞行速度与时间的关系;(2)火箭的加速度。解：(1)dxv = -u ln( 1 - bt)dtdv ub adt1 -bt1-17.质点的运动方程为:y = R sin ；t, .t,式中R、h、为正的常量。求(1)质点运动的轨道方程；(2)质点的速度大小;(3)质点的加速度大小。#解：(1)轨道方程为这是条空间螺旋线。在O xy平面上的投影为圆心在原点，半径为R的圆，螺距为h#.c、dx(2) vxR；lsin ；.-：tdtv =pv： +v； +v； =CcJr2 +2 2(3) ax = -R ， cosay 二一R ， si na2x2-ay思考题1-1.质点作曲线运动，其瞬时速度为v，瞬时速率为V ,平均速度为v，平均速率为V ,则它们之间的下列四种关系中哪一种是正确的(1)V=v, v = v ； ( 2)(3)答： （3）1-2.质点的xt关系如图，图中a，b， 的运动问它们属于什么类型的运动？哪一个速度大？哪一答：Va - Vb - Vc(4) v 式 V, v 式 Vc三条线表示三个速度不同 个速度小？1-3.结合v t图，说明平均加速度和瞬时加速度的几何意义。 答：平均加速度表示速度在At时间内的平均变化率, 瞬时加速度能精确反映质点运动速度的变化及方向。它只能粗略地反映运动速度的变化程度和方向，而1-4.运动物体的加速度随时间减小，而速度随时间增加，是可能的吗？ 答：是可能的。加速度随时间减小，说明速度随时间的变化率减小。和vB匀速直线行驶，它们会不会相碰 ？若不相碰，求两船相靠最近的距离.图中二和：为已知。答：方法一 如图，以A船为参考系，在该参考系中船A是静止的，而船 B的速度v = vB -vA .v 是船B相对于船A的速度,从船B作一条平行于v方向的直线BC,它不与船A相交,这表明两船不会相碰 由A作BC垂线AC,其长度rmin就是两船相靠最近的距离rmin = Rsin二作FD/AB,构成直角三角形 DEF,故有vb si nB 你 sinas i nJrV在三角形BEF中,由余弦定理可得v = _v： vB 2vAvBcos -）r min2vAvB cos(很亠卩)vB sin - - vA sin :；方法两船在任一时刻t的位置矢量分别为rA = (vAt cos)i (vb t s i n ) jrB =(RvBtcos：) i (vb t s i n ) jr = rB - rA =R _(vB cos vA cos ： )ti (vB sinvA sin ： )tj任一时刻两船的距离为23#r = r _ (v B cos2cos、)t ( v B sin :2_ Va sin、；)t#dtvB cos B +vA cosott_2_2 rvB sin I： vA sin :(vB cos I vA cos : ) (vB sin I： vA sin :)rminR2 2 -A Vb 2VaVbCOS(二.-)1-6.若质点限于在平面上运动，试指出符合下列条件的各应是什么样的运动?d r(1)=0，d r=0 ；( 2)dv0，dtdtdt答：(1)质点作圆周运动(2)质点作匀速率曲线运动(3)质点作抛体运动1-7. 一质点作斜抛运动，用 匕代表落地时,d v/ c、d ad a0 ；( 3)0，0dtdtdt(1)说明下面三个积分的意义:t1t1t1Vxdt,Vydt, vdt .000(2)用A和B代表抛出点和落地点位置，说明下面三个积分的意义:BBBfdr,|dr ,dr .AAA5答：Vxdt表示物体落地时x方向的距离0t1v ydt 表示物体落地时y方向的距离0t1vdt表示物体在1时间内走过的几何路程0Bd rA抛出点到落地点的位移B.d rAB抛出点到落地点位移的大小.dr抛出点到落地点位移的大小A2420a x 2g c o s 工1-8 一人扔石子的最大出手速度为v0 =25 m。他能击中一个与他的手水平距离为L=50m，高为h=13m处的目标吗？在这个距离上他能击中的最大高度是多少？解 设抛射角为二，则已知条件如图1.5所示，于是石子的运动方程为x = ( cos t)
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