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直角三角形的性质重难点重点：直角三角形的性质定理及其推论： 直角三角形的性质，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半； 推论：（1）在直角三角形中，如果一个锐角等于30。，则它所对的直角边等于斜边的一半；（2）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角为30 .难点：1性质定理的证明方法2性质定理及其推论在解题中的应用.讲一讲D为AB中点，DEL AC于E,BC可求，由直角三角形斜边中线的例 1 :已知，Rt ABC中，/ ACB=90 , AB=8cm / A=30,求 BC, CD和 DE 的长分析：由30的锐角所对的直角边为斜边的一半，性质可求CD.在Rt ADE中，有/ A=30,贝U DE可求. 解：在Rt ABC中/ ACB=90 / A=30a BC1AB2/ AB=8 BC=4/ D为AB中点，CD为中线1- CD AB =42DEL ACAED=901 AD2在 Rt ADE中,DEAD1 AB21二 DE AB4例2 :已知：ABC中,DEI AC于 E.求证：CEAB=AC=BC （ ABC为等边三角形）1AC .4D为BC边上的中点,-1 -故 CD为BC上的一半，因此分析：CE在Rt DEC中，可知是 CD的一半，又 D为中点,可证.证明： DEI AC于E,./ DEC=90 （垂直定义）/ ABC为等边三角形， AC=BCZ C=60 在 Rt EDC中，/ C=60,aZ EDC=90 -60 =301EC CD2/ D为BC中点， dc =bc dc Jac2 2 1 CE AC .4例 3 :已知：如图 AD/ BC,且 BD丄CD, BD=CD AC=BC.求证：AB=BO.分析：证AB=BD只需证明/ BAO=/ BOA由已知中等腰直角三角形的性质，可知系，故可求题目中的角度，利用角度相等得证 证明：作 DF丄BC于F，AE丄BC于 E / BDC中，/ BDC=90 , BD=CD1 DF BC21/ BC=AC. DF AC21/ DF=AE AE AC2/ ACB=30/ CAB=/ ABCCAB玄 ABC=75/ OBA=30/ AOB=75/ BAO2 BOA AB=BODF1BC。由此，建立起 AE与AC之间的关2-3 -# -练一练1. ABC中，/ BAC=2/ B, AB=2AC AE平分/ CAB 求证：AE=2CE-# -2. 已知，Rt ABC中，/ ACB=90 , CD!AB, CE为 AB边上的中线，且/ BCD=2 DCA 求证：DE=DC-# -# -3. 如图：AB=AC AD丄BC于D, AF=FD AE/ BC且交BF的延长线于 E,若 AD=9, BC=12求BE的长。-# -4. 在厶ABC中，/ ACB=90 , D是AB边的中点，点 F在AC边上，DE与CF平行且相等。 求证：AE=DF5.已知，如图，在ABC中，/ B=Z C, AD丄BC于D, E为AC的中点,C-4 -# -参考答案1. 取AB中点M,连接EM1/ AE平分/ CAB . 1 2二一.CAB （角平分线意义） 2/ BAC=2/ B2=Z B AE=EB EM丄 AB/ EMA=90/ AB=2AC AB=2AM AC=AMAC = AM在厶 ACE与 AME中？N1 =/2、AE =AE ACEA AME（SAS/ EMAM C=90在 Rt ACB中，/ 1+M 2+M B=90/ 1 = M 2=M B仁 301-CE AE2即 AE=2CE2. / BCD=M DCA且/ BCA=90/ DCA=22. 5 M BCD=67.5Z B=22.5/ CEA=45 / ECD=67.5 -22.5 =45 DE=DC3. AD=9 AF =FD =4.5= 92/ BC=12 BD=CD=6/ BFD玄 EFA AF=FD / FDB=Z FAE=90 AFEA DFB (ASAFE=FB-5 -# -在 Rt BFD中，BF 二,BD 2 DF81.436152-# - BE=2BF=154. T在 Rt ACB中, D为 AB 中点,1-CD AB = AD 且，/ 2=/ 32DE/ CF1=/ 21 = / 3DE =CF在厶 DEA-与 DFC中二1 - . 3AD =CD EDAA DFC( SAS AE=DF5. AD丄 BCM AB=AC D为BC中点 E为AC中点111 DE AC AB6=3。222-# -
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