五年高考真题高考数学 复习 第二章 第七节 函数与方程 理全国通用

第七节第七节 函数与方程函数与方程 考点 函数的零点与方程的根 1(20 xx山东，10)设函数f(x)3x1，x1，2x，x1，则满足f(f(a)2f(a)的a取值范围是( ) A.23，1 B0，1 C.23， D1, ) 解析 当a2时，f(a)f(2)2241，f(f(a)2f(a)，a2满足题意，排除A，B选项；当a23时，f(a)f2332311，f(f(a)2f(a)，a23满足题意，排除 D选项，故答案为 C. 答案 C 2(20 xx天津，8)已知函数f(x)2|x|，x2，（x2）2，x2，函数g(x)bf(2x)，其中bR R，若函数yf(x)g(x)恰有 4 个零点，则b的取值范围是( ) A.74， B.，74 C.0，74 D.74，2 解析 记h(x)f(2x)在同一坐标系中作出f(x)与h(x)的图象如图，直线AB：yx4，当直线lAB且与f(x)的图象相切时，由yxb，y（x2）2， 解得b94，94(4)74， 所以曲线h(x)向上平移74个单位后，所得图象与f(x)的图象有四个公共点，平移2个单位后，两图象有无数个公共点，因此，当74b2 时，f(x)与g(x)的图象有四个不同的交点，即yf(x)g(x)恰有 4 个零点选 D. 答案 D 3(20 xx湖南，10)已知函数f(x)x2ex12(x0 时，yf(x)与yg(x)的图象有交点，即g(x) f(x)有正解，即x2ln(xa)(x)2ex12有正解，即 exln(xa)120 有正解，令F(x)exln(xa)12，则F(x)ex1xa0，故函数F(x) exln(xa)12在(0，)上是单调递减的，要使方程g(x)f(x)有正解，则存在正数x使得F(x)0，即 exln(xa)120，所以aeex12x，又yeex12x在(0，)上单调递减，所以aee0120e12，选 B. 答案 B 4(20 xx重庆，6)若abc，则函数f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的两个零点分别位于区间( ) A(a，b)和(b，c)内 B(，a)和(a，b)内 C(b，c)和(c，)内 D(，a)和(c，)内 解析 由题意ab0，f(b)(bc)(ba)0.显然f(a)f(b)0，f(b)f(c)2；a0，b2；a1，b2. 解析 令f(x)x3axb，f(x)3x2a， 当a0 时，f(x)0，f(x)单调递增，必有一个实根，正确； 当a0 时，由于选项当中a3，只考虑a3 这一种情况，f(x)3x233(x1)(x1)，f(x)极大f(1)13bb2，f(x)极小f(1)13bb2，要有一根，f(x)极大0，b2，正确，所有正确条件为. 答案 8(20 xx江苏，13)已知函数f(x)|ln x|，g(x)0，0 x1，|x24|2，x1，则方程|f(x)g(x)|1 实根的个数为_ 解析 令h(x)f(x)g(x)，则h(x)ln x，0 x1，x2ln x2，1x2，x2ln x6，x2，当 1x2 时，h(x)2x1x12x2x0，故当 1x2 时h(x)单调递减，在同一坐标系中画出y|h(x)|和y1 的图象如图所示 由图象可知|f(x)g(x)|1 的实根个数为 4. 答案 4 9(20 xx北京，14)设函数f(x)2xa，x1，4（xa）（x2a），x1. (1)若a1，则f(x)的最小值为_； (2)若f(x)恰有 2 个零点，则实数a的取值范围是_ 解析 (1)当a1 时， f(x)2x1，x1，4（x1）（x2），x1. 当x1. 当x1 时，且当x32时， f(x)minf321， f(x)最小值为1. (2)1当a0 时，2xa0， 由 4(xa)(x2a)0 得xa或x2a.a1，)， 2a1，)， 此时f(x)无零点 2当 0a1 时，若有 2 个零点，只须a1，2a1，12a1. 3当 1a2 时，x1，2xa，xlog2a0，1)， x1 时，由f(x)0，得xa或 2a，a1，) 2a1，)，有 3 个零点，不合题意 4当a2 时，x1，则 2xa0，讨论曲线yf(x)与曲线ymx2(m0)公共点的个数； (3)设ab，比较f（a）f（b）2与f（b）f（a）ba的大小，并说明理由 解 (1)f(x)的反函数为g(x)ln x设直线ykx1 与g(x)ln x的图象在P(x0，y0)处相切，则有y0kx01ln x0，kg(x0)1x0，解得x0e2，k1e2. (2)曲线yex与ymx2的公共点个数等于曲线yexx2与ym的公共点个数 令(x)exx2，则(x)ex（x2）x3， (2)0. 当x(0，2)时，(x)0，(x)在(2，)上单调递增，(x)在(0，)上的最小值为(2)e24. 当 0me24时，在区间(0，2)内存在x11m，使得(x1)m，在(2，)内存在x2me2，使得(x2)m(通过证明(x2)ex2x22x2即可) 由(x)的单调性知，曲线yexx2与ym在(0，)上恰有两个公共点 综上所述，当x0 时， 若 0me24，曲线yf(x)与ymx2有两个公共点 (3)可以证明f（a）f（b）2f（b）f（a）ba. 事实上，f（a）f（b）2f（b）f（a）baeaeb2ebeababa2ebeaebeaba212eaebeaba212eba1(ba)(*) 令(x)x22ex11(x0)， 则(x)122ex（ex1）2（ex1）24ex2（ex1）2 （ex1）22（ex1）20(当且仅当x0 时等号成立)， (x)在0，)上单调递增， x0 时，(x)(0)0. 令xba，即得(*)式，结论得证