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精品资料第三节二项式定理 高频考点考点一 求二项展开式中的特定项或特定项的系数 1二项式定理是高中数学中的一个重要知识点，也是高考命题的热点，多以选择、填空题的形式呈现，试题难度不大，多为容易题或中档题2高考对二项式定理的考查主要有以下几个命题角度：(1)求二项展开式中的第n项；(2)求二项展开式中的特定项；(3)已知二项展开式的某项，求特定项的系数例1(1)(2013江西高考)5展开式中的常数项为()A80 B80 C40 D40(2)(2013辽宁高考)使n(nN*)的展开式中含有常数项的最小的n为()A4 B5 C6 D7自主解答(1)此二项展开式的通项为Tr1C(x2)5r(1)r2rx3rC(1)r2rx105r.因为105r0，所以r2，所以常数项为T3C2240.(2)Tr1C(3x)nrxrC3nrxnrrC3nrxn(r0,1,2，n)，若Tr1是常数项，则有nr0，即2n5r(r0,1，n)，当r0,1时，n0，不满足条件；当r2时，n5.来源:答案(1)C(2)B【互动探究】若本例(2)中的条件“nN*”改为“n3”，其他条件不变，则展开式中的有理项最少有_项解析：由本例(2)中的自主解答可知：Tr1C3nrxn(r0,1,2，n)即当为整数时，Tr1为有理项显然当n3时，r的取值最少，有r0，r2，即有理项为T1、T3两项答案：2 求二项式展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的第n项可依据二项式的通项公式直接求出第n项(2)求展开式中的特定项可依据条件写出第r1项，再由特定项的特点求出r值即可(3)已知展开式的某项，求特定项的系数可由某项得出参数项，再由通项公式写出第r1项，由特定项得出r值，最后求出其参数1若二项式n的展开式中第5项是常数项，则正整数n的值可能为()A6 B10 C12 D15解析：选CTr1C()nrr(2)rCx，当r4时，0，又nN*，所以n12.2(2014昆明模拟)(1)4的展开式中x的系数是_解析：(1)4的展开式中x的项为C10()4xC14()02xx3x.所以x的系数为3.答案：3考点二二项式系数或各项系数和 例2(1)(2013新课标全国卷)设m为正整数，(xy)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(xy)2m1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a7b，则m()A5 B6 C7 D8来源:(2)若CC(nN*)且(3x)na0a1xa2x2anxn，则a0a1a2(1)nan_.自主解答(1)由题意得：aC，bC，所以13C7C，13，解得m6，经检验为原方程的解，选B.(2)由CC，得3n1n6(无整数解)或3n123(n6)，解得n4，问题即转化为求(3x)4的展开式中各项系数和的问题，只需在(3x)4中令x1即得a0a1a2(1)nan3(1)4256.答案(1)B(2)256【方法规律】赋值法的应用(1)形如(axb)n，(ax2bxc)m(a，b，cR)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x1即可(2)对形如(axby)n(a，bR)的式子求其展开式各项系数之和，只需令xy1即可(3)若f(x)a0a1xa2x2anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0a2a4，偶数项系数之和为a1a3a5.1设(1x)na0a1xanxn，若a1a2an63，则展开式中系数最大的项是()A15x3 B20x3 C21x3 D35x3解析：选B在(1x)na0a1xanxn中，令x1得2na0a1a2an.令x0，得1a0，a1a2an2n163，n6.而(1x)6的展开式中系数最大的项为T4Cx320x3.2(2014丽水模拟)若(12x)2 014a0a1xa2 013x2 013a2 014x2 014(xR)，则的值为()A2 B0 C1 D2解析：选C令x0，则a01，令x，则a00，1.来源:考点三二项式定理的应用 例3(1)已知2n23n5na能被25整除，求正整数a的最小值；来源:数理化网(2)求1.028的近似值(精确到小数点后三位)自主解答(1)2n23n5na42n3n5na46n5na4(51)n5na4(C5nC5n1C52C5C)5na4(C5nC5n1C52)25n4a，显然正整数a的最小值为4.(2)1.028(10.02)8CC0.02C0.022C0.0231.172.【方法规律】1整除问题的解题思路利用二项式定理找出某两个数(或式)之间的倍数关系，是解决有关整除性问题和余数问题的基本思路，关键是要合理地构造二项式，并将它展开进行分析判断2求近似值的基本方法利用二项式定理进行近似计算：当n不很大，|x|比较小时，(1x)n1nx.求证：(1)32n28n9能被64整除(nN*)；(2)3n(n2)2n1(nN*，n2)证明：(1)32n28n93232n8n999n8n99(81)n8n99(C8nC8n1C8C1)8n99(8nC8n1C82)98n98n9982(8n2C8n3C)64n649(8n2C8n3C)n，显然括号内是正整数，故原式能被64整除(2)因为nN*，且n2，所以3n(21)n展开后至少有4项(21)n2nC2n1C212nn2n12n12nn2n1(n2)2n1，故3n(n2)2n1(nN*，n2)来源:课堂归纳通法领悟1个公式二项展开式的通项公式通项公式主要用于求二项式的特定项问题，在运用时，应明确以下几点：(1)Canrbr是第r1项，而不是第r项；(2)通项公式中a，b的位置不能颠倒；(3)通项公式中含有a，b，n，r，Tr1五个元素，只要知道其中的四个，就可以求出第五个，即“知四求一”3个注意点二项式系数的三个注意点(1)求二项式所有系数的和，可采用“赋值法”；(2)关于组合式的证明，常采用“构造法”构造函数或构造同一问题的两种算法；(3)展开式中第r1项的二项式系数与第r1项的系数一般是不相同的，在具体求各项的系数时，一般先处理符号，对根式和指数的运算要细心，以防出错
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