新编高中数学北师大版选修22教案：第1章 教材解读：反证法

新编数学北师大版精品资料反证法教材解读一、重点知识梳理反证法（间接证明）是不同于综合法与分析法（直接证明）的又一种证明方法，它不是从原命题的条件逐步推得命题成立。反证法就是一种常用的间接证明方法。反证法的证明过程可以概括为“否定推理否定”，即从否定结论开始，经过正确的推理，导致逻辑矛盾，从而达到新的否定（即肯定原命题）的过程。用反证法证明“若p则q”的过程可以用以下框图表示：肯定条件p否定结论q导 致逻辑矛盾“若p则q” 为 真“p且q”为 假 这个过程包括下面三个步骤： （1）反设假设命题的结论不成立，即假定原结论的反面为真； （2）归谬从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果； （3）存真由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立。说明：1、反证法的原理：否定之否定等于肯定2、反证法的实质：原命题和它的逆否命题是等价命题 二、疑、难点解析利用反证法证明不等式，如何依据题设条件和不等式的结论制造矛盾是本节内容的一个难点。例1、若、，且，求证：与至少有一个小于证明：假设与均不小于，即，且 、，且 ， 这与已知相矛盾假设不成立，故原命题正确点评：证明的结论中若有“至多”“至少”等字词时，常可以考虑用反证法解决。 注意：（1）利用反证法证明时，第一步“假设”不要写成“设”。（2）应用反证法证题要充分理解两个否定：第一个否定是指“否定结论”；第二个否定是指“逻辑推理结果否定了假设”。例2、已知函数 试用反证法证明方程f(x)=0没有负数根。 证法1 假设存在满足，则 ，即与假设矛盾， 故方程f(x)=0没有负数根。证法2 假设存在满足， 若，则， ，这与矛盾； 若，则， ，这与矛盾。 故方程f(x)=0没有负数根。 点评： 命题中含有否定词时，常用反证法。注意：（1）由以上证明过程可以看出，用反证法证明问题时，推出矛盾的途径多种多样。一定要明确矛盾的所在，不可稀里糊涂。总之无论是在日常生活中还是在数学中，都经常应用反证法.而且对于处理正面复杂性问题、至多至少性问题、否定性问题、唯一性问题、存在性问题以及无理性问题等，反证法都具有特殊的优越性。反证法的证题过程其实是证明原命题“若p则q”的否定“若p则 q”是错误的我们在学习反证法时会出现两方面的困难： “否定结论”部分，把握不清结论的“反”是什么。使用反证法证明问题时，准确地做出反设（即否定结论）是正确运用反证法的前提，常用的“结论词”与“反设词”列表如下：词语等于大于小于都是一定是至少有一个至少n个至多一个至多n个只有一个P或qP且q对所有x成立词语的否定不等于小于等于大于等于不都是一定不是一个也没有至多n-1个至少两个至少n+1个没有或至少有两个P且 qP或q存在某个x不成立2、“导出矛盾”部分，有时与已知条件相矛盾；有时与假设相矛盾；而有时又是与某个定义、公理、定理或事实相矛盾，还有的是自相矛盾因此我们有时弄不明白究竟是与什么矛盾