2020高中数学北师大版选修22教案：第1章 例谈反证法在解题中的应用

北师大版2019-2020学年数学精品资料例谈反证法在解题中的应用反证法是一种间接证法.它是数学学习中一种很重要的证题方法.反证法证题的步骤大致分为三步：（1）反设：作出与求证的结论相反的假设；（2）归谬：由反设出发，导出矛盾结果；（3）作出结论：证明了反设不能成立，从而证明了所求证的结论成立.其中，导出矛盾是关键，通常有以下几种途径：与已知矛盾，与公理、定理矛盾，与假设矛盾，自相矛盾等.一、证明“至多”或“至少”问题例1已知函数对其定义域内的任意两个实数，当时，都有求证：至多有一个实数使得证明：假设存在两个不等实数，使得不妨设，由条件可知，与式矛盾故至多有一个实数使得二、证明“不可能”问题例2给定实数，且，设函数，求证：经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行于轴证明：假设函数图象上存在两点，使得直线平行于轴设且由，得，解得与已知矛盾故经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行于x轴.例3双曲线的两支为，正三角形的三顶点位于此双曲线上求证：不可能在双曲线的同一支上证明：假设正三角形的三顶点位于双曲线同一支如上，其坐标分别为，不妨设，则一定有于是因此，这说明是钝角三角形，与为正三角形矛盾故不可能在双曲线的同一支上三、证明“存在性”或“唯一性”问题例4已知函数的图象过点问是否存在常数，使不等式对一切实数都成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由解：假设存在符合条件的的图象过，即又对一切实数都成立，令，则，由得据题意，对于任意实数，与都成立对于，若，则，不合题意；若，欲使的解集为，则需即解得对于，再考虑，把代入，得，其解集为所以，存在满足条件的，其中