精编高中数学北师大版选修22教案：第1章 复习点拨：宜用反证法证明的几类命题

精编北师大版数学资料宜用反证法证明的几类命题反证法是证明数学命题的一种重要方法，当直接证明思路受阻，难以成功时，反证法常使人茅塞顿开，柳暗花明它通常用来证明下列几类命题一、否定性命题问题的结论是以否定形式出现（例如“没有”，“不是”，“不存在”等）的命题，宜用反证法例1求证：是无理数分析：在实数集内，证它是无理数，即证它不是有理数证明：假设不是无理数，即为有理数，则设，互质）从而得，上式表明：偶数等于奇数，这与偶数不等于奇数矛盾，于是假设不成立故是无理数例2证明：一个三角形中不可能有两个直角分析：用三角形内角和为证一个三角形中不存在两个直角证明：假设一个三角形中有两个直角不妨设，这与三角形内角和定理矛盾假设不成立，即原命题成立二、“至少”或“至多”类命题若一个命题的结论是“至少”或“至多”，“不都”则可考虑用反证法例3已知、，且2（）求证：方程和中，至少有一个方程有实根分析：“至少有一个”是“有一个”、“有两个”，它的反面是“一个都没有”证明：假设这两个一元二次方程都没有实根，那么他们的判别式都小于，即：（）代入上式得，即这与“任何实数的平方为非负数”相矛盾，所以假设不成立故这两方程中，至少有一个方程有实根三、唯一性命题若一个命题的结论是“唯一”的形式出现，则可考虑用反证法例4 求证：在一个平面内，过直线外一点P只能作出一条直线垂直于 证明：假设过点可以作两条直线垂直于直线如图，那么PABPBAABP于是APBPABPBA 即PAB的内角和大于，这与定理“三角形内角和等于”相矛盾，故假设不成立