人教版 高中数学 选修221.5.1曲边梯形的面积学案

20192019 年编年编人教版高中数学人教版高中数学15定积分的概念1 15 5.1.1曲边梯形的面积曲边梯形的面积1了解求曲边梯形的面积的方法2了解“以直代曲”和逼近的思想，借助几何直观体会定积分的基本思想基础梳理1连续函数：如果函数yf(x)在某个区间I上的图象是一条连续不断的曲线，那么就把它称为区间I上的连续函数2曲边梯形：在直角坐标系中，由连续曲线yf(x)，直线xa、xb及x轴所围成的图形叫做曲边梯形(如图所示)3将曲边梯形分成n个小曲边梯形，并用小矩阵形的面积代替小曲边梯形的面积，于是曲边梯形的面积S近似的表示为SS1S2Sn，当n越来越大，即小曲边梯形越来越多时，这些小曲边梯形的面积之和就无限趋近于曲边梯形的面积(如下图所示)想一想：求由抛物线f(x)x2，直线x0，x1 以及x轴所围成的平面图形的面积时，若将区间0，15 等分，如图所示，以小区间中点的纵坐标为高，则所有小矩形的面积之和为_解析：由题意得面积之和S(0.120.320.520.720.92)0.20.33.自测自评1函数f(x)x2在区间i1n，in上(D)Af(x)的值变化很小Bf(x)的值变化很大Cf(x)的值不变化D当n很大时，f(x)的值变化很小解析：函数f(x)x2在区间i1n，in上，随着n的增大，f(x)的值的变化逐渐缩小，当n很大时，f(x)的值变化很小2当n很大时，函数f(x)x2在区间i1n，in上的值可以用下列哪个值近似代替(C)Af1nBf2nCfinDf(0)解析：当n很大时，f(x)x2在区间i1n，in上的值可用该区间上任何一点的函数值近似代替，显然可以用左端点或右端点的函数值近似代替基础巩固1在计算由曲线yx2以及直线x1，x1，y0 所围成的图形的面积时，若将区间1，1n等分，则每个小区间的长度为(B)A.1nB.2nC.2n1D.2n12在求由函数y1x与直线x1，x2，y0 所围成的平面图形的面积时，把区间1，2等分成n个小区间，则第i个小区间为(B)A.i1n，inB.ni1n，ninCi1，iD.in，i1n解析：把区间1，2等分成n个小区间后，每个小区间的长度为1n，且第i个小区间的左端点不小于 1，故选 B.3在“近似代替”中，函数f(x)在区间xi，xi1上的近似值(C)A只能是左端点的函数值f(xi)B只能是右端点的函数值f(xi1)C可以是该区间内任一点的函数值f(i)(ixi，xi1D以上答案均不正确解析：由求曲边梯形面积的“近似代替”知，选项 C 正确，故选 C.4在区间1，10上等间隔地插入 8 个点，则将它等分成 9 个小区间，每个小区间的长度为 1能力提升5对于由函数yx3和直线x1，y0 围成的曲边梯形，把区间0，1三等分，则曲边梯形面积的近似值(每个i取值均为小区间的左端点)是(A)A.19B.125C.127D.130解析：S013133132331319.6在等分区间的情况下，f(x)11x2(x0，2)及x轴所围成的曲边梯形面积和式的极限形式正确的是(B)解析：将区间0，2进行n等分每个区间长度为2n，故应选 B.答案：38直线x0，x2，y0 与曲线yx21 围成曲边梯形，将区间0，2五等分，按照区间左端点和右端点估计曲边梯形面积分别为_、_解析：分别以小区间左、右端点的纵坐标为高，求所有小矩形面积之和S1(0210.4210.8211.2211.621)0.43.92；S2(0.4210.8211.2211.621221)0.45.52.答案：3.925.529求出由直线x0，x3，y0 和曲线y 4（x1）2围成的平面图形的面积解析：圆(x1)2y24 在第一象限的面积如下图：ACB23，OB 3，面积SSBOCS扇形ACB321222233243.10求yx3与x0，y2 围成的图形的面积解析：所求面积如图阴影部分，由对称性知S1S2，故所求面积为 2S1.先求yx3与y0，x0，x2 围成的面积S1如下：(1)分割：将0，2分成n等份2（i1）n，2in(i1，2，3，n)，每个小区间距离为x2n.(2)近似代替：Sif(i)x2in3x.(3)求和：12S错误错误!Si错误错误!2in3x错误错误!2in32n.(4)求极限：12S2n24n32nn3241223n3n42414n2（n1）2n44（n22n1）n24.所以由yx3，x0，x2，y0 围成的图形的面积S14，S128412.故所求面积为S2S124.