文科 第七章 不等式 第3节 基本不等式及其应用

第3节 基本不等式及其应用题型86 利用基本不等式求函数最值1. （2013山东文12）设正实数，满足，则当取得最大值时，的最大值为（ ）.A. B. C. D. 1.分析 含三个参数，消元，利用基本不等式及配方法求最值.解析 ，所以.当且仅当，即时“=”成立，此时，所以.所以当时，取最大值2.故选C.2. (2013重庆文7） 关于的不等式的解集为，且，则 （ ）.A. B. C. D. 2.分析 利用因式分解法解一元二次不等式寻求的关系式后代入求解.解析 由得，即，故原不等式的解集为.由得，即，所以.故选A.3.（2013四川文13） 已知函数在时取得最小值，则 .3分析 借助基本不等式求最值的条件求解解析 ，当且仅当，即时等号成立，此时取得最小值.又由已知时，所以，即.4. (2013天津文14） 设， 则的最小值为 . 4.分析 分和，去掉绝对值符号，用均值不等式求解.解析 当时，当，综上所述，的最小值是5. （2013辽宁文21）（1）证明：当时，；（2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围.5.分析 利用构造法，分别判断与，与的大小关系；利用比较法或构造函数，通过导数求解范围.解析 （1）证明：记，则，当时，在上是增函数；当时，在上是减函数.又，所以当时，即.记，则当时，所以在上是减函数，则,即综上，.（2）解法一：因为当时，所以，当时，不等式对恒成立下面证明，当时，不等式对不恒成立.因为当时，,所以存在满足，即当时，不等式对不恒成立.综上，实数的取值范围是 解法二：记，则.记，则.当时，因此于是在上是减函数，因此，当时，故当时，从而在上是减函数，所以，即当时，不等式对恒成立.下面证明，当时，不等式对不恒成立.当时，所以当时，因此在上是增函数，故；当时，又，故存在使，则当时，所以在上是增函数，所以当时，所以当时，不等式，对不恒成立.综上，实数的取值范围是.6.（2014重庆文9）若的最小值是（ ）.A. B. C. D.7.（2014江苏14）若的内角满足，则的最小值是 8.（2014江西文13）在等差数列中，公差为，前项和为，当且仅当时取得最大值，则的取值范围 .9.（2014江苏14）若的内角满足，则的最小值是 10.（2014江西文13）在等差数列中，公差为，前项和为，当且仅当时取得最大值，则的取值范围 .11.（2014辽宁文16）对于，当非零实数，满足，且使最大时，的最小值为 .12.（2015福建文5）若直线过点，则的最小值等于（ ）.A2 B3 C4 D512.解析 由已知可得，则.因为，所以，故，当且仅当，即时取等号.13.（2015山东文14）定义运算“”：. 当 时， 的最小值为 .13.解析 由所给新定义运算，可知.又，所以，当且仅当，即时，取等号. 故所求最小值为.14.（2015重庆文14）设，则的最大值为 _.14.解析 令，则因为，所以故的最大值为.15.（2016上海文13）设，若关于的方程组无解，则的取值范围是 .15.解析 解法一：即线性方程组表示两条平行的直线，故由条件，且，所以.故填.解法二：将方程组中的式化简得，代入式整理得，方程组无解应该满足且，所以且，所以由基本不等式得.故填.评注 或.16.（2017山东文12）若直线过点，则的最小值为 .16.解析 由题意，故（当且仅当，即时等号成立）.17.（2017天津文13）若a，则的最小值为 .17.解析 ，当且仅当，即时取等号.18.（2017江苏10）某公司一年购买某种货物吨，每次购买吨，运费为万元次，一年的总存储费用为万元要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则的值是 18.解析 一年的总运费与总存储费用之和为，当且仅当，即时取等号故填题型87 利用基本不等式证明不等式暂无题型 基本不等式及其应用1.（2015湖南文7）若实数，满足，则的最小值为（ ）.A. B. 2 C. 2 D. 41.解析 由可知. 由基本不等式可得：. 所以，解得，当且仅当时取等号，即的最小值为.故选C. 不等式的解法(蓝色的是2015年多的分类)题型 不等式的解法1.（2015广东文11）不等式的解集为 （用区间表示）1.解析 由，得，即，解得，所以不等式的解集为.故应填2.（2015江苏7）不等式的解集为 2.解析 由题意，根据是单调递增函数，得，即，故不等式的解集为或写成3.（2015全国2文12）设函数，则使得成立的的取值范围是（ ）.A. B. C. D. 3.解析 由题意知，即为偶函数.因为，所以在上是增函数，所以使成立的条件是 .所以，解之得 .故选A.4.（2015山东文8）若函数是奇函数，则使成立的的取值范围为（ ）.A. B. C. D.4.解析 因为为奇函数，所以对定义域内的每一个，均有，即.整理得，所以，所以.令，得.所以，所以.故选C.题型 绝对值不等式的解法1.（2015天津文4）设，则“”是“”的（ ）.A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件1.解析 由，可知“”是“”的充分而不必要条件.故选A. 不等式的综合题型 不等式恒成立问题中求参数的取值范围题型 函数与不等式综合1.（2015四川文21）已知函数，其中.（1）设为的导函数，讨论的单调性；（2）求证：存在，使得恒成立，并且在区间内有唯一解.1.解析 （1）由已知可得函数的定义域为.，所以，当时，单调递减；当时，单调递增.（2）由，解得，令.则，所以存在，使得.令，其中.由，可知函数在区间上单调递增.故，即.当时，有，再由（1）可知，在区间上单调递增.当时，所以；当时，所以.又当时，故时，.综上所述，存在，使得恒成立，且在区间内有唯一解.2.（2015福建文21）已知函数.（1）求函数的最小正周期；（2）将函数的图像向右平移个单位长度，再向下平移（）个单位长度后得到函数的图像，且函数的最大值为2（）求函数的解析式；（）求证：存在无穷多个互不相同的正整数，使得2.解析 （1）因为.所以函数的最小正周期（2）（i）将的图像向右平移个单位长度后得到的图像，再向下平移个单位长度后得到的图像又函数的最大值为2，所以，解得所以（ii）要证明存在无穷多个互不相同的正整数，使得，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数，使得，即由知，存在，使得由正弦函数的性质可知，当时，均有因为的周期为，所以当时，均有因为对任意的整数，所以对任意的正整数，都存在正整数，使得即存在无穷多个互不相同的正整数，使得3.（2015福建文22）已知函数（1）求函数的单调递增区间；（2）求证：当时，；（3）确定实数的所有可能取值，使得存在，当时，恒有3.解析 （1），由，得，解得故的单调递增区间是（2）令，则有，当时，所以在上单调递减，故当时，即当时，（3）由（2）知，当时，不存在满足题意；当时，对于，有，则，从而不存在满足题意.当时，令，则有由得，解得（舍），当时，故在上单调递增从而当时，即.综上，的取值范围是4.（2015广东文21）设为实数，函数（1）若，求的取值范围；（2）讨论的单调性；（3）当时，讨论在区间内的零点个数4.解析 （1），因为，所以.当时，显然成立；当时，则有，所以，所以.综上所述，的取值范围是.（2），对于，其对称轴为，开口向上，所以在上单调递增；对于，其对称轴为，开口向上，所以在上单调递减.综上，在上单调递增，在上单调递减.（3）由（2）得在上单调递增，在上单调递减，所以.(i)当时，.令=0，即.因为在上单调递减，所以.而在上单调递增，.所以在上，故与在无交点.当时，即.所以，所以.因为，所以.故当时，有一个零点.(ii)当时，当时， ，而在上单调递增，当时，.下面比较与的大小：因为，所以.结合图像可知当时，与有两个交点. 综上，当时，有一个零点；当时，与有两个零点.5.（2015全国2文21）已知函数.(1)讨论的单调性；(2)当有最大值，且最大值大于时，求的取值范围.5.解析 (1)的定义域为，.若，则，所以在上单调递增.若，则当时，；当时，所以在 上单调递增， 在上单调递减.(2)由(1)知，当时，在上无最大值；当时，在处取得最大值，最大值为.因此等价于.令，则在上单调递增，又.于是，当时，；当时，.因此，的取值范围是.6.（2015湖南文21）函数，记为的从小到大的第个极值点.（1）证明：数列是等比数列；（2）若对一切恒成立，求的取值范围.6.解析 （1）.令，由，得，即， 若，即，则；若，即，则.因此，在区间与上，的符号总相反，于是当时，取得极值，所以，此时，易知，而是常数，故数列是首项为，公比为的等比数列.（2）对一切恒成立，即恒成立，亦即恒成立（因为）， 设，则，令得，当时，所以在区间上单调递减；当时，所以在区间上单调递增；因为，且当时，所以，因此恒成立，当且仅当，解得，故实数的取值范围是.7.（2015天津文20）已知函数其中，且.（1）求的单调性；（2）设曲线与轴正半轴的交点为，曲线在点处的切线方程为，求证：对于任意的正实数，都有；（3）若方程（为实数）有两个正实数根，且，求证：.7.解析 （1）由，可得，当 ，即时，函数 单调递增；当，即时，函数单调递减.所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是.（2）设 ，则 ，且，得，曲线 在点处的切线方程为 ，即，令 即 则.由于在 单调递减，故在 单调递减，又因为，所以当时，所以当时，所以在单调递增，在单调递减，所以对任意的实数， ，对于任意的正实数，都有.（3）由（2）知，设方程的根为，可得，因为在上单调递减，又由（2）知，所以 .设曲线在原点处的切线为，可得，对任意的，有，即.设方程 的根为，可得，因为在单调递增，且，因此，所以.8.（2015浙江文20）设函数.(1)当时，求函数在上的最小值的表达式；(2)已知函数在上存在零点，求的取值范围.8.解析 (1) ，对称轴.当，即时，；当，即时，；当，即时， .综上所述，.(2)假设在上的零点，则，所以，对称轴直线.当，即时，综合，得；当，即时，综合，得；当，即时，综合，得；当，即时，综合，得.综上所述，9.（2015湖北文21）设函数，的定义域均为，且是奇函数，是偶函数，其中为自然对数的底数.(1)求，的解析式，并证明：当时，；(2)设，证明：当时，.9.解析 (1)由，的奇偶性及条件 得 联立式式解得，.当时，故. 又由基本不等式，有，即. (2)由(1)得 ， ， 当时，等价于， 等价于 设函数 ，由式式，有 当时，（1）若，由式式，得，故在上为增函数，从而，即，故式成立.（2）若，由，得，故在上为减函数，从而，即，故式成立.综合式式，得. 10.（2015陕西文21）设，.（1）求.（2）证明：在内有且仅有一个零点（记为），且.10.解析 (1)由题设，所以，所以，由错位相减法求得：，所以；(2)因为，所以在内至少存在一个零点，又，所以在内单调递增，因此，在内有且只有一个零点，由于，所以，由此可得，故，所以.11.（2015全国1文21）设函数.（1）讨论的导函数零点的个数；（2）求证：当时，.11.解析 （1），.显然当时，恒成立，无零点. 当时，取，则，即单调递增.令，即.画出与的图像，如图所示.由图可知，必有零点，所以导函数存在唯一零点.（2）由（1）可知有唯一零点，设零点为，由图可知，则当时，即单调递减；当时，即单调递增.所以在处取得极小值，即.又，解得.两边分别取自然对数，得，即.所以（当且仅当，即时取等号）.欢迎访问“高中试卷网”http:/sj.fjjy.org