第八章第4节 直线、平面平行的判定与性质

第四节 直线、平面平行的判定与性质题型95 证明空间中直线、平面的平行关系2013年1（2013广东文8）设为直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是A若，则 B若，则C若，则 D若，则2. （2013浙江文4）设是两条不同的直线，是两个不同的平面， A.若，则 B.若，则 C.若，则 D.若，则3. （2013山东文19） 如图，四棱锥中，分别为的中点（1）求证：平面；（2）求证：平面平面4. （2013江苏16）如图，在三棱锥中，平面平面，过作，垂足为，点分别是棱的中点.求证：（1）平面平面；（2）.5.（2013辽宁文18）如图，是圆的直径，垂直于圆所在的平面，是圆上的点.（1）求证：平面；（2）设为的中点，为的重心，求证：平面.6. (2013陕西文18）如图，四棱柱的底面是正方形，为底面中心，平面，.（1）证明：平面平面；（2）求三棱柱的体积.2014年1.（2014山东文18）如图所示，四棱锥中分别为线段的中点.（1）求证：；（2）求证：.2.（2014安徽文19） 如图所示，四棱锥的底面是边长为的正方形，四条侧棱长均为.点分别是棱上共面的四点，平面平面，平面.（1）求证：（2）若，求四边形的面积.2015年1.（2015广东文18）如图所示， 所在的平面与长方形所在的平面垂直，(1)求证：平面；(2)求证：；(3)求点到平面的距离1. 解析 （1）因为四边形是长方形，所以.因为平面，平面，所以平面.（2）因为四边形是长方形，所以.因为平面平面，平面平面，平面，所以平面.因为平面，所以.（3）解法一：取的中点，连接和，如图所示.因为，所以.在中，.因为平面平面，平面平面，平面，所以平面.由（2）知平面，由（1）知，所以平面.因为平面，所以.设点到平面的距离为，因为，所以，即，所以点到平面的距离是.解法二：过点作交的延长线于点，取的中点，连接，如图所示.由（2）知平面，由（1）知，所以平面.又平面，所以. 因为，所以平面.则的长度即为点到平面的距离.因为，所以.在与中，所以，所以.在中，.则，得.故点到平面的距离为.2.（2015江苏16）如图所示，在直三棱柱中，已知，设的中点为，求证：（1）平面；（2）2.解析 （1）因为四边形是矩形，所以是的中点. 又是的中点，因此是的中位线，故.又平面，平面，所以平面（2）因为平面，平面，所以，又，从而平面.因为平面，所以因为，为的中点，所以.因为，所以平面.又因为平面，所以2016年1.(2016浙江文2)已知互相垂直的平面，交于直线.若直线，满足，则（ ）.A. B. C. D. 1.C 解析 对于选项A，因为，所以.又因为，所以与平行或异面.故选项A不正确；对于选项B和D，因为，所以或.又因为，所以与的关系平行、相交或异面都有可能.故选项B和D不正确；对于选项C，因为所以因为所以，故选项C正确，故选C.2.(2016上海文16)如图所示，在正方体中，分别为的中点，则下列直线中与直线相交的是（ ）.A.直线 B.直线 C.直线 D.直线2.D 解析 易知与在两个平行平面内，故不可能相交；平面，平面，故不可能相交；同理与也不可能相交；与均在平面内，且与不平行，故相交，其交点如图所示.故选D.3.（2016江苏16）如图所示，在直三棱柱中，分别为的中点，点在侧棱上，且，.求证：（1）直线平面；（2）平面平面.3.解析 （1）因为分别为的中点，所以为的中位线，所以，又因为三棱柱为直棱柱，故，所以，又因为平面，且，故平面.（2）三棱柱为直棱柱，所以平面.又平面，故.又，且，平面，所以平面.又因为平面，所以.又因为，且平面，所以平面.又因为平面，所以平面平面.4.（2016天津文17）如图所示，四边形是平行四边形，平面平面，为的中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面平面；（3）求直线与平面所成角的正弦值.4.解析 （1）如图所示，取的中点为，联结，.在中，因为是的中点，所以且.又因为，所以且，即四边形是平行四边形，所以.又平面，平面，所以平面（2）在中，.由余弦定理可得，进而可得，即.又因为平面平面，平面，平面平面，所以平面.又因为平面，所以平面平面.（3）因为，所以直线与平面所成角即为直线与平面所成角.过点作于点，连接，如图所示. 又因为平面平面，由（2）知平面，所以直线与平面所成角即为.在中，.由余弦定理可得，所以，因此.在中，所以直线与平面所成角的正弦值为.5（2016山东文18）在如图所示的几何体中，是的中点，.（1）已知，. 求证：；（2）已知分别是和的中点.求证：平面.5. 解析 （1）因为，所以与确定一个平面，连接，如图（1）所示. 因为为的中点，所以；同理可得. 又因为，所以平面，因为平面，所以.（2）设的中点为，连接，如图（2）所示. 在中，是的中点，所以.又，所以；在中，是的中点，所以.又，所以平面平面.因为平面，所以平面. （1） (2)6.（2016全国丙文19）如图所示，四棱锥中，底面，为线段上一点，为的中点.（1）证明平面；（2）求四面体的体积.6.解析（1）取中点，连接、，因为是中点，且，又，且，所以，且，所以四边形是平行四边形.所以.又平面，平面，所以平面.(2)由(1) 平面.所以.所以.2017年1.（2017全国1文6）如图所示，在下列四个正方体中，为正方体的两个顶点，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面不平行的是（ ）.1.解析 由选项B，则直线平面；由选项C，则直线平面；由选项D，则直线平面.故选项A不满足.故选A.2.（2017全国2文18）如图所示，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面，.（1）证明：直线平面；（2）若面积为，求四棱锥的体积.解析 （1）在平面内，因为，所以.又平面，平面，故平面.（2）取的中点，联结，.由，及，得四边形为正方形，则.因为侧面是等边三角形且垂直于底面，平面平面，所以，因为平面，所以平面.因为平面，所以.设，则，.取的中点，联结，则，所以.因为的面积为，所以，解得（舍去），于是，.所以四棱锥的体积.3.（2017山东文18）由四棱柱截去三棱锥后得到的几何体如图所示，四边形为正方形，为与的交点，为的中点，平面.（1）证明：平面；（2）设是的中点，证明：平面平面.解析（1）如图所示，取中点，联结，由于为四棱柱，所以，因此四边形为平行四边形，所以.又平面，平面，所以平面.（2）因为四边形是正方形，所以，分别为和的中点，所以.又 面，平面，所以.因为 ，所以.又平面，所以平面，又平面，所以平面平面.解析（1）如图所示，取中点，联结，由于为四棱柱，所以，因此四边形为平行四边形，所以.又平面，平面，所以平面.（2）因为四边形是正方形，所以，分别为和的中点，所以.又 面，平面，所以.因为 ，所以.又平面，所以平面，又平面，所以平面平面.4.（2017江苏15）如图所示，在三棱锥中， 平面平面， 点（与不重合）分别在棱上，且求证：（1）平面； （2）解析 （1）在平面内，因为，且点与点不重合，所以.又因为平面，平面，所以平面.（2）因为平面平面，平面平面， 平面，所以平面.因为平面，所以.又，平面，平面，所以平面.又因为平面，所以.题型96 与平行有关的开放性、探究性问题2014年27.（2014四川文18）在如图所示的多面体中，四边形和都为矩形.（1）若，求证：直线平面；（2）设，分别是线段，的中点，在线段上是否存在一点，使直线平面？请证明你的结论.2015年1.（2015陕西文18）如图1所示，在直角梯形中，是的中点，是与的交点，将沿折起到图2中的位置，得到四棱锥时，四棱锥的体积为，求的值.1.解析 (1)在图1中，因为，是的中点，且所以四边形是正方形，故.又在图2中，从而平面.又 且，所以，即可证得平面；(2)由已知，平面平面，且平面平面.又由(1)知，所以平面，即是四棱锥的高，且.平行四边形面积，从而四棱锥的体积，由，得.2016年1.（2016四川文17）如图所示，在四棱锥中，.（1）在平面内找一点，使得直线平面，并说明理由； （2）证明：平面平面 1.解析（1）取棱的中点平面，点即为所求的一个点.证明如下：因为，所以，且所以四边形是平行四边形，从而又平面，平面，所以平面 (说明：取棱的中点，则所找的点可以是直线上任意一点). （2）由已知，因为，所以直线与相交，所以平面从而因为，所以，且 所以四边形是平行四边形.所以，所以又，所以平面又平面，所以平面平面2.（2016北京文18）如图所示，在四棱锥中，平面，.（1）求证：平面； （2）求证：平面平面；（3）设点为的中点，在棱上是否存在点，使得平面?说明理由.2.解析 （1）因为平面，所以.又因为，.所以平面.（2）由（1）知，平面，又，所以平面. 又平面，所以平面平面（3）棱上存在点，使得平面.证明如下.取中点，联结.又因为为的中点，所以.又因为平面，所以平面.