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精品资料§2.5函数与方程25.1函数的零点课时目标1.能够结合二次函数的图象判断一元二次方程根的存在性及根的个数，理解二次函数的图象与x轴的交点和相应的一元二次方程根的关系.2.理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的联系.3.掌握函数零点的存在性定理1函数yax2bxc(a0)的图象与x轴的交点和相应的ax2bxc0(a0)的根的关系函数图象判别式>00<0与x轴交点个数方程的根无解2.函数的零点一般地，我们把使函数yf(x)的值为0的实数x称为函数yf(x)的_3函数yf(x)的零点就是方程f(x)0的_，也就是函数yf(x)的图象与x轴的交点的_4方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有_函数yf(x)有_函数零点的存在性的判断方法若函数f(x)在区间a，b上的图象是一条不间断的曲线，且f(a)·f(b)<0，则函数yf(x)在区间(a，b)上有零点一、填空题1二次函数yax2bxc中，a·c<0，则函数的零点个数是_2若函数yf(x)在区间a，b上的图象为一条连续不断的曲线，则下列说法不正确的是_(填序号)若f(a)f(b)>0，不存在实数c(a，b)使得f(c)0；若f(a)f(b)<0，存在且只存在一个实数c(a，b)使得f(c)0；若f(a)f(b)>0，有可能存在实数c(a，b)使得f(c)0；若f(a)f(b)<0，有可能不存在实数c(a，b)使得f(c)0.3若函数f(x)axb(a0)有一个零点为2，那么函数g(x)bx2ax的零点是_4已知函数yf(x)是偶函数，其部分图象如图所示，则这个函数的零点至少有_个5函数f(x)零点的个数为_6已知函数yax3bx2cxd的图象如图所示，则实数b的取值范围是_7已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，2是它的一个零点，且在(0，)上是增函数，则该函数有_个零点，这几个零点的和等于_8函数f(x)ln xx2的零点个数为_9根据表格中的数据，可以判定方程exx20的一个实根所在的区间为(k，k1)(kN)，则k的值为_.x10123ex0.3712.727.3920.09x212345二、解答题10证明：方程x44x20在区间1,2内至少有两个实数解11关于x的方程mx22(m3)x2m140有两实根，且一个大于4，一个小于4，求m的取值范围能力提升12设函数f(x)若f(4)f(0)，f(2)2，则方程f(x)x的解的个数是_13若方程x2(k2)x2k10的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求k的取值范围1方程的根与方程所对应函数的零点的关系(1)函数的零点是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零(2)根据函数零点定义可知，函数f(x)的零点就是方程f(x)0的根，因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)0是否有实根，有几个实根(3)函数F(x)f(x)g(x)的零点就是方程f(x)g(x)的实数根，也就是函数yf(x)的图象与yg(x)的图象交点的横坐标2并不是所有的函数都有零点，如函数y.3对于任意的一个函数，即使它的图象是连续不断的，当它通过零点时，函数值也不一定变号如函数yx2有零点x00，但显然当它通过零点时函数值没有变号§2.5函数与方程25.1函数的零点知识梳理12个1个0个2个1个2.零点3.实数根横坐标4交点零点作业设计12个解析方程ax2bxc0中，ac<0，a0，b24ac>0，即方程ax2bxc0有2个不同实数根，则对应函数的零点个数为2个2解析对于，可能存在根；对于，必存在但不一定唯一；显然不成立30，解析a0,2ab0，b0，.令bx2ax0，得x0或x.44解析由图象可知，当x>0时，函数至少有2个零点，因为偶函数的图象关于y轴对称，故此函数的零点至少有4个52解析x0时，令x22x30，解得x3.x>0时，f(x)ln x2在(0，)上递增，f(1)2<0，f(e3)1>0，f(1)f(e3)<0，f(x)在(0，)上有且只有一个零点综上，f(x)在R上有2个零点6(，0)解析设f(x)ax3bx2cxd，则由f(0)0可得d0，f(x)x(ax2bxc)ax(x1)(x2)b3a，又由x(0,1)时f(x)>0，可得a>0，b<0.730解析f(x)是R上的奇函数，f(0)0，又f(x)在(0，)上是增函数，由奇函数的对称性可知，f(x)在(，0)上也单调递增，由f(2)f(2)0.因此在(0，)上只有一个零点，综上f(x)在R上共有3个零点，其和为2020.82解析该函数零点的个数就是函数yln x与yx2图象的交点个数在同一坐标系中作出yln x与yx2的图象如下图：由图象可知，两个函数图象有2个交点，即函数f(x)ln xx2有2个零点91解析设f(x)e2(x2)，由题意知f(1)<0，f(0)<0，f(1)<0，f(2)>0，所以方程的一个实根在区间(1,2)内，即k1.10证明设f(x)x44x2，其图象是连续曲线因为f(1)3>0，f(0)2<0，f(2)6>0.所以在(1,0)，(0,2)内都有实数解从而证明该方程在给定的区间内至少有两个实数解11解令f(x)mx22(m3)x2m14.依题意得或，即或，解得<m<0.123解析由已知得f(x)当x0时，方程为x24x2x，即x23x20，x1或x2；当x>0时，方程为x2，方程f(x)x有3个解13解设f(x)x2(k2)x2k1.方程f(x)0的两根中，一根在(0,1)内，一根在(1,2)内，即<k<.
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