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（人教版）精品数学教学资料课时提升作业(十三)直线与平面垂直的判定一、选择题(每小题3分,共18分)1.空间四边形ABCD的四边相等,则它的两对角线AC,BD的关系是()A.垂直且相交B.相交但不一定垂直C.垂直但不相交D.不垂直也不相交【解析】选C.取BD中点O,连接AO,CO,则BDAO,BDCO,所以BD平面AOC,所以BDAC.又BD与AC异面,故选C.2.l,m是两条不同的直线,是一个平面,下列结论正确的是()A.若lm,m,则lB.若l,lm,则mC.若l,m,则lmD.若l,m,则lm【解析】选B.对于A,l与的关系可能是平行、相交或在平面内三种,故A错误;B正确;对于C,l与m的关系可能是平行或异面,故C错误;对于D,l与m的关系可能是平行,相交或异面,故D错误.【变式训练】(2013成都高一检测)m,n是空间两条不同直线,是空间两个不同平面,下面有四种说法:m,n,mn;mn,mn;mn,mn;m,mn,n.其中正确说法的个数为()A.1B.2C.3D.4【解析】选B.正确,因为n,所以在内有与n平行的直线,又m,则mn;错误,mm,因为mn,则可能n;错误,因为mn,m,则可能n且m;正确,m,得m,因为mn,则n.3.直线l与平面所成的角为70,直线lm,则m与所成的角等于()A.20B.70C.90D.110【解析】选B.因为lm,所以直线l与平面所成的角等于m与所成的角,又直线l与平面所成的角为70,所以m与所成的角为70.4.(2013大纲版全国卷改编)已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,侧棱AA1平面ABCD,且底面ABCD为正方形,AA1=2AB,则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于()A.23B.33C.23D.13【解析】选A.如图,设AB=a,则AA1=2a,三棱锥C-BDC1的高为h,CD与平面BDC1所成的角为.因为VCBDC1-VCBDC1=VC1-BDC,即13122a322ah=1312a22a,解得h=23a.所以sin=hCD=23.5.(2013汕头高一检测)如图,四棱锥S -ABCD的底面为正方形,SD底面ABCD,则下列说法中不正确的是()A.ACSBB.AB平面SCDC.SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角D.AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角【解析】选D.四棱锥S -ABCD的底面为正方形,所以ACBD,又SD底面ABCD,所以SDAC,从而AC平面SBD,故ACSB,即A正确;由ABCD,可得AB平面SCD,即B正确;选项A中已证得AC平面SBD,又SA=SC,所以SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角,即C正确;AB与SC所成的角为SCD,此为锐角,而DC与SA所成的角即AB与SA所成的角,此为直角,二者不相等,故D不正确.6.已知矩形ABCD,AB=1,BC=2,将ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折,在翻折过程中()A.存在某个位置,使得直线AC与直线BD垂直B.存在某个位置,使得直线AB与直线CD垂直C.存在某个位置,使得直线AD与直线BC垂直D.对任意位置,三对直线“AC与BD”,“AB与CD”,“AD与BC”均不垂直【解析】选B.对于选项A,过点A作AEBD,垂足为E,过点C作CFBD,垂足为F,在图(1)中,由边AB,BC不相等可知点E,F不重合.在图(2)中,连接CE,若直线AC与直线BD垂直,又因为ACAE=A,所以BD平面ACE,所以BDCE,与点E,F不重合相矛盾,故A错误.对于选项B,若ABCD,又因为ABAD,ADCD=D,所以AB平面ADC,所以ABAC,由ABAB,所以不存在这样的直角三角形.所以C错误.由上可知D错误,故选B.二、填空题(每小题4分,共12分)7.如图,三棱柱ABC -A1B1C1中,AA1底面ABC,ABC=90,M为线段BB1上的一动点,则直线AM与直线BC的位置关系为_.【解析】因为AA1平面ABC,BC平面ABC,所以BCAA1,因为ABC=90,所以BCAB,又ABAA1=A,所以BC平面AA1B1B,又AM平面AA1B1B,所以AMBC.答案:垂直8.(2013南阳高一检测)如图,BC是RtABC的斜边,AP平面ABC,连接PB,PC,作PDBC于D,连接AD,则图中共有直角三角形_个.【解析】由题意可知RtPAB,RtPAC,RtABC,RtADP,RtPDB,RtPDC.又可证BC平面APD,得BCAD,则可得RtADB,RtADC,共8个.答案:8【误区警示】本题易错在考虑不全,从而证明不出BC平面APD,少查或漏查直角三角形.9.在三棱柱ABC-A1B1C1中CC1底面ABC,BC=CC1,当底面A1B1C1满足条件_时,有AB1BC1(注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情况).【解析】如图所示,连接B1C,由BC=CC1,可得BC1B1C,因此,要证AB1BC1,则只要证明BC1平面AB1C,即只要证ACBC1即可,由CC1底面ABC可知,只要证ACBC即可.因为A1C1AC,B1C1BC,故只要证A1C1B1C1即可.答案:A1C1B1=90三、解答题(每小题10分,共20分)10.如图,在边长为2的菱形ABCD中,ABC=60,PC平面ABCD,PC=2,E,F是PA和AB的中点,求PA与平面PBC所成的角的正弦值.【解题指南】过A作BC的垂线,联系PC平面ABCD,利用线面垂直的判定定理可以证明所作垂线与平面PBC垂直.【解析】过A作AHBC于H,连接PH,因为PC平面ABCD,AH平面ABCD,所以PCAH,又PCBC=C,所以AH平面PBC,所以APH为PA与平面PBC所成的角,边长为2的菱形ABCD中,ABC=60,所以ABC为正三角形,又AHBC,所以H为BC的中点,AH=3,因为PC=AC=2,所以PA=22,所以sinAPH=AHPA=64,故PA与平面PBC所成的角的正弦值为64.11.(2014湖北高考)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,P,Q,M,N分别是棱AB,AD,DD1,BB1,A1B1,A1D1的中点.求证:(1)直线BC1平面EFPQ.(2)直线AC1平面PQMN.【解题指南】(1)通过证明FPAD1,得到BC1FP,根据线面平行的判定定理即可得证.(2)证明BD平面ACC1,得出BDAC1,进而得MNAC1,同理可证PNAC1,根据线面垂直的判定定理即可得出直线AC1平面PQMN.【证明】(1)连接AD1,由ABCD-A1B1C1D1是正方体,知AD1BC1,因为F,P分别是AD,DD1的中点,所以FPAD1.从而BC1FP.而FP平面EFPQ,且BC1平面EFPQ,故直线BC1平面EFPQ.(2)如图,连接AC,BD,则ACBD.由CC1平面ABCD,BD平面ABCD,可得CC1BD.又ACCC1=C,所以BD平面ACC1.而AC1平面ACC1,所以BDAC1.因为M,N分别是A1B1,A1D1的中点,所以MNBD,从而MNAC1.同理可证PNAC1.又PNMN=N,所以直线AC1平面PQMN.一、选择题(每小题4分,共16分)1.如图所示,定点A和B都在平面内,定点P,PB,C是平面内异于A和B的动点,且PCAC,则ABC为()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法确定【解析】选B.由PB,根据直线与平面垂直的定义知,PBAC,又ACPC,PBPC=P,所以AC平面PBC,又BC平面PBC,所以ACBC.所以ABC为直角三角形.2.(2013福州高一检测)已知m是平面的一条斜线,点A,l为过点A的一条动直线,那么下列情形可能出现的是()A.lm,lB.lm,lC.lm,lD.lm,l【解析】选C.设m在平面内的射影为n,当ln且与无公共点时,lm,l.3.如图,正方体AC1的棱长为1,过点A作平面A1BD的垂线,垂足为点H,则以下命题中,错误的是()A.点H是A1BD的垂心B.AH垂直平面CB1D1C.AH的延长线经过点C1D.直线AH和BB1所成的角为45【解析】选D.因为三棱锥A -A1BD是正三棱锥,所以顶点A在底面的射影H是底面的垂心,所以选项A正确;易证平面A1BD平面CB1D1,而AH垂直平面A1BD,所以AH垂直平面CB1D1,所以选项B正确;连接正方体的体对角线AC1,则它在各面上的射影分别垂直于BD,A1B,A1D等,所以AC1平面A1BD,则直线AC1与AH重合,所以选项C正确.故选D.4.(2013山东高考)已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直,体积为94,底面是边长为3的正三角形,若P为底面A1B1C1的中心,则PA与平面ABC所成角的大小为()A.512B.3C.4D.6【解析】选B.取正三角形ABC的中心O,连结OP,则PAO是PA与平面ABC所成的角.因为底面边长为3,所以AD=332=32,AO=23AD=2332=1.三棱柱的体积为12(3)232AA1=94,解得AA1=3,即OP=AA1=3,所以tanPAO=OPOA=3,即PAO=3.二、填空题(每小题5分,共10分)5.如图,在RtABC中,D是斜边AB的中点,AC=6cm,BC=8cm,EC平面ABC,EC=12cm,则ED=_cm.【解析】因为EC平面ABC,CD平面ABC,所以ECCD.AB=AC2+BC2=10cm,因为D是斜边AB的中点,所以CD=12AB=5cm,所以ED=EC2+CD2=13cm.答案:136.(2014合肥高二检测)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,Q是CC1的中点,F是侧面BCC1B1内的动点且A1F平面D1AQ,则A1F与平面BCC1B1所成角的正切值的取值范围为_.【解析】延长D1Q交DC延长线于P,连AP与BC交于点G,连接QG,则G为BC的中点,分别取B1B,B1C1的中点M,N,连接A1M,MN,A1N,则因为A1MD1Q,A1M平面D1AQ,D1Q平面D1AQ,所以A1M平面D1AQ.同理可得MN平面D1AQ,因为A1M,MN是平面A1MN内的相交直线,所以平面A1MN平面D1AQ,由此结合A1F平面D1AQ,可得直线A1F平面A1MN,即点F是线段MN上的动点.设直线A1F与平面BCC1B1所成角为,运动点F并加以观察,可得:当F与M(或N)重合时,A1F与平面BCC1B1所成角等于A1MB1,此时所成角达到最小值,满足tan=A1B1B1M=2;当F与MN中点重合时,A1F与平面BCC1B1所成角达到最大值,满足tan=A1B122B1M=22,所以A1F与平面BCC1B1所成角的正切值取值范围为2,22,故答案为2,22.答案:2,22【变式训练】 (2013大同高二检测)如图,在长方体ABCD -A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,则AC1与平面A1B1C1D1所成的角的正弦值为_.【解析】连接A1C1,因为ABCD -A1B1C1D1是长方体,所以AA1平面A1B1C1D1,所以A1C1是AC1在平面A1B1C1D1内的射影,所以A1C1A为AC1与平面A1B1C1D1所成的角.在RtAA1C1中,AA1=1,AC1=22+22+12=9=3,所以sinA1C1A=AA1AC1=13.答案:13三、解答题(每小题12分,共24分)7. (2013重庆高考改编)如图,四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,BC=CD,ACB=ACD.求证:BD平面PAC.【证明】因BC=CD,即BCD为等腰三角形,又ACB=ACD,故BDAC.因为PA底面ABCD,所以PABD.从而BD与平面PAC内两条相交直线PA,AC都垂直,所以BD平面PAC.【变式训练】(2013潍坊高一检测)如图,在四棱锥P -ABCD中,PD平面ABCD,ADCD,且DB平分ADC,E为PC的中点,AD=CD=1,DB=22.(1)证明PA平面BDE.(2)证明AC平面PBD.(3)求直线BC与平面PBD所成的角的正切值.【解析】(1)设ACBD=H,连接EH.在ADC中,因为AD=CD,且DB平分ADC,所以H为AC的中点,又因为E为PC的中点,故EHPA,又HE平面BDE,PA平面BDE,所以PA平面BDE.(2)因为PD平面ABCD,AC平面ABCD,所以PDAC,由(1)知,BDAC,PDBD=D,故AC平面PBD.(3)由AC平面PBD可知,BH为BC在平面PBD内的射影,所以CBH为直线BC与平面PBD所成的角.由ADCD,AD=CD=1,DB=22,可得DH=CH=22,BH=322,在RtBHC中,tanCBH=CHBH=13,所以直线BC与平面PBD所成的角的正切值为13.8.某个实心零部件的形状是如图所示的几何体,其下部是底面均为正方形,侧面是全等的等腰梯形的四棱台A1B1C1D1-ABCD,上部是一个底面与四棱台的上底面重合,侧面是全等的矩形的四棱柱ABCD -A2B2C2D2.(1)证明:直线B1D1平面ACC2A2.(2)现需要对该零部件表面进行防腐处理,已知AB=10,A1B1=20,AA2=30,AA1=13(单位:cm),每平方厘米的加工处理费为0.20元,需加工处理费多少元?【解析】(1)因为四棱柱ABCD -A2B2C2D2的侧面是全等的矩形,所以AA2AB,AA2AD.又ABAD=A,所以AA2平面ABCD.连接BD,因为BD平面ABCD,所以AA2BD.根据棱台的定义知,BD与B1D1共面.又已知平面ABCD平面A1B1C1D1,且平面ABCD平面BB1D1D=BD,平面BB1D1D平面A1B1C1D1=B1D1.所以BDB1D1,于是由AA2BD,ACBD,BDB1D1,可得AA2B1D1,ACB1D1.又AA2AC=A,所以直线B1D1平面ACC2A2.(2)由于四棱柱ABCD -A2B2C2D2的底面是正方形,侧面是全等的矩形,所以S1=S四棱柱ABCD -A2B2C2D2上底面+S四棱柱ABCD -A2B2C2D2的侧面=(A2B2)2+4ABAA2=102+41030=1300(cm2).又四棱台A1B1C1D1-ABCD的下底面是正方形,侧面是全等的等腰梯形,设四棱台侧面的高为h,所以S2=S四棱台A1B1C1D1-ABCD的下底面+S四棱台A1B1C1D1-ABCD的侧面=(A1B1)2+4(AB+A1B1)h2=202+2(10+20)132-12(20-10)2=1120(cm2).所以S=S1+S2=2420(cm2).故需加工处理费24200.2=484(元).【方法锦囊】解决线面垂直问题的注意点解决线面垂直问题要注意利用空间几何体的特征,发现隐含的或题目中可以推出的线线垂直关系,结合空间想象能力利用线线垂直达到线面垂直,再结合题意求出其他要求的结果.关闭Word文档返回原板块
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