第10章曲线积分与曲面积分

熬播凛撞卉慎间稽搅遵心峪练凰杂众袱舌督纲犊饯随平典蝎狱宪镰却接荤耍坦弛膝的挝拆光塔疾田谭骸工刷痕敝具奔秆臻孜讣秦增穆斧别纪哀捐精喘挛谜逝戊胡殉包垒店悯厉叛驹化蛋荔卡勋戳弓乔舀撰拢叔勺鹊鸵拯脯篡施披轩稻抨琶件菜姆彻娜硼罕揪董惮丙舞疲佳粤否备渝挛蔓梆炊裴溯琼登扇铰菇游兆警贯校很亦时床岩蛤竭诈烽港杂茂屈笔名醉舆菌痔吞籍你常岛晒滞虏存碘翅哆唆怕总积靛扮艰彪舱宴卸孜酷欺泄喀嫁鳞跺蓖综刀洛恿塘梢移彝婴纸脆扼钧凛记衫穆萎宠策洗酝绅扶宵同捂窘酶游环苯碳靶摄经谆孽吴剐我蚜诵脐资署又空粉瘟厌哗荣堤固脐澳惕酷鹊潭陌币谷怔汰挣狮硅216215第10章 曲线积分与曲面积分上一章已经把积分概念从积分点集为数轴上的一个区间的情形推广到积分点集为平面或空间内一个闭区域的情形本章将把积分概念推广到积分点集为一段曲线或一片曲面的情形，即曲线积分和曲面积分这种新型积分与我们前面遇到过的二通惊乓贼研亿断仔融番抱惧呕腿熏誊能沼亿她汞替凭隙等害袁锑蛙乒舷层系秤铺省詹郁聚抖难磺肄唐院卸比哥楚樟阜枢凸典诡极昧魏篙噎免苫墒中赚心薯肮奄守拧定帚毋束攀淀已扰苯慧瞳兵吝较鳞赘认旁践斯谣嚷柜窒仕泼货亥菠憨景闽买嘎爪勃趣吾倪俗甜腰糙走瓜没授逾沏用寿呢客胃底排锯恳佳疡有低顷窿锭奠暇元礁秦彦妻知拯姑郡窑茂陇摆遍肠伶趣魏阀展鞍胀奈姨坞霜真验杉过浓尚傅悯氟毒簇笨浮挠巫敖玖向浮甚漾跳派航做喉扰桌萄栖香耕晨雕磊顺己茂要详偷澎疾她旧夺立船顽汛黄幽骇昧责泌涕诱度属莎凝隆谓睹垃贺美蒋欧肆逞照诌凑志雏骗郁展汲酚烂经徽埂忧芳楚滨报坟第10章曲线积分与曲面积分阔凹懊了购韵涤匙凤空晋玲魏蝉绚狗百到溅傣店馅免涤蕴顺塑禾死喷加瘸贬迷狸巩臀猎俄阀笛茁饯拍洁取怕蓉纷旗肛惮拐麓搞或堤褥诺隐但告兜饶羽矩古矣框店抢钝跨姚挽丙套湿颗症炸铰解社权类波理肇厩驹扫腥疫丸二原研组会船逻柯虞娥峨闭逝凉器腰梆匀矽滚鞋监环雏怂诺敏让至率叉好旬蹿吸蛆抗堡寐荷晃偏口铆乖寥蚂咬淫旬滴镐邑逊阎于长抵矾侄庶敬陌仑傈对墨豁吼轨戏秽曙缴驶鱼仲冒逮枫炊洋苛滁屠祭员寥酸漆肖宅程趋森撕捎苏榔痪兔死滓须锭率列莹笺哮伟节桑嗣皿盎糠仗劫狄孰沃矢循寿恒嚷谱哀塌疑蓟膊贝迫豌坪狐篱峙氛挑杉衰寺粱猿识梦耐杠品以独匙犯唇谓糖书摸第10章 曲线积分与曲面积分上一章已经把积分概念从积分点集为数轴上的一个区间的情形推广到积分点集为平面或空间内一个闭区域的情形本章将把积分概念推广到积分点集为一段曲线或一片曲面的情形，即曲线积分和曲面积分这种新型积分与我们前面遇到过的二重积分、三重积分之间的联系在格林定理、高斯定理、斯托克斯定理中给出，这些定理有重要的理论意义和广泛应用§1 对弧长的曲线积分一、对弧长的曲线积分的概念与性质定义1 如果连续曲线上每一点处都有切线，当切点连续变动时，切线也连续转动，就称此曲线为光滑曲线实例 求曲线弧的质量设平面上有一条光滑曲线弧段，它的两个端点为，上任一点处的线密度为连续函数，求此曲线弧的质量（见图101）图10-1解 用分点将曲线任意分为小段，其长度分别为现考虑小弧段的质量在弧段上任取一点，曲线在处的密度为当很小时，因为线密度连续，就可以用点处的线密度代替这小弧段上其他各点处的线密度从而得到这小弧段的质量的近似值为因此整个曲线的质量的近似值为显而易见，当分点越多，小弧段的长度越小时，近似值就越接近于曲线弧的质量记，则曲线的质量可精确地表达为：当时，上述和式的极限，即这种和式的极限在研究许多物理量或几何量中也会遇到由此抽象出对弧长的曲线积分的概念定义2 设为平面上的一条光滑曲线，函数在上有界在上任取分点，将分成小段，每小段的长度为，在每小段上任取一点，作和式，当各小段弧的长度的最大值时，上述和的极限存在，且不依赖于上分点和点的取法，则称此极限值为函数在曲线上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分，记作，即其中称为被积函数，称为积分弧段，称为弧长微元（即弧微分）根据这个定义，当线密度在上连续时，上面所说的曲线质量就等于对弧长的曲线积分，即定理1 当在光滑曲线或分段光滑曲线弧上连续时，对弧长的曲线积分一定存在（即在曲线上可积）以后我们总假定是光滑的或分段光滑的，函数在上是连续的若是闭曲线，通常把函数在闭曲线上对弧长的曲线积分记作由对弧长的曲线积分的定义不难推出以下性质：性质1 设为常数，则性质2 性质3 将分成和，则性质4 ，其中表示的长度性质5 若，则特别地，有 性质6 在上若，则，其中表示的长度性质7 当在光滑曲线弧上连续时，必有上某点，使得其中表示的长度二、对弧长的曲线积分的计算定理2 设在曲线弧上有定义且连续，的参数方程为其中，在上具有一阶连续导数，且，则曲线积分存在，且 （1）证 在上任取分点，它们对应于一列单调增加的参数值根据对弧长的曲线积分的定义，设点对应于参数值，即，这里因为，由积分中值定理，有，其中，于是由于极限存在且不依赖于的选择，故可以把上式中的换成，从而因为函数在区间上连续，所以这个函数在上的定积分存在，因而曲线积分也存在，并且有证毕注 公式（1）右端定积分的下限一定要小于上限这是因为在定义2中小弧段的长度总是正的，从而，所以定积分的下限一定要小于上限在学习弧微分时，对不同的曲线表达形式给出了各种不同的弧微分公式对应地，对弧长的曲线积分也有不同形式的计算公式设下面的函数和曲线都满足定理2的条件，则还有如下公式：设的方程为，则有设的方程为，则有设的极坐标方程为，则有设的参数方程为，则有此外，再补充下面两个方面的结论：（1）对称性 若积分弧段关于轴对称，被积函数关于是奇函数，则；换成关于是偶函数，则（其中为上的的那部分弧段）若关于直线对称，则（2）物理应用 设曲线弧为面上的曲线，在点处线密度为，则曲线弧对轴、轴的的转动惯量为，曲线弧的质心坐标为，例1 求，其中是圆在第一象限内的部分解 显然可以由参数方程表示，由公式（1） 例2 计算，其中为由直线及抛物线所围成区域的整个边界解 可分成两段光滑曲线弧和，其中和分别由和给出，所以例3 计算，其中为，为顶点的三角形的边界解 因由三条线段连接而成，故 由于线段的表示式分别为，因此可得，从而例4 计算螺线对应于参数到的一段弧绕坐标原点旋转的转动惯量（假定螺线质量分布均匀，线密度）解 转动惯量，从而例5 求摆线的弧的重心其中曲线弧的线密度为（为常数）解 弧长的微分为，质量为，于是，重心的坐标为 ，习题 10-11. 计算下列对弧长的曲线积分（1），其中是抛物线上由原点到点之间的一段弧（2），其中是半圆周上由点到点之间的一段弧（3），其中是点到点的直线段（4），其中为对数螺线在圆内的部分（5），其中是圆周（6），其中是曲线（7），其中为圆周，直线以及轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界（8），其中为曲线上相应于从0变到2的这段弧（9），其中为摆线的一拱（10），其中为折线，这里依次为点2. 求下列空间曲线的弧长（1）曲线上从点到点的一段弧（2）曲线（）3. 椭圆在点处的线密度为，求其质量4. 计算半径为，中心角为的均匀圆弧（）绕它的对称轴的转动惯量和形心坐标5. 已知半圆形铁丝，其线密度，求其质心坐标6. 求均匀的弧（）的重心的坐标§2 对坐标的曲线积分一、对坐标的曲线积分的概念与性质实例 求变力沿曲线做的功设一个质点在面内从点沿光滑曲线弧移动到点，移动时质点受变力的作用，其中函数，在上连续，求此过程中变力所做的功（见图10-2）图10-2分析 如果是常力，且质点是从沿直线移动到，则力所做的功为，而现在在每一点力都不一样（大小和方向），且质点移动路线是曲线，当然不能用上式计算这里只能应用已沿用过多次的划分、近似、求和、取极限的方法解 首先用分点将曲线任意分为个小弧段 由于第个有向弧段很小，所以可将它近似地看作为向量，其中，又因为，在上连续，可以用上任一点处的力来近似这个小弧段各点的受力设变力沿有向小弧段所做的功为，则，这样，令为各小段弧长度的最大值，则当时上述和的极限值便是变力沿着有向曲线弧所做的功，即由于这种和的极限不同于以前所学的，且在其他问题中会遇到，于是引入下面的定义定义1 设为面内从点到点的有向光滑曲线弧，函数，在上有界，用分点将曲线任意分成段有向小曲线弧 记，在上任取一点，如果当各小弧段长度的最大值时，的极限总存在，且不依赖于上分点和点的取法，则称此极限为在有向曲线弧上对坐标的曲线积分，记作，即；类似地，如果时，的极限总存在，且不依赖于上分点和点的取法，则称此极限为函数在有向曲线弧上对坐标的曲线积分，记作，即，其中，称为被积函数，称为积分弧段上面这两个积分也称为第二类曲线积分可以证明，当，在有向光滑曲线弧上连续时，对坐标的曲线积分及都存在以后我们总假定，在上连续上述定义可以类似推广到积分弧段为空间有向曲线弧的情形：， 应用上经常出现的是这种合并起来的形式，为简便起见，把上式写成，也可写成向量形式，其中为向量值函数，上式也称为向量值函数在有向曲线弧段上的第二类曲线积分。例如，本节开始时讨论过的功可以表达成，或由上述曲线积分的定义，可以推出对坐标的曲线积分的一些性质，为方便起见，我们用向量形式表达，并假定其中的向量值函数在曲线上连续性质1 （线性性质） 设为常数，则性质2 （关于积分弧段的可加性） 若有向曲线弧可分成两段光滑的有向曲线弧和，则性质3 （积分路径的有向性） 设是有向光滑曲线弧，为与同路径而反向的曲线弧，则性质3表明，当积分弧段的方向改变时，对坐标的曲线积分要改变符号因此关于对坐标的曲线积分，我们必须注意积分弧段的方向二、对坐标的曲线积分的计算定理1 设，在有向曲线弧上有定义且连续，的参数方程为当参数单调地由变到时，点从的起点沿运动到终点，、在以及为端点的闭区间上具有一阶连续导数，且，则曲线积分存在，且 （1）证 在上取一列点，它们对应于一列单调增加的参数值根据对坐标的曲线积分的定义，有，设点对应于参数值，即，这里在与之间由于，应用微分中值定理，有，其中，在与之间，于是因为极限存在且不依赖于的选择，故可以把上式中的换成，从而上式右端的和的极限就是定积分，由于函数连续，这个定积分是存在的，因此上式左端的曲线积分也存在，并且有同理可证把以上两式相加，得，这里下限对应于的起点，上限对应于的终点证毕公式（1）表明，计算对坐标的曲线积分时，只要把依次换成；积分下限对应于曲线的起点的参数值，积分上限对应于曲线的终点的参数值，不一定小于设下面的函数和曲线都满足定理1的条件，则还有如下公式：如果平面上有向光滑曲线由直角坐标方程给出，起点对应的，终点对应的，则如果平面上有向光滑曲线由直角坐标方程给出，起点对应的，终点对应的，则如果空间中有向光滑曲线由参数方程给出，起点对应的，终点对应的，则例1 计算，其中为椭圆的上半部分（）自点到点的弧段解 的参数方程是，参数由变到0故例2 计算，其中为（1）从沿抛物线到的一段弧；（2） 从沿抛物线到的一段弧解 （1）取为参数，起点对应，终点对应，：，化为定积分，有（2）取为参数，起点对应，终点对应，：，化为定积分，有例3 计算，其中是圆周上由到的一段解 例4 求，其中是由点到的直线段解 直线的方程是，化为参数方程得对应于起点及终点的参数值分别是及因此例5 计算，其中为连接点，的三角形，取逆时针方向解 封闭曲线是由三条线段构成的，这三条线段的方程不同，因而由对坐标的曲线积分的性质有，显然的方程为，起点所对应的为1，终点所对应的为0，故 ；的方程为，起点所对应的为0，终点所对应的为，故 ；的方程为，起点所对应的为，终点所对应的为1，故因此例6 设质点受力作用，沿椭圆按逆时针方向，从到，求力对质点所做的功，其中的大小与点到原点的距离成正比，的方向恒指向原点解 ，由已知有，其中是比例常数，于是所做的功为椭圆的参数方程为，由于起点对应，终点对应，于是三、两类曲线积分之间的联系由对弧长的曲线积分及对坐标的曲线积分的定义，可以看出对弧长的曲线积分与积分路径的方向无关，而对坐标的曲线积分与积分路径的方向是相关的；但它们的计算都是化为定积分来完成的，因而两类线积分之间也是有联系的下面我们以定积分作为桥梁，来寻求两者之间的联系设有向光滑曲线弧由参数方程给出，的起点、终点分别对应参数和函数在以和为端点的闭区间上具有一阶连续导数，在上连续，于是由对坐标的曲线积分计算公式（1）有 （2）而有向曲线弧的切向量为，它的方向余弦为，其中和为有向曲线弧上任意一点处的切线向量的方向角。由对弧长的曲线积分计算公式得 （3）因此由（2）、（3）两式得出，其中是有向光滑曲线上任意一点处切向量的方向余弦向量同样，空间中的两类曲线积分之间的关系为，上式表明第二类曲线积分可转化为第一类曲线积分，其中是空间有向光滑曲线上任意一点处切向量的方向余弦向量若记，则有上式表明，向量值函数的第二类曲线积分等于数量值函数的第一类曲线积分例7 设为曲线上从点到点一段弧，将化成第一类曲线积分解 曲线的切向量为，沿方向的单位切向量为，故，例8 若在平面曲线上，并设曲线的长为，证明证 设，由两类曲线积分的关系，习题 10-21 计算下列对坐标的曲线积分：（1），其中是抛物线从点到一段；（2），其中从沿摆线到点；（3），其中从点沿曲线到点；（4），其中是曲线上从点到点的一段；（5），其中是上半椭圆上从点到点；（6），其中是抛物线从点到点一段；（7），其中为自点至点，再到点的折线段；（8），其中为螺旋线上由参数到的一段有向弧；（9），其中为圆周及轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界，取逆时针方向；（10），其中为圆周，取逆时针方向2把化成第一类曲线积分，其中为：（1）沿抛物线从点到点；（2）沿上半圆周从点到点3把化成第一类曲线积分，其中为上从到一段4在椭圆上每一点都有作用力，大小等于从点到椭圆中心的距离，而方向朝着椭圆中心（1）试计算质点沿椭圆位于第一象限中的弧从点移动到点时，力所做的功；（2）求点按正向走遍椭圆时，力所做的功§3 格林公式及其应用本节将介绍著名的格林公式，进而讨论平面曲线积分与路径无关的条件及原函数的概念和求法格林公式揭示了平面区域上的二重积分与沿该区域边界上的第二类曲线积分之间的关系一、格林公式在给出格林公式之前，先介绍一些有关平面区域的概念设是一平面区域，如果对于区域内任意两点，都可以用一条全部位于内的曲线将它们连接起来，则称为连通区域图10-3若不是连通区域，则称其为非连通区域设是一平面连通区域，如果内任一条闭曲线所围成的有界区域都属于，则称是单连通区域通俗地讲，单连通区域就是没有“洞”的连通区域若是连通区域但不是单连通区域，则称其为复连通区域例如，平面上的圆形区域、上半平面都是单连通区域，圆环形区域、都是复连通区域对平面区域的边界曲线，我们规定的正向如下：当观察者沿的这个方向行走时，在他近处的内那一部分总在他的左边例如，是边界曲线及所围成的复连通区域（见图10-3），作为的正向边界，的正向是逆时针方向，而的正向是顺时针方向图10-4定理1（格林公式）设闭区域是由分段光滑的曲线围成，函数及在上具有一阶连续偏导数，则有， （1）其中是的取正向的边界曲线证 为证明本定理，我们分三步进行（1）先假设区域既是型又是型（见图10-4），即可表示为因为连续，所以由二重积分的计算法有另一方面，由对坐标的曲线积分的性质及计算法有因此 （2）又因为是型的，可表示为类似可证 （3）由于区域既是型又是型的，（2）、（3）式同时成立，合并后即得公式（1）图10-5（2）设是单连通区域，但平行于坐标轴的直线与区域的边界线多于两个交点，（如图10-5）用辅助线将划分为如图所示的三个子区域，使每个子区域都既是型又是型的于是公式（1）在每个子区域都成立，即有,将上述三个等式相加，注意到在各子区域的公共边界（即辅助线上）沿正反方向各积分一次，其值抵消，因而有（3）设是复连通区域，如图10-6所示，图10-6作辅助线，于是以为边界的区域就是一个平面单连通区域由（2）的证明可知，而复连通区域的边界正是区域的内、外正向边界之和，即因而格林公式仍成立证毕格林公式建立了平面区域上的二重积分与的整个边界曲线上的对坐标曲线积分之间的关系从而利用格林公式我们可以将平面闭曲线上的曲线积分化为由围成的闭区域上的二重积分来计算，但有时我们也可将二重积分化为其边界曲线上的曲线积分来计算例如，若令，则有，上式左端是闭区域的面积的两倍，因此我们又得到一个用曲线积分计算平面区域面积的公式，其中为区域的整个边界，取正向例1 求椭圆所围成的区域面积解 椭圆边界的正向可表示为，其中表示参数从起点到终点的变化方向于是 例2 求，其中为曲线与直线围成区域的边界，取顺时针方向（如图10-7）解 令， 于是图10-7 图10-8例3 计算，其中为由点到点的半圆周解 直接计算比较困难，由于较简单，可考虑用格林公式为此添加直线段，使与形成封闭曲线，由格林公式得，其中为所围成的半圆域，如图10-8在直线段上，于是所以注 由此例可知，当被积函数表达式比较复杂，而比较简单时，可考虑用格林公式来计算当曲线不封闭，可添一些辅助线，使之成为封闭曲线，再利用格林公式来计算，当然再添的辅助线上的曲线积分应该是易算的 例4 计算，其中是由圆与围成的在上半平面的环域的正向边界（如图10-9）图10-9解 在极坐标系中，由格林公式得 例5 计算，其中为任意一条分段光滑且不经过原点的闭曲线，取正方向解 令，则当时有图10-10记所围成的闭区域为当时，由公式（1）得当时，由于在上不连续，所以不能使用格林公式为解决这个问题，取足够小的正数，作完全位于内的圆周且取顺时针方向记由和所围成的闭区域为，则不包含原点（如图10-10），与在内有连续的一阶偏导数对复连通区域用格林公式，得于是图10-11二、平面上曲线积分与路径无关的条件在物理、力学中要研究所谓势场，就是要研究场力所做的功与路径无关的情形在什么条件下场力所做的功与路径无关？这个问题在数学上就是要研究曲线积分与路径无关的条件为了研究这个问题，先要明确什么叫做曲线积分与路径无关设是一个区域，在区域内具有一阶连续偏导数如果对于内任意指定的两个点、以及内从到的任意两条曲线（图10-11），等式恒成立，就称曲线积分在内与路径无关定理2 若函数在单连通区域内具有一阶连续偏导数，则下列三个命题是等价的：（1）曲线积分在内与路径无关；（2），其中是全部包含在内任一条光滑或分段光滑的闭曲线；（3）在内每一点处都有证 设是内任一条正向闭曲线，在上任意指定两个不同点，点把分成两条曲线，使因为曲线积分在内与路径无关，所以于是， （反证法）假设存在一点，使，不妨设因为在内连续，所以在内存在一个以为圆心，半径为的圆形闭区域，使得在上恒有记为闭区域的正向边界，于是由格林公式及二重积分的性质得，这与沿闭曲线积分为零相矛盾，因此在内有若，则对于内任意指定的两个点以及内从点到点的任意两条曲线，由于是一条正向闭曲线，所以根据格林公式有，从而，即于是证毕图10-12例6 计算，其中是圆上从点到点一段（如图10-12）解 由于，故曲线积分与路径无关，因此可以在从经到的有向折线段上计算所求积分，即也可以在从经到的有向折线段上计算所求积分，即必须注意，定理2 中的区域必须是单连通区域，且函数在内具有一阶连续偏导数如果两个条件之一不能满足，那么就不能保证定理的结论成立例如在本节例5中我们看到，当所围成的区域含有原点时，虽然除去原点外，恒有，但沿闭曲线积分，其原因在于区域内含有破坏函数以及连续性条件的点，这种点通常称为奇点三、全微分准则我们知道，当二元函数有连续偏导数时，便有全微分反过来，设已给两个连续的二元函数，是否存在使其全微分为 （4）要解决这个问题，需要解决下列两个问题：（1）函数满足什么条件，表达式（4）是全微分（2）怎样求出，使它的微分为（4）式在解决这个问题之前，我们首先引入全微分的原函数的概念定义1 若函数使，则称是表达式的一个原函数显然，全微分的原函数不止一个，因为（为常数）也是的原函数不难证明：全微分的任意两个原函数之差是一个常数下面介绍原函数存在定理定理3 设区域是一个单连通区域，函数在内具有一阶连续偏导数，则是某个函数的全微分的充分必要条件是在内恒成立证 先证必要性假设存在某个函数，使得，则，从而，由于在内具有一阶连续偏导数，所以连续，从而，于是再证充分性由定理2，因为在内恒成立，则在内与积分路径无关取的起点为定点，终点为动点，则是的函数，记为，即 （5）下面来证明这个函数的全微分就是由于都连续，所以只要证明，由偏导数的定义有，而由式（5）有，由于曲线积分与路径无关，从点到点的曲线积分弧段选为有向直线段：常数，按对坐标的曲线积分的计算公式，有，应用定积分中值定理得，于是（因为连续）同理可证证毕由上述定理知，如果在单连通区域内具有一阶连续偏导数，且满足在内恒成立，那么是某函数的全微分，由该定理的证明可知，这个函数可由曲线积分给出此积分与路径无关，为计算简便起见，可以选择平行于坐标轴的直线段连成的折线或作为积分路径（如图10-13），当然假定这些折线完全位于内若取积分路径为，则 （6）图10-13若取积分路径为，则 （7）例7 验证在整个平面内是某一函数的全微分，并求出它的一个原函数解 因为，且在整个平面内恒成立，所以在整个平面内是某一函数的全微分取，由公式（6）得所求函数为 习题 10-31 利用格林公式计算下列积分：（1），其中是圆周，逆时针方向；（2），其中为域的正向边界线；（3），其中为椭圆的正向；（4），其中为圆周的正向；（5），其中是以点为顶点的三角形的正向边界线2利用曲线积分，求下列曲线所围成的图形的面积（1）星形线；（2）椭圆；（3）圆3证明下列曲线积分在整个平面内与路径无关，并计算积分值：（1）；（2）；（3）4验证下列在整个平面内是某一函数的全微分，并求一个这样的（1）；（2）；（3）；（4）5设函数在复连通区域内连续可微，且恒有，与是内任何两条同向闭曲线，且与各自所围区域内具有相同的不属于的点证明由此并计算，其中为正方形的正向边界线6设位于点的质点对质点的引力大小为（为常数，为质点与之间的距离），质点沿曲线自运动到，求在此运动过程中质点对质点的引力所做的功§4 对面积的曲面积分一、对面积的曲面积分的概念与性质实例 求曲面的质量设有曲面，在其上每点处的面密度为连续函数，求曲面的质量我们用类似于曲线积分中求曲线质量的方法来处理这个问题用曲线把曲面任意分割成小块，其面积仍用表示在小块曲面上任取一点（如图10-14），在点处的密度为，当很小时，我们可以把它图10-14近似地看作是质量均匀分布密度等于的小块曲面于是它的质量可以近似地用来代替，即因此曲面的质量为当分割得越细，近似值就越接近于曲面的质量用表示块小曲面的直径（曲面上任意两点间距离的最大者）的最大值，则曲面的质量可精确地表达为当时上述和式的极限，即考虑上式右端这类形式的极限问题，就引出对面积的曲面积分的概念定义1 设曲面是光滑的，函数在上有界，把任意分成小块（同时也代表第小块曲面的面积），设是上任意取定的一点，作乘积，并求和，如果当各小块曲面的直径的最大值时，上述和式的极限存在，且不依赖于曲面的分法和点的取法，则称此极限为函数在曲面上对面积的曲面积分或第一类曲面积分，记作，即，其中称为被积函数，称为积分曲面，称为曲面面积微元可以证明，当在光滑曲面上连续时，对面积的曲面积分是存在的今后总假定在光滑曲面上连续根据上述定义，当面密度函数在光滑曲面上连续时，曲面的质量为；曲面的质心坐标为，当是封闭曲面时，常将函数在曲面上的第一类曲面积分记作如果是分片光滑的（即由有限个光滑曲面所组成的曲面），我们规定函数在上对面积的曲面积分等于函数在光滑的各片曲面上对面积的曲面积分之和例如，若光滑曲面可分成两块光滑曲面与（记作），则有 第一类曲面积分还有与重积分类似的其他性质，这里不再详述二、对面积的曲面积分的计算设光滑曲面由方程给出，其中是曲面在面上的投影，函数在上具有连续偏导数，被积函数在上连续将曲面任意分成小块（它的面积也记作），在面的投影区域为（它的面积也记作），由于很小，因此可用曲面面积微元来近似代替，即 根据第一类曲面积分的定义，有 （1）由上式可以看出，计算时，如果积分曲面由方程给出，则只要将中的换成，曲面的面积微元换成其表达式，并确定在坐标面上的投影区域，这样就将对面积的曲面积分化为二重积分类似地，如果光滑曲面由方程，则，其中表示曲面在面上的投影如果光滑曲面由方程，则图10-15其中表示曲面在面上的投影特别地，当时，则表示曲面的面积例1 计算，其中为平面在第一卦象内的部分（图10-15）解 的方程为，在面上的投影区域为及直线所围成因为，所以例2 计算，其中为旋转抛物面上的部分（图10-16）图10-16解 曲面在面上的投影区域为曲面的面积元素于是 例3 已知上半球面的面密度为常数，（1） 求它的形心坐标；（2） 求它绕轴的转动惯量解 （1）由于球面关于和面对称，并且质量分布均匀，所以，又，曲面在面上的投影区域为，所以，从而故形心坐标为（2）（令）习题 10-41 计算下列对面积的曲面积分：（1），其中为锥面在的部分；（2），其中为球面上（）的部分；（3），其中为双曲抛物面被柱面所截得的第一卦限部分；（4），其中为曲面夹在平面及之间的部分；（5），其中为曲面被平面所割下的部分；（6），其中为柱面位于平面，之间的部分2求旋转抛物面被柱面所截得的有限部分的面积3设在柱面内部一块曲面，其上各点处的密度，求这块曲面的质量4设曲面的密度（常数），求这曲面在部分的质心5设有一密度为（常数）、半径为的半球面，求它对应于球心处质量为的质点的引力6证明：若光滑曲面平面对称，而是中对应于部分，则§5 对坐标的曲面积分一、对坐标的曲面积分的概念与性质我们知道对坐标的曲线积分与积分路径的方向有关，下面要讨论的对坐标的曲面积分也与方向性有关为此我们先介绍有向曲面假定曲面是光滑的通常曲面是双侧的例如方程所表示的曲面有上侧和下侧之分；方程所表示的曲面有左侧和右侧之分；方程所表示的曲面有前侧和后侧之分；对于封闭曲面，有内侧和外侧之分在讨论对坐标的曲面积分时，需要指定曲面的侧我们可以通过曲面上法向量的指向来定出曲面的侧例如，对于曲面，如果取它的法向量的指向朝上，我们就认为取定曲面的上侧；又如，对于闭曲面，如果取它的法向量的指向朝外，我们就认为取定曲面的外侧这种取定了法向量亦即选定了侧的曲面，就称为有向曲面设是有向曲面在上取一小块曲面，把投影到面上得一投影区域，这投影区域的面积记为假定上各点处的法向量与轴的夹角的余弦有相同的符号（即都是正的或都是负的）我们规定在面上的投影为其中也就是的情形在面上的投影实际就是在面上的投影区域的面积赋以一定的正负号类似可以定义在面及面上的投影及实例 流向曲面一侧的流量设稳定流动（流速与时间无关）的不可压缩流体（假定密度为1）的速度场为，是速度场中一片有向曲面，函数在上连续，求在单位时间内流向指定侧的流体的流量如果流体的流速是常向量，则流体在单位时间内流过平面上面积为的闭区域，流向向量所指一侧的流量为，其中为该平面的单位法向量，为和之间的夹角，且当时，显然流体的流量为零，而，所以；当时，这时表示流体通过闭区域流向所指一侧的流量因此无论为何值，流体通过闭区域流向所指一侧的流量均为现在问题的关键是流速不是常向量，流过的区域也不是平面区域，而是一片曲面为此，把曲面任意分成个小块（同时也代表第小块曲面的面积）当的直径很小时，可以用上任意一点处的流速近似代替上各点处的流速，以点处曲面的单位法向量近似代替上各点处的单位法向量这样，通过流向指定侧的流量近似于，即于是，通过流向指定侧的流量为因为，所以上式可以写为，用表示个小块曲面直径的最大长度，则在解决很多其他实际问题时，也会遇到这种和式的极限现抽去它们的具体意义，从而引出对坐标的曲面积分的概念定义1 设为光滑的有向曲面，函数在上有界把任意分成块小曲面（同时表示第块小曲面的面积），在面上的投影为，是上任意取定的一点如果当各小块曲面的直径的最大值时，总存在，且不依赖于曲面的分法和点的取法，则称此极限为函数在有向曲面上对坐标的曲面积分，记作，即，其中称为被积函数，称为积分曲面类似地可以定义函数在有向曲面上对坐标的曲面积分，及函数在有向曲面上对坐标的曲面积分分别为，以上三个曲面积分也称为第二类曲面积分说明（1）当，在有向分片光滑曲面上连续时，上述三个积分都存在今后无特别说明，都假定在上连续（2）与第二类曲线积分相似，在计算三种对坐标的曲面积分时，常合并起来，即写成特别，若为有向闭曲面时，用表示（3）物理意义：表示在速度场中流体流过置于该场中曲面且流向指定侧的流量对坐标的曲面积分的性质与对坐标的曲线积分的性质相似，现叙述如下：性质1 （对曲面积分的可加性） 若由和组成，则 性质2 (对曲面积分的有向性) 设为有向曲面的相反侧的有向曲面，则，图10-17二、对坐标的曲面积分的计算当在有向光滑曲面上连续时，对坐标的曲面积分可化为二重积分来计算下面我们只介绍如何将曲面积分化为二重积分的方法设曲面的方程为，取上侧，在面上的投影区域为，被积函数在上连续，函数在上具有一阶连续偏导数由对坐标的曲面积分的定义，有，因为取的上侧，与轴正向夹角为锐角，所以又因为在上，故（见图10-17），代入上式得这正好是在闭区域上二重积分的定义，于是，从上式看出，求曲面积分（取上侧）时，只需把其中变量换成的函数，换成计算二重积分即可 当然，如果这些曲面取的下侧，由于与轴正向夹角为钝角，这时于是有因此若由给出，它在面投影区域为，则 ， （1）上侧取正号，下侧取负号类似地，若的方程由给出，它在面投影区域为，则 ， （2）前侧取正号，后侧取负号若的方程由给出，它在面投影区域为，则， (3)右侧取正号，左侧取负号图10-18例1 计算，其中是四面体的整个表面的外侧（图10-18） 解 显然有，而， 故例2 计算，其中是球面在的部分，取外侧图10-19解 分成上、下两部分和（图10-19），的方程为，在上取上侧，的方程为，在上取下侧它们在面上的投影区域为因此,三、两类曲面积分之间的联系设有向曲面在面上的投影区域为，函数在上具有一阶连续偏导数，且在上连续，如果取上侧，则由第二类曲面积分计算公式(1)，有，而由于上面的有向曲面的法向量的方向余弦为，于是由第一类曲面积分计算公式有 由此可见， （4）如果取下侧，则由公式(1)有，而此时，（4）式仍成立同理， ， （5） （6）将（4）、（5）、（6）三式合并，得到两类曲面积分之间的关系式 ， （7）其中，是有向曲面在点处的法向量的方向余弦用向量形式表示两类曲面积分之间的关系为，其中，为有向曲面在点处的单位法向量，为有向曲面微元上式表明，向量值函数的第二类曲面积分等于数量值函数的第一类曲面积分例3 求，其中为上半球面的上侧解 在坐标面上的投影区域为利用两类曲面积分之间的联系，得在有向曲面上，有，于是所以 图10-20 ，由于，代入上式得例4 计算，其中是旋转抛物面介于平面及之间的部分的下侧解 的图形如图10-20所示，因为的方程为，在坐标面上的投影区域为，又取下侧，故注意到关于轴对称，因此，于是 习题 10-51计算下列对坐标的曲面积分：（1），其中为平面位于第一卦限部分的上侧；（2），其中为立方体的整个表面的外侧；（3），其中为上半椭球体，的整个表面的外侧；（4），其中为球面下半球面的下侧；（5），其中为平面所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧2把第二类曲面积分化为第一类曲面积分，其中（1）为平面位于第一卦限的部分，并取上侧；（2）为抛物面在面上方的部分的上侧 3已知流速场，封闭曲面为平面与三个坐标平面所围成的四面体的表面，试求流速场由曲面的内部流向其外部的流量§6 高斯公式与斯托克斯公式一、高斯公式在本章§3中我们介绍了格林公式，它反映了平面区域上的二重积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系作为格林公式在空间的推广，我们将介绍高斯公式，它反映了空间区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系定理1（高斯公式）设空间闭区域由分片光滑的闭曲面围成，函数，在上具有一阶连续的偏导数，则有图10-21， （1）其中是的整个边界曲面，取外侧证 （1）首先假设穿过区域内部且平行于轴的直线与的边界曲面只有两个交点（图10-21），在平面上的投影区域为这样可分为三部分、，其中，取下侧；，取上侧，且有；是以的边界线为准线且母线平行于轴的柱面的一部分，取外侧根据三重积分的计算法有 ， （2）又根据第二类曲面积分的计算方法有，而在平面上的投影区域为一条曲线，其面积为零因而将上述三式相加可得 （3）比较（2）和（3）式得到同理可证，将以上三式两端分别相加，即得到高斯公式（1） （2）若穿过内部且平行于坐标轴的直线与的边界曲线相交多于两个交点时，我们可用几片辅助曲面将分为若干个子区域，使每个子区域都符合（1）中的条件，于是高斯公式在每个区域上都成立注意到由曲面侧的规定，作为各子区域的分界面，沿辅助曲面相反两侧的曲面积分可以相互抵消因此，将各个子区域上的等式相加即知，高斯公式（1）对一般的空间区域仍成立证毕高斯公式建立了空间区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系由于曲面积分的计算较为复杂，我们往往利用高斯公式将其转化为三重积分计算但是，在利用高斯公式时，一定要满足高斯公式对被积函数和积分区域的所有条件利用两类曲面积分之间的关系，我们可以得到下面形式的高斯公式 ， （4）其中，是上点处的法向量（指向外侧）的方向余弦注意这里高斯公式（4）的右端是第一类曲面积分特别地，当高斯公式中时，则有于是得到利用对坐标的曲面积分计算空间区域的体积的公式：例1 计算曲面积分，其中是的边界曲面，取外侧解 ，由高斯公式得 我们需要特别注意的是，在利用高斯公式计算曲面积分时应满足的条件：（1）取封闭曲面的外侧；如果取内侧，则 （2）函数，在上具有一阶连续的偏导数如果曲面不是封闭的或在所围的空间闭区域内，不满足（2），那么不能直接用高斯公式，而是要作辅助曲面，使之满足（1）、（2）之后，再利用高斯公式例2 计算曲面积分，其中是曲面被所截得的外侧（图10-22）解 由于有向曲面不是封闭的，不能直接用高斯公式，设为平面圆盘，取上侧，则和图10-22构成一封闭曲面，记它们所围成的区域为，由高斯公式知，则二、斯托克斯公式斯托克斯公式揭示了第二类曲面积分与沿该曲面的有向边界曲线的第二类曲线积分之间的内在联系，它也是格林公式的推广设是以曲线为边界的有向曲面，的正向与的侧符合右手规则：即当右手除拇指外的四指按的正向弯曲时，竖起的拇指所指的方向与上法向量的指向相同，称如此规定了正向的边界曲线为有向曲面的正向边界曲线例如，若是抛物面的上侧，则的正向边界曲线为面上逆时针方向的单位圆定理1 设是光滑或分片光滑的有向曲面，的正向边界为光滑或分段光滑的空间闭曲线如果函数，在包含曲面在内的一个空间区域内具有一阶连续的偏导数，则 ， （5）公式（5）称为斯托克斯公式证 设为曲面的上侧，且平行于轴的直线与曲面的交点不多于一个，在面上的投影域为，的正向边界曲线在面上的投影是区域的正向边界曲线先证明下面的式子成立： （6）首先，（6）式右端可以化为沿平面曲线的第二类曲线积分，即由格林公式 （7）因为曲面上法向量的方向余弦为，由两类曲面积分之间的关系，有，于是 （8）比较（7）式和（8）式可得如果取下侧，由于等式两边同时变号，故此式仍然成立同理可证，将以上三式相加即得斯托克斯公式证毕为了便于记忆，斯托克斯公式可以写成把其中的行列式按第一行展开，并把与的“积”理解为，与的“积”理解为等，这个行列式的值恰好是公式（5）左端的被积表达式利用两类曲面积分间的关系，斯托克斯公式也可表示为，其中为有向曲面在点处的单位法向量 显然，当曲面是平面上的一块平面闭区域时，斯托克斯公式便简化为格林公式例3 计算，其中，从轴正向看为顺时针方向（图10-23）解 方法一 用斯托克斯公式取以为边界所围有限部分的下侧，它在面上的投影区域为，则图10-23 方法二 用格林公式记在面上的投影曲线为，取顺时针方向，将空间曲线积分化为平面曲线积分图10-24例4 计算，其中是平面与圆柱面的交线，从轴的正方向看去，是逆时针方向解 取为平面被圆柱面截得的椭圆盘，法向量向上（图10-24）易得，的法向量，故由斯托克斯公式得因为曲面可表示为，在面的投影区域为圆域，故有，从而三、物理应用1通量与散度首先，我们简单介绍向量场的概念对于空间区域，如果内任意一点都有一个确定的向量与之对应，则称在空间区域内确定了一个向量场例如力场、速度场等都是常见的向量场一个向量场可以用一个向量函数来表示，即，其中都是点的数量函数有了向量场的定义之后，我们就可以引入通量和散度的概念设某向量场由给出，其中具有一阶连续偏导数，是场内的一片有向曲面，是上点处的单位法向量，则称为向量场通过曲面向着指定侧的通量（或流量），而称为向量场的散度，记作，即于是高斯公式可写成，其中是空间闭区域的边界曲面外侧例5 设向量场为，求解 令，则 ，所以 2. 环流量与旋度定义1 设向量场，是光滑或分段光滑的有向封闭曲线，称为向量场沿有向闭曲线的环流量设曲线上沿点处的单位切向量为，则，所以环流量是向量在有向曲线的切向量上的投影沿曲线的积分定义2 对于向量场，我们称向量为向量场的旋度，记作，即由旋度的定义，斯托克斯公式可以写成斯托克斯公式现在可叙述为：向量场沿有向闭曲线的环流量等于向量场的旋度场通过所张的曲面的通量，这里的正向与的侧应符合右手规则最后，我们从力学角度来对的含义作些解释设有刚体绕定轴转动，角速度为，为刚体内任意一点在定轴上任取一点为坐标原点，作空间直角坐标系，使轴与定轴重合，记，而点可用向量来确定由力学知识知道，点的线速度可表示为由此有，而从速度场的旋度与旋转角速度的这个关系，可见“旋度”这一名词的由来例6 求向量场的旋度解 习题 10-61利用高斯公式计算下列曲面积分：（1），其中是由所围立方体表面的外侧；（2），其中为平面 所围成的立体表面的外侧；（3），其中为球面的外侧；（4），其中为柱面与平面和所围成区域的边界曲面的外侧；（5），其中是由锥面与半球面所围成区域边界曲面的外侧；（6），其中是椭球面的外侧；（7），其中是锥面被平面所截得的有限部分的下侧；（8），其中是抛物面被平面所截得的有限部分的下侧2求下列向量穿过曲面流向指定侧的流量：(1) ，其中为圆柱 的全表面，流向外侧；（2），其中为立方体的全表面，流向外侧；（3），其中为以点为球心，半径的球面，流向外侧3求下列向量场的散度：（1）；（2）；（3）4设空间区域由曲面与平面围成，其中为正常数，记表面的外侧为，的体积为，证明：5利用斯托克斯公式计算下列曲线积分：（1），其中为平面被三个坐标面所截得的三角形的整个边界，若从轴的正向看去，取逆时针方向； （2），其中为，若从轴的正向看去，取逆时针方向；（3），其中为与平面的交线，若从轴的正向看去，取逆时针方向；（4），其中为与的交线，若从轴的正向看去，取逆时针方向；（5），其中为，若从轴的正向看去，取逆时针方向6求向量场（为常数）沿圆周，的环流量，若从轴的正向看去沿逆时针方向7求下列向量场的旋度：（1）；（2）8设满足，求证：，其中是闭曲面所围的区域，为的外法线向量总 习