2012年高考数学平面向量Word版

- 1 - / 1620122012 年高考数学二轮专题详解年高考数学二轮专题详解重难点十重难点十 平面向量平面向量考试大纲解读考试大纲解读1. 理解平面向量的概念与几何表示、两个向量相等的含义;掌握向量加减与数乘运算及其意义;理解两个向量共线的含义,了解向量线性运算的性质及其几何意义.2了解平面向量的基本定理及其意义;掌握平面向量的正交分解及其坐标表示;会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算;理解用坐标表示的平面向量共线的条件.3理解平面向量数量积的含义及其物理意义;了解平面向量数量积与向量投影的关系;掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算;能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.考点导航考点导航高考对平面向量的考点分为以下两类:(1)考查平面向量的概念、性质和运算,向量概念所含内容较多,如单位向量、共线向量、方向向量等基本概念和向量的加、减、数乘、数量积等运算，高考中或直接考查或用以解决有关长度，垂直，夹角，判断多边形的形状等，此类题一般以选择题形式出现，难度不大.(2)考查平面向量的综合应用.平面向量常与平面几何、解析几何、三角等内容交叉渗透，使数学问题的情境新颖别致，自然流畅，此类题一般以解答题形式出现，综合性较强.知识要点梳理知识要点梳理1.向量的加法与减法:掌握平行四边形法则、三角形法则、多边形法则，加法的运算律;2.实数与向量的乘积及是一个向量，熟练其含义；3.两个向量共线的条件:平面向量基本定理、向量共线的坐标表示；4.两个向量夹角的范围是:;0, 5.向量的数量积:熟练定义、性质及运算律，向量的模，两个向量垂直的充要条件.【考点在线考点在线】考点一考点一 向量概念及运算向量概念及运算- 2 - / 16例例 1.1.(2011 年高考山东卷理科 12)设，是平面直角坐标系中两两不同的四1A2A3A4A点，若 (R)，(R)，且,则称，调1312A AA A1412A AA A1123A4A和分割， ,已知点 C(c，o),D(d，O) (c，dR)调和分割点 A(0，0)，B(1，0)，则1A2A下面说法正确的是( )(A)C 可能是线段 AB 的中点 (B)D 可能是线段 AB 的中点(C)C，D 可能同时在线段 AB 上 (D) C，D 不可能同时在线段 AB 的延长线上【答案答案】D考点二考点二 平面向量的数量积平面向量的数量积例例 2.2.（2011 年高考海南卷文科 13)已知与为两个不共线的单位向量,k 为实数,若向量ab与向量垂直,则 .abkabk 【答案答案】1【解析解析】由题意知,即,所以,因() ()0abkab(1)10kkab (1)1kabk - 3 - / 16为与不共线,所以,即 k=1.ab10k 【名师点睛名师点睛】本题考查两个向量垂直的充要条件、向量的数量积.【备考提示备考提示】：熟练向量的基础知识是解答好本题的关键.练习练习 2: (2011(2011 年高考安徽卷文科年高考安徽卷文科 14)14)已知向量 a，b 满足（a+2b）（a-b）=6，且，a ，则 a 与 b 的夹角为 .2b 【答案答案】3【解析解析】，则，即，26abab 2226aa bb 2212 26a b ，所以，所以.1a b 1cos,2a ba bab ,3a b 考点三考点三 向量与三角函数等知识的综合向量与三角函数等知识的综合例例 3. （2009 年高考江苏卷第年高考江苏卷第 15 题）题）设向量 (4cos ,sin),(sin,4cos),(cos, 4sin)abc（1）若与垂直，求的值；a2bctan()（2）求的最大值;|bc（3）若，求证：.tantan16ab【解析解析】【名师点睛名师点睛】本小题主要考查向量的基本概念，同时考查同角三角函数的基本关系式、二倍角的正弦、两角和的正弦与余弦公式，考查运算和证明得基本能力.【备考提示备考提示】：熟练向量的基础知识是解答好本题的关键.练习练习 3: （2009 年高考广东卷年高考广东卷 A 文科第文科第 16 题）题）已知向量与互相垂直，其中)2,(sina)cos, 1 (b)2, 0(- 4 - / 16（1）求和的值（2）若，,求的值sincoscos53)cos(502cos【解析】 （）,即abvvQsin2cos0a bvvgsin2cos又, ,即,2sincos1224coscos121cos524sin5又,2 5(0,)sin255cos5(2) 5cos()5(coscossinsin )5cos2 5sin3 5cos , ,即cossin222cossin1 cos 21cos2 又 , w 022cos2【易错专区易错专区】1.（2011 年高考全国卷文科年高考全国卷文科 3)设向量满足|=|=1, ,则( )a b 、aba b 1=22ab（A） （B） （C） （D）2357【答案】B【解析】2222(2 )44ababaa bb 2244aa bb 故选 B114 ()4 132 - 5 - / 162.（20112011 年高考辽宁卷文科年高考辽宁卷文科 3)3)已知向量 a=（2,1） ，b=（-1，k） ，a（2a-b）=0，则 k=（ ）（A）-12 （B）-6 （C）6 （D）12【答案】D【解析】由题意，得 2a-b =（5，2-k） ，a（2a-b）=25+2-k=0，所以 k=12.3. （20112011 年高考四川卷文科年高考四川卷文科 7)7)如图，正六边形 ABCDEF 中，=( )BACDEF (A)0 (B) (C) (D)BE ADCF 【答案】D【解析】.BACDEFDECDEFCDDEEFCF 4 （ 20102010 年高考全国年高考全国卷文科卷文科 1111）已知圆的半径为 1，PA、PB 为该圆的两条切线，OA、B 为两切点，那么的最小值为( )PA PB (A) (B) (C) (D) 42 32 42 2 32 2 【答案】D【解析】如图所示：设 PA=PB=,APO=,则APB=，PO=，x(0)x 221x，21sin1x=，令，| |cos2PA PBPAPB 22(1 2sin)x222(1)1xxx4221xxxPA PBy - 6 - / 16则，即，由是实数，所以4221xxyx42(1)0 xy xy2x，解得或.2 (1)4 1 ()0yy 2610yy 32 2y 32 2y 故.此时.min()32 2PA PB 21x 5 （20102010 年高考全国卷年高考全国卷文科文科 1010）ABC 中，点 D 在边 AB 上，CD 平分ACB，若= a , CB = b , = 1 ，= 2, 则=( )CA abCD （A）a + b （B）a +b （C）a +b （D）a +b1323231335454535【答案答案】B【解析解析】 CD 为角平分线， ， ， 12BDBCADACABCBCAab ， 222333ADABab 22213333CDCAADbabab 6 （20102010 年高考四川卷文科年高考四川卷文科 6 6）设点是线段的中点，点在直线外，MBCABC， ，则( )216BC ABACABAC AM （A）8 （B）4 （C）2 （D）1【答案答案】C【解析解析】由16，得|BC|4,42BC ABACABACBC 而,故2.ABACAM AM 7 （20112011 年高考江西卷文科年高考江西卷文科 11)11)已知两个单位向量，的夹角为，若向量1e2e3，则=_.1122bee21234bee12b b【答案】-6【解析】要求*，只需将题目已知条件带入，得：*=（-2）*（3+42e）1b2b1b2b1e2e1e=,其中=1，=1*1*=，222121823eeee21e21ee60cos21ee2121122e带入，原式=3*12*8*1=6.21- 7 - / 168. （20112011 年高考福建卷文科年高考福建卷文科 13)13)若向量 a=（1,1） ，b（-1,2） ，则 ab 等于_.【答案】1【解析】因为向量 a=（1,1） ，b（-1,2） ，所以 ab 等于 1.9 （20112011 年高考湖南卷文科年高考湖南卷文科 13)13)设向量, a b 满足| 2 5,(2,1),ab且ab与的方向相反，则a的坐标为 【答案】( 4, 2)【解析】由题2|215b ，所以2( 4, 2).ab 10.（20112011 年高考浙江卷文科年高考浙江卷文科 15)15)若平面向量 、 满足，且以向量1,1、 为邻边的平行四边形的面积为，则 和 的夹角 取值范围是 .12【答案】5,660,解得a b 1212(2)()eekee221122(1 2 )2kek e ee 2(1 2 )cos23kk.54k 【高考冲策演练高考冲策演练】- 8 - / 16一、选择题：一、选择题：1.（20102010 年高考山东卷文科年高考山东卷文科 1212）定义平面向量之间的一种运算“”如下：对任意的，令，下面说法错误的是( )( , )am n( , )bp qabmqnp(A)若 a 与 b 共线，则0ab (B)abba(C)对任意的，有R()()abab(D) 2222()()| |aba bab【答案】B【解析】若与共线，则有，故 A 正确；因为，而abab=mq-np=0bapn-qm，所以有，故选项 B 错误，故选 B。ab=mq-npabba2 （20102010 年高考天津卷文科年高考天津卷文科 9 9）如图，在 ABC 中，ADAB3BC BD ，则=( )1AD AC AD （A） （B） （C） （D）2 332333【答案】D【解析】=AC AD | |cosACADDAC|cosACDAC|sinACBAC=，故选 D。|sinBCB 3 |sinBDB 33 （20102010 年高考福建卷文科年高考福建卷文科 8 8）若向量，则“”是“”的 (x,3)(x)aRx4| 5a A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件- 9 - / 16【答案】A【解析】由得，所以；反之，由可得。x4a(4,3)| 5a | 5a x4 4 （20102010 年高考福建卷文科年高考福建卷文科 1111）若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，22143xy点 P 为椭圆上的任意一点，则的最大值为( )OP FP A.2 B.3 C.6 D.8【答案】C【解析】由题意，F（-1，0） ，设点 P，则有,解得，00(,)xy2200143xy22003(1)4xy因为，所以00(1,)FPxy 00(,)OPxy 2000(1)OP FPx xy =，此二次函数对应的抛物线的对称轴为00(1)OP FPx x 203(1)4x20034xx，因为，所以当时，取得最大值，选02x 022x 02x OP FP 222364C。5 （20102010 年高考北京卷理科年高考北京卷理科 6 6）a、b 为非零向量。 “”是“函数ab为一次函数”的( )( )() ()f xxabxba（A）充分而不必要条件 （B）必要不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若，则有不一定是一次函数（当ab22( )() ()(| )f xxabxbax ab时不是一次函数） ；反之，成立，故选 B。| |ab6(2010(2010 年高考安徽卷文科年高考安徽卷文科 3)3)设向量(1,0)a ,1 1( , )2 2b ,则下列结论中正确的是( )(A)ab (B)22a b (C)/ /ab (D)ab与b垂直【答案】D- 10 - / 16【解析】，所以与垂直.11( ,)22ab =()0ab babb7 （20102010 年高考辽宁卷文科年高考辽宁卷文科 8 8）平面上三点不共线，设,则, ,O A B,OAa OBb 的面积等于 ( )OAB（A） （B） 222()aba b 222()aba b （C） （D）2221()2aba b 2221()2aba b 【答案】C【解析】 2222111()|sin,| 1cos,| 1222| |OABa bSa ba ba ba ba bab 2221()2aba b 8.(2010(2010 年高考宁夏卷文科年高考宁夏卷文科 2)2)a，b 为平面向量，已知 a=（4，3） ，2a+b=（3，18） ，则a，b 夹角的余弦值等于( ) （A） （B） （C） （D）86586516651665【答案】C 解析解析：由已知得，所以(3,18)2(3,18)(8,6)( 5,12)ba cos,a ba ba b 4 ( 5)3 12165 1365 9 （20102010 年高考广东卷文科年高考广东卷文科 5 5）若向量=（1,1） ，=（2,5） ，=(3,x)满足条件 (8abca- 11 - / 16【解析】，所以=6.60a bmm11 （20102010 年高考湖北卷文科年高考湖北卷文科 8 8）已知和点 M 满足.若存在实ABC0MAMBMC 使得成立，则=( )mAMACmAM mA.2B.3C.4D.5【答案】B【解析】由知，点 M 为的重心，设点 D 为底边 BC 的中点，则0MAMBMCuuu ruuu ruuu rrABCV=，所以有，故=3，选2AM=AD=3 21(32)ABACuu u ruuu r1()3ABACuu u ruuu r3ABACAMuu u ruuu ruuurmB。12 （20102010 年高考湖南卷文科年高考湖南卷文科 6 6）若非零向量 a，b 满足|，则 a 与 b| |,(2)0ababb的夹角为( )A. 300 B. 600 C. 1200 D. 1500【答案】C二、填空题：二、填空题：13(2010(2010 年高考江西卷文科年高考江西卷文科 13)13)已知向量，满足，与的夹角为 60，则ab2b ab在上的投影是 ba【答案】1【解析】01|cos60212b- 12 - / 1614. (2010(2010 年高考浙江卷文科年高考浙江卷文科 13)13)已知平面向量则,1,2,(2 ), 的值是 。2a【答案】1016 （20102010 年高考陕西卷理科年高考陕西卷理科 1111）已知向量，若2 , 1, 1,1, 2cmba，则.ba c_m【答案】-1【解析】，由得2 , 1,1, 1cmbaba c. 101121mm三解答题：三解答题：17 （20102010 年高考江苏卷试题年高考江苏卷试题 1515）在平面直角坐标系 xOy 中，点 A(1,2)、B(2,3)、C(2,1).(1)求以线段 AB、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长；(2)设实数 t 满足()=0，求 t 的值。OCtABOC【解析】 （1） （方法一）（方法一）由题设知，则(3,5),( 1,1)ABAC (2,6),(4,4).ABACABAC - 13 - / 16所以故所求的两条对角线的长分别为、.| 2 10,| 4 2.ABACABAC 4 22 10（方法二）（方法二）设该平行四边形的第四个顶点为 D，两条对角线的交点为 E，则:E 为 B、C 的中点，E（0，1）又 E（0，1）为 A、D 的中点，所以 D（1，4）故所求的两条对角线的长分别为 BC=、AD=；4 22 10（2）由题设知：=(2,1)，。OC(32 ,5)ABtOCtt 由()=0，得：，OCtABOC(32 ,5) ( 2, 1)0tt 从而所以。511,t 115t 或者：，2 AB OCtOC (3,5),AB 2115|AB OCtOC 18 （20102010 年高考福建卷文科年高考福建卷文科 1818）设平顶向量 （ m , 1）, = ( 2 , n )，其中 m， n manb1,2,3,4. （I）请列出有序数组（ m，n ）的所有可能结果； （II）记“使得（-）成立的（ m，n ） ”为事件 A，求事件 A 发生的概率。mamanb19 （2009 年高考湖北卷理科第年高考湖北卷理科第 17 题）题） （本小题满分 12 分） （注意：在试题卷上作答无效）（注意：在试题卷上作答无效）已知向量(cos ,sin ),(cos,sin),( 1,0)aaa bc - 14 - / 16（）求向量的长度的最大值；bc（）设，且，求的值。a4()abccos【解析】 （1）解法 1：则(cos1,sin ),bc =222|(cos1)sin2(1 cos ).bc，即 w.w.w.c.o.m 21cos1,0 |4 bc0 | 2.bc解法 2：若，则，又由，得422(,)22a (cos,sin)b( 1,0)c 22222()(,) (cos1,sin)cossin22222abc ，即a (b+c)()0abc cos(cos1)0，平方后化简得 w sin1cos cos(cos1)0解得或，经检验，即为所求cos0cos1cos0cos1或20. ( (山东省烟台市山东省烟台市 20112011 年年 1 1 月月“十一五十一五”课题调研卷理科课题调研卷理科) )如图，平面上定点 F 到定直线 l 的距离|FM|=2，P 为该平面上的动点，过 P 作直线 l的垂线，垂足为 Q，且() ()0.PFPQPFPQ - 15 - / 16（1）试建立适当的平面直角坐标系，求动点 P 的轨迹 C 的方程；（2）过点 F 的直线交轨迹 C 于 A、B 两点，交直线 于点 N，已知l为定值.1212,:NAAF NBBF 求证【解析】 （1）方法一：如图，以线段的中点为原点，以线段所在的直线为FMOFM轴建立直角坐标系.则，.2 分 yxOy(0,1)F设动点的坐标为，则动点的坐标为P( , )x yQ( , 1)x ， 3 分(,1)PFxy (0, 1)PQy 由，得. 5 分()PFPQ ()0PFPQ 24xy方法二：由. 2 分() ()0PFPQPFPQPQPF 得,所以，动点的轨迹是抛物线，以线段的中点PCFM为原点，以线段所在的直线为轴建立直角坐标系，可得轨迹的方程为：OFMyxOyC . 5 分24xy（2）方法一：如图，设直线的方程为，6 分AB111, ( ,)ykxA x y22(,)B xy则. 7 分2(, 1)Nk联立方程组 消去得，24 ,1,xyykxy， 82440 xkx2( 4 )160k 分故 9 分12124 ,4.xxkxx - 16 - / 16由，得，1NAAF 2NBBF ，10 分11 12xxk 2222xxk 整理得，1121kx 2221kx . 12 分12122 1122()2k xxk 12122 4204xxkxxk 方法二：由已知，得. 7 分1NAAF 2NBBF 12 0于是， ， 8 分 12NAAFNBBF 如图，过、两点分别作准线 的垂线，垂足分别为、，ABl1A1B则有= ， 10 分NANB 11AABBAFBF 由、得. 12 分120友情提示：部分文档来自网络整理，供您参考！文档可复制、编制，期待您的好评与关注！