数学实验之十三混沌课堂PPT

1数学实验之十三混沌中国科学技术大学数学系陈发来2实验内容 函数迭代 二次函数的迭代 FeigenBaum图 混沌的特性 其它函数的迭代3一、函数迭代 给定一函数 以及初始点 ，定义数列 称为函数 的迭代序列。 满足 的点 称为 的不动不动点点，记之为 。如果所有附近的点在迭代过程中都趋向于某一不动点，则该不动点称为吸引点吸引点。如果所有附近的)(xf0 x,.1 , 0),(1kxfxkkkx)(xfuuf)(ufuu4点都远离它，则它是排斥点排斥点。例如，0 与 1 是 的不动点。0 是吸引点，1是排斥点。如果则点集 形成一个 k k 循环循环。 称为 k 周期点周期点。k称为周期周期。2)(xxf13221)(.,)(,)(uufuufuufkkuuu,.,211u5类似地，周期点也可以分吸引点与排斥点。如果点 最终归宿于某个循环中，则称它为预周期点预周期点。如 1 是 的预周期点。迭代序列 的收敛与发散性质不仅与函数 有关， 而且与初值的选择有关。 例如，对于迭代12xukx)(xf121kkxx6 当初值 时， 迭代序列收敛，否则发散。10 x7二、二次函数的迭代 对二次函数对二次函数 做迭代做迭代: 迭代的几何直观图迭代的几何直观图)1 ()(xxaxf, 1 , 0),1 (1kxxaxkkk40 a0 x)(0 xf)(1xfxy8练习练习 1 1 对几组不同的参数值 （如 1.4)以及不同的初值 ，观察迭代是否收敛。练习练习 2 2 取参数 ，用不同的初值做迭代。你能找到一个吸引的不动点吗？一个排斥的不动点吗？哪些初值收敛到吸引的不动点？哪些初值使序列发散？取不动的参数 回答同样的问题。a, 5 . 0a0 x8 . 0a5 . 2, 2, 6 . 1, 1a9练习练习 3 3 找出一个参数 使它对应的迭代具有2周期点。这种性质依赖于初值吗？练习练习 4 4 对任意的整数 ，你能找到一个 值使得它对应的迭代具有 周期点吗？对哪些 值能给出 周期点？在每种情况下，结果是否依赖于初值？（对 和 的值进行验证）akkakk6 . 34 . 3a46 . 3 a10练习练习 5 5 如果某个 值能给出周期点，它是否一定是吸引的周期点？你能否找到排斥的周期点？练习练习 6 6 根据前面的练习，试着从理论上分析：如何求不动点？对哪些 值对应吸引的不动点？哪些 值对应排斥的不动点？初值对结果有什么影响？对周期点做类似的分析。11 不动点的计算不动点的计算 从 得到 及)1 (xxax0 xaax/ ) 1( 12 吸引的不动点与排斥的不动点吸引的不动点与排斥的不动点 定理定理设 是 的不动点，如果在 附近有 ，则 是 的吸引的不动点；否则， 是 的排斥的不动点。由于 故当 0a1时，为吸引点，(a-1)/a为排斥点。当1a3, 为排斥点，(a-1)/ a为吸引点。x)(xfx1| )( |xfx)(xfx)(xfaaafaf2)/ ) 1(,)0( 13 2 2 周期点周期点 得)1 (1)(1 ()(2xaxxxaxffx,/ ) 1(, 021aaxx3,2/ )321 (24, 3aaaaax14三、Feigenbaum图 将区间（0, 4 以某个步长 （如 ）离散化。对每个离散的 值做迭代。忽略前50个迭代值，而把点 显示在坐标平面上，最后形成的图形称为 Feigenbaum图。a04. 0a),( ,),(),(1005251xaxaxaa15练习练习 7 观察Feigenbaum图。（1）它的左部有一条曲线，这表示什么意义？（2） 从某一点 开始，这条曲线分成两支，这说明了迭代的什么性质？迭代的点是如何运动的？（3）再在下一个分支点 ，曲线分成几支？这说明迭代的什么性质？（4）上述分支过程是否一直进行下去？1a2a16是否存在极限分支点 ? （5）在极限分支点之后，Feigenbaum图是否显得很混乱？练习练习 8 在Feigenbaum图的右部，有一个有三条线穿过的空白地带，它是一个周期为3 的窗口。你能找到其它窗口吗？它们的周期是什么？窗口里有什么图案？这些窗口与周期轨道有什么关系？a17四、混沌的特性 对初值的敏感性对初值的敏感性练习练习 9 任取两个初值使它们之间的差的绝对值不超过 0.1, 在迭代他们是否逐渐分开？如果两个初值的差的绝对值不超过0.01, 0.001, 0.0001 结果如何？由此得出迭代对初值是否敏感？, 1 , 0),1 (41kxxxkkk18 非随机性非随机性 仍然考虑迭代练习练习 10 从不同的初值 出发，统计迭代点列中分别落与区间（0,1/2)及(1/2,1)中的点的个数，你得到的结果是随机的吗？进一步，将区间分成任意等份，统计迭代点列落于每个子区间的点的个数？结果如何？, 1 , 0),1 (41kxxxkkk) 1 , 0(0 x19五、其它函数的迭代 锯齿函数锯齿函数 练习练习 11 11 锯齿函数的迭代对初值是否敏感？ 找出锯齿函数的周期点。12 / 1122 / 102)(xxxxxS20 帐篷函数帐篷函数 练习练习 12 12 帐篷函数的迭代对初值是否敏感？ 找出帐篷函数的周期点。12 / 1)1 ( 22 / 102)(xxxxxT21 其它函数的迭代其它函数的迭代 对以下函数的迭代行为做探讨，并与函数 的迭代行为相比较。axxfxaxfxxfaxaxf42)(. 4)sin()(. 32)(. 2)()(. 1)1 ()(xxaxf22六、听一听混沌练习练习 14 选取初值 （如 ），由迭代产生迭代序列 ，根据 的大小确定相应音调的高低，编程演奏该迭代序列。0 x1 . 00 x, 1 , 0),1 (41kxxxkkk, 1 , 0,kxkkx