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高考数学精品复习资料 2019.5第八节函数与方程考纲传真结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性与根的个数 (对应学生用书第24页) 基础知识填充1函数的零点(1)函数零点的定义函数yf(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点(2)几个等价关系方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图像与x轴有交点函数yf(x)有零点(3)函数零点的判定(零点存在性定理)若函数yf(x)在闭区间a，b上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)f(b)0，则在区间(a，b)内，函数yf(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)0在区间(a，b)内至少有一个实数解2二分法每次取区间的中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的方法称为二分法3二次函数yax2bxc(a0)的图像与零点的关系b24ac000二次函数yax2bxc(a0)的图像与x轴的交点(x1,0)，(x2,0)(x1,0)无交点零点个数210知识拓展1函数f(x)在区间a，b上的图像是连续不断的曲线，则“f(a)f(b)0”是函数f(x)在区间(a，b)内有零点的充分不必要条件2若函数f(x)在区间a，b上是单调函数，且f(a)f(b)0，则函数f(x)在区间(a，b)内只有一个零点基本能力自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数的零点就是函数的图像与x轴的交点()(2)函数yf(x)，xD在区间(a，b)D内有零点(函数图像连续不断)，则f(a)f(b)0.()(3)若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)f(b)0，则函数f(x)在a，b上有且只有一个零点()(4)二次函数yax2bxc在b24ac0时没有零点()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)函数f(x)ex3x的零点个数是()A0B1C2D3Bf(1)30，f(0)10，f(x)在(1,0)内有零点，又f(x)为增函数，函数f(x)有且只有一个零点3(20xx安徽高考)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是()Aycos xBysin xCyln xDyx21A由于ysin x是奇函数；yln x是非奇非偶函数，yx21是偶函数但没有零点，只有ycos x是偶函数又有零点4(20xx江西赣中南五校联考)函数f(x)3xx2的零点所在区间是()A(0,1)B(1,2)C(2，1)D(1,0)Df(2)，f(1)，f(0)1，f(1)2，f(2)5，f(0)f(1)0，f(1)f(2)0，f(2)f(1)0，f(1)f(0)0，故选D5函数f(x)ax12a在区间(1,1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是_函数f(x)的图像为直线，由题意可得f(1)f(1)0，(3a1)(1a)0，解得a1，实数a的取值范围是.(对应学生用书第25页)函数零点所在区间的判断(1)若abc，则函数f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的两个零点分别位于区间()A(a，b)和(b，c)内B(，a)和(a，b)内C(b，c)和(c，)内D(，a)和(c，)内(2)(20xx唐山模拟)设x0是方程x的解，则x0所在的范围是()A BCD(1)A(2)B(1)abc，f(a)(ab)(ac)0，f(b)(bc)(ba)0，f(c)(ca)(cb)0，由函数零点存在性定理可知：在区间(a，b)和(b，c)内分别存在零点，又函数f(x)是二次函数，最多有两个零点；因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内，故选A(2)构造函数f(x)x，因为f(0)010，f0，f0.所以由零点存在性定理可得函数f(x)x在上存在零点，即x0，故选B规律方法判断函数零点所在区间的方法：判断函数在某个区间上是否存在零点，要根据具体题目灵活处理，当能直接求出零点时，就直接求出进行判断；当不能直接求出时，可根据零点存在性定理判断；当用零点存在性定理也无法判断时，可画出图像判断变式训练1(1)已知函数f(x)ln xx2的零点为x0，则x0所在的区间是()A(0,1)B(1,2)C(2,3)D(3,4)(2)(20xx衡阳模拟)已知x表示不超过实数x的最大整数，g(x)x为取整函数，x0是函数f(x)ln x的零点，则g(x0)等于() 【导学号：00090044】A1B2C3D4(1)C(2)B(1)f(x)ln xx2在(0，)上是增函数，又f(1)ln 11ln 120，f(2)ln 200，f(3)ln 310，x0(2,3)，故选C(2)f(2)ln 210，f(3)ln 30，则x0(2,3)，故g(x0)2.判断函数零点的个数(1)函数f(x)2x|log0.5x|1的零点个数为()A1B2 C3D4(2)(20xx秦皇岛模拟)函数f(x)的零点个数是_(1)B(2)3(1)令f(x)2x|log0.5x|10，可得|log0.5x|x.设g(x)|log0.5x|，h(x)x，在同一坐标系下分别画出函数g(x)，h(x)的图像，可以发现两个函数图像一定有2个交点，因此函数f(x)有2个零点(2)当x0时，作函数yln x和yx22x的图像，由图知，当x0时，f(x)有2个零点；当x0时，由f(x)0得x，综上，f(x)有3个零点规律方法判断函数零点个数的方法：(1)解方程法：所对应方程f(x)0有几个不同的实数解就有几个零点(2)零点存在性定理法：利用零点存在性定理并结合函数的性质进行判断(3)数形结合法：转化为两个函数的图像的交点个数问题先画出两个函数的图像，看其交点的个数，其中交点的个数，就是函数零点的个数变式训练2(1)(20xx湖北高考)函数f(x)2sin xsinxx2的零点个数为_(2)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x2)f(x)，且当x0,1时，f(x)x，则方程f(x)log3|x|的解的个数是()A0B2C4D6(1)2(2)C(1)f(x)2sin xsinx22sin xcos xx2sin 2xx2，由f(x)0，得sin 2xx2.设y1sin 2x，y2x2，在同一平面直角坐标系中画出二者的图像，如图所示由图像知，两个函数图像有2个交点，故函数f(x)有两个零点(2)画出周期函数f(x)和ylog3|x|的图像，如图所示，则方程f(x)log3|x|的解的个数是4.函数零点的应用(20xx昆明模拟)已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x4)f(x)，且在区间0,2上f(x)x，若关于x的方程f(x)logax有三个不同的实根，求a的取值范围思路点拨先作出函数f(x)的图像，根据方程有三个不同的根，确定应满足的条件解由f(x4)f(x)知，函数的周期为4，又函数为偶函数，所以f(x4)f(x)f(4x)，所以函数图像关于x2对称，且f(2)f(6)f(10)2，要使方程f(x)logax有三个不同的根，则满足如图，即解得a.故a的取值范围是(，)规律方法已知函数有零点求参数取值范围常用的方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解变式训练3(1)函数f(x)2xa的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是() 【导学号：00090045】A(1,3)B(1,2) C(0,3)D(0,2)(2)(20xx山东高考)已知函数f(x)其中m0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)b有三个不同的根，则m的取值范围是_(1)C(2)(3，)(1)函数f(x)2xa在区间(1,2)上单调递增，又函数f(x)2xa的一个零点在区间(1,2)内，则有f(1)f(2)0，(a)(41a)0，即a(a3)0，0a3.(2)作出f(x)的图像如图所示当xm时，x22mx4m(xm)24mm2，要使方程f(x)b有三个不同的根，则有4mm20.又m0，解得m3.
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