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人教版高中数学必修精品教学资料 学业分层测评(二十) 几何概型 (建议用时：45 分钟) 学业达标 一、选择题 1下列关于几何概型的说法中,错误的是( ) A几何概型是古典概型的一种,基本事件都具有等可能性 B几何概型中事件发生的概率与它的位置或形状无关 C几何概型在一次试验中可能出现的结果有无限多个 D几何概型中每个结果的发生都具有等可能性 【解析】 几何概型和古典概型是两种不同的概率模型,故选 A. 【答案】 A 2在圆心角为 90的扇形中,以圆心 O 为起点作射线 OC,则使得AOC 和BOC 都不小于 30的概率为( ) A.13 B23 C.14 D34 【解析】 记 M“射线 OC 使得AOC 和BOC 都不小于30” 如图所示,作射线 OD,OE 使AOD30,AOE60. 当 OC 在DOE 内时,使得AOC 和BOC 都不小于 30,此时的测度为度数30,所有基本事件的测度为直角的度数90.所以P(M)309013. 【答案】 A 3 在 400 毫升自来水中有一个大肠杆菌,今从中随机取出 2 毫升水样放到显微镜下观察,则发现大肠杆菌的概率为( ) A0.008 B0.004 C0.002 D0.005 【解析】 设问题转化为与体积有关的几何概型求解,概率为24000.005. 【答案】 D 4 在面积为 S 的ABC 的边 AB 上任取一点 P,则PBC 的面积大于S4的概率是( ) A.14 B12 C.34 D23 【解析】 如右图所示,在边 AB 上任取一点 P,因为ABC 与PBC 是等高的, 所以事件“PBC 的面积大于S4”等价于事件“|BP|AB|14” 即 PPBC的面积大于S4|PA|BA|34. 【答案】 C 5 已知事件“在矩形 ABCD 的边 CD 上随机取一点 P,使APB 的最大边是 AB”发生的概率为12,则ADAB( ) A.12 B14 C.32 D74 【解析】 由于满足条件的点 P 发生的概率为12,且点 P 在边 CD上运动,根据图形的对称性当点 P 在靠近点 D 的 CD 边的14分点时,EBAB(当点 P 超过点 E 向点 D 运动时,PBAB)设 ABx,过点 E 作EFAB 交 AB 于点 F,则 BF34x.在 RtFBE 中,EF2BE2FB2AB2FB2716x2,即 EF74x,ADAB74. 【答案】 D 二、填空题 6如图 3- 3- 2,在平面直角坐标系内,射线 OT 落在 60角的终边上,任作一条射线 OA,则射线 OA 落在xOT 内的概率为_. 【导学号：28750064】 图 3- 3- 2 【解析】 记“射线 OA 落在xOT 内”为事件 A.构成事件 A 的区域最大角度是 60,所有基本事件对应的区域最大角度是 360,所以由几何概型的概率公式得 P(A)6036016. 【答案】 16 7 如图 3- 3- 3,长方体 ABCD- A1B1C1D1中,有一动点在此长方体内随机运动,则此动点在三棱锥 A- A1BD 内的概率为_ 图 3- 3- 3 【解析】 设长、宽、高分别为 a、b、c,则此点在三棱锥 A- A1BD内运动的概率 P16abcabc16. 【答案】 16 8 小波通过做游戏的方式来确定周末活动,他随机地往单位圆内投掷一点,若此点到圆心的距离大于12,则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于14,则去打篮球；否则,在家看书则小波周末不在家看书的概率为_ 【解析】 记事件 A“打篮球”,则 P(A)14212116. 记事件 B“在家看书”,则 P(B)12212P(A)14116316. 故 P(B)1P(B)13161316. 【答案】 1316 三、解答题 9(1)在直角三角形 ABC 中,A90,ABAC,过点 A 作一射线交线段 BC 于点 M,求 BMAB 的概率； (2)在直角三角形 ABC 中,A90,ABAC,在线段 BC 上取一点M,求 BMAB 的概率 【解】 (1)记“过点 A 作一射线交线段 BC 于点 M,使 BMAB”为事件,由于是过点A作一射线交线段BC于点M,所以射线在BAC内是等可能出现的,又当 ABBM 时,BAM67.5,所以 P()d的测度D的测度67.59034. (2)设 ABAC1,则 BC 2,设“过点 A 作一射线交线段 BC 于点 M,使 BMAB”为事件 , 则 P()d的测度D的测度1222. 10一海豚在水池中自由游弋,水池为长 30 m,宽 20 m 的长方形,求此刻海豚嘴尖离岸边不超过 2 m 的概率 【解】 如图,四边形 ABCD 是长 30 m、宽 20 m 的长方形图中的阴影部分表示事件 A：“海豚嘴尖离岸边不超过 2 m” 问题可化为求海豚嘴尖出现在阴影部分的概率 S长方形ABCD3020600(m2), S长方形ABCD(304)(204)416(m2), S阴影部分S长方形ABCDS长方形ABCD600416184(m2),根据几何概型的概率公式,得 P(A)18460023750.31. 能力提升 1(2016 南昌高一检测)面积为 S 的ABC,D 是 BC 的中点,向ABC 内部投一点,那么点落在ABD 内的概率为( ) A.13 B12 C.14 D16 【解析】 向ABC 内部投一点的结果有无限个,属于几何概型设点落在ABD 内为事件 M,则 P(M)ABD的面积ABC的面积12. 【答案】 B 2 已知一只蚂蚁在边长为 4 的正三角形内爬行,则此蚂蚁到三角形三个顶点的距离均超过 1 的概率为( ) A1312 B1324 C.312 D324 【解析】 设正三角形 ABC 的边长为 4,其面积为 4 3.分别以A,B,C 为圆心,1 为半径在ABC 中作扇形,除去三个扇形剩下的部分即表示蚂蚁距三角形三个顶点的距离均超过 1 的区域,其面积为 4 3312314 32,故所求概率 P4 324 31324. 【答案】 B 3假设你在如图 3- 3- 4 所示的图形上随机撒一粒黄豆,则它落到阴影部分(等腰三角形)的概率是_ 图 3- 3- 4 【解析】 设 A黄豆落在阴影内,因为黄豆落在图中每一个位置是等可能的,因此 P(A)SABCS圆,又ABC 为等腰直角三角形,设O的半径为 r,则 ACBC 2r,所以 SABC12ACBCr2,SOr2,所以 P(A)r2r21. 【答案】 1 4甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动,对购买该商品的顾客两家商场的奖励方案如下： 图 3- 3- 5 甲商场：顾客转动如图 3- 3- 5 所示圆盘,当指针指向阴影部分(图中四个阴影部分均为扇 形,且每个扇形圆心角均为 15,边界忽略不计)即为中奖 乙商场：从装有 3 个白球 3 个红球的盒子中一次性摸出 2 球(球除颜色外不加区分),如果摸到的是 2 个红球,即为中奖 问：购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大？ 【解】 如果顾客去甲商场,试验的全部结果构成的区域为圆盘的面积R2(R 为圆盘的半径),阴影区域的面积为415R2360R26. 在甲商场中奖的概率为 P1R26R216. 如果顾客去乙商场,记盒子中 3 个白球为 a1,a2,a3,3 个红球为b1,b2,b3, 记 (x,y) 为 一 次 摸 球 的 结 果 , 则 一 切 可 能 的 结 果 有 ：(a1,a2),(a1,a3),(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a2,a3),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),(a3,b1),(a3,b2),(a3,b3),(b1,b2),(b1,b3),(b2,b3),共 15 种 摸到的 2 球都是红球的情况有(b1,b2),(b1,b3),(b2,b3),共 3 种 在乙商场中奖的概率为 P231515. P1P2, 顾客在乙商场中奖的可能性大
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